Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnenVoorbeeld 3
Bewijs dat de bissectrice van een hoek in een driehoek de tegenoverliggende zijde verdeelt in stukken die zich verhouden als de zijden op de benen van die hoek.
Gegeven:
`angleBAD=angleCAD`
, zie de figuur, geconstrueerd in GeoGebra.
Te bewijzen:
`(BD)/(CD)=(AB)/(AC)`
Bewijs:
Trek een lijn door
`C`
evenwijdig met
`AB`
.
Punt
`E`
is het snijpunt van de bissectrice met deze lijn.
Nu is
`angleCED=angleBAD`
(Z-hoeken) en
`angle BAD=angle CAD`
(gegeven) dus is
`AC=CE`
(gelijkbenige driehoek
`AEC`
).
Verder zijn de driehoeken `ABD` en `ECD` gelijkvormig (hh).
Dus: `(BD)/(CD)=(AB)/(EC)=(AB)/(AC)` .
Q.e.d.
Bekijk in
Voer zelf dit bewijs uit voor de bissectrice van `angleC` .
Stel je voor dat in `DeltaABC` geldt: `|AB|=8` , `|BC|=4` en `|AC|=6` . `BD` is de bissectrice van `angleB` . Bereken de lengtes van `AD` en `CD` .