Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Bij gelijkbenige driehoeken, als `AC=BC` .

b

Nee.

Opgave 1
a
b

De drie zwaartelijnen moeten door één punt gaan. Dit wordt later bewezen.

(Deze stelling staat ook in de "Lijst van definities en stellingen in de vlakke meetkunde voor wiskunde D" .)

Opgave 2

Gegeven:
`DeltaABC` en `AD` is hoogtelijn en zwaartelijn in deze driehoek.

Te bewijzen:
`AD` is bissectrice.

Bewijs:
`|AD|=|AD|` , `angleBDA=angleCDA=90` ° en `|BD|=|DC|` geeft `DeltaABD≅DeltaACD` (ZHZ). En dus is `angleBAD=angleCAD` .
Q.e.d.

Opgave 3
a

Gegeven:
`DeltaABC` met `AC=BC` en `AD` en `BE` als hoogtelijnen.

Te bewijzen:
`|AD|=|BE|`

Bewijs:
`|AB|=|BA|` , `angleD=angleE=90` ° en `angleA=angleB` (stelling gelijkbenige driehoeken) geeft `DeltaABD≅DeltaBAE` (ZHH). En dus is `|AD|=|BE|` .

Q.e.d.

b

Gegeven:
`DeltaABC` met `AC=BC` en `AD` en `BE` als zwaartelijnen

Te bewijzen:
`|AD|=|BE|`

Bewijs:
`|AB|=|BA|` , `angleA=angleB` (stelling gelijkbenige driehoeken) en `|AE|=1/2|AC|=1/2|BC|=|BD|` geeft `DeltaABD≅DeltaBAE` (ZHZ).

En dus is `|AD|=|BE|`

Q.e.d.

c

Gegeven:
`DeltaABC` met `AC=BC` en `AD` en `BE` als deellijnen

Te bewijzen:
`|AD|=|BE|`

Bewijs:
`|AB|=|BA|` , `angleA=angleB` (stelling gelijkbenige driehoeken) en `angleBAD=1/2angleA=1/2angleB=angleABE` geeft `DeltaABD≅DeltaBAE` (HZH). En dus is `|AD|=|BE|` .

Q.e.d.

Opgave 4

Gegeven:
Cirkel met middelpunt `M` . Punten `A` en `B` op de cirkel en lijn door `M` en het midden `P` van `AB` .

Te bewijzen:
`MP⊥AB`

Bewijs:

Uit `|MA|=|MB|` (straal van de cirkel), `|MP|=|MP|` en `|AP|=|PB|` (middelloodlijn) volgt `DeltaBPM≅DeltaAPM` (ZZZ). En dus is `angleBPM=angleAPM=90` °.

Q.e.d.

Opgave 5
a

Congruentiekenmerken ZHH en ZZR.

b

Omdat `MD=ME=MF` gaat er een cirkel door de punten `D,E` en `F` . Omdat alle drie de lijnstukken loodrecht staan op een zijde van de driehoek, zijn deze zijden raaklijnen van de cirkel.

Opgave 6
a

Je ziet de situatie in een gelijkzijde driehoek, een scherphoekige driehoek, en in een stomphoekige driehoek.

Gegeven:
`DeltaABC` met middelloodlijnen op `AB` en `BC` . Het snijpunt van deze middelloodlijnen is `M` , het midden van `AB` is `D` en het midden van `BC` is `E` . `FM` is de lijn door `M` en het midden `F` van `AC` .

Te bewijzen:
De drie middelloodlijnen van een driehoek `ABC` gaan door  één punt `M` .

Bewijs:
Omdat `MD` de middelloodlijn van `AB` is, is `DeltaADM≅DeltaBDM` (ZHZ) en dus is `|AM|=|BM|` .
Op dezelfde manier is `|BM|=|CM|` .
Daarom is `|AM|=|CM|` . En dus ligt `M` ook op de middelloodlijn van `|AC|` .

Dus de drie middelloodlijnen van een driehoek `ABC` gaan door  één punt `M` . 
Q.e.d.

b

`M` ligt binnen de driehoek `ABC` als deze driehoek scherphoekig is, anders niet.

c

Omdat `|MA|=|MB|=|MC|`

d

Omdat die drie punten de hoekpunten van een driehoek vormen en je met behulp van middelloodlijnen van de zijden van zo'n driehoek een cirkel door de hoekpunten kunt tekenen.

Opgave 7
a
b

Gegeven:

`DeltaABC` met drie hoogtelijnen. Het snijpunt van deze hoogtelijnen is `H` .

Te bewijzen:

Alle drie de hoogtelijnen gaan door `H` .

Bewijs:

Teken `DeltaDEF` door een lijn door `A` en evenwijdig met `BC` , een lijn door `B` en evenwijdig met `AC` en een lijn door `C` een lijn evenwijdig met  `AB` te trekken. De hoogtelijnen van `DeltaABC` zijn middelloodlijnen van `DeltaDEF` en gaan dus door één punt.

Q.e.d.

Opgave 8
a

Gegeven:
`DeltaABC` met `D` op `AB` en `angleBCD=angleACD`

Te bewijzen:
`(BD)/(AD)=(BC)/(AC)`

Bewijs:

Trek een lijn door `B` en evenwijdig `AC` .
Punt `E` is het snijpunt van de bissectrice `CD` met deze lijn.
Nu is `angleBED=angleACD` (Z-hoeken) en dus is `BE=BC` (gelijkbenige driehoek `CEB` ).
Verder zijn de driehoeken `ACD` en `BED` gelijkvormig (hh).
Dus: `(AD)/(DB)=(AC)/(EB)=(AC)/(BC)`

Q.e.d.

b

`AD=8/12*6 =4` en `DC=4/12*6 =2`

Opgave 9
a

Gegeven:
`DeltaABC` , de bissectrice van `angleA` en de buitenbissectrices van `angleB` en `angleC` .

Te bewijzen:
De drie bissectrices gaan door punt `S` , het snijpunt van de bissectrice van `angleA` en de buitenbissectrice van `angleB` .

Bewijs:
Punten op een bissectrice hebben gelijke afstanden tot de benen van de hoek. Dus:
`S` ligt op de bissectrice van `angleA` : de afstand van `S` tot `AB` is gelijk aan de afstand tot `AC` .
`S` ligt op de buitenbissectrice van `angleB` : de afstand van `S` tot `AB` is gelijk aan de afstand tot `BC` .
Dan is de afstand van `S` tot `AC` gelijk aan de afstand tot `BC` , dus `S` is een punt van de buitenbissectrice van `angleC` . De drie bissectrices gaan door punt `S` .

Q.e.d.

b

Gegeven:
De bissectrice en de buitenbissectrice van `angleA` . De binnenhoek wordt verdeeld in `angleA_1` en `angleA_2` en de buitenhoek in `angleA_3` en `angleA_4` .

Te bewijzen:
De twee bissectrices staan loodrecht op elkaar.

Bewijs:
`AD` is de bissectrice van `angleA` , dus: `angleA_1 =angleA_2`

De buitenbissectrice deelt de hoek middendoor, dus: `angleA_3 =angleA_4`

Bekend is dat: `angleA_1 +angleA_2 +angleA_3 +angleA_4 =180` °. Daaruit volgt dat
`2·angleA_2 + 2·angle A_3 = 180` °.

Dan is: `angleA_2 +angleA_3 =90` °

Q.e.d.

c

Gegeven:
`DeltaABC` met zwaartelijn `AD` . De buitenbissectrice van `angleA` staat loodrecht op de zwaartelijn `AD` .

Te bewijzen:
`DeltaABC` is gelijkbenig.

Bewijs:
Omdat `angleBAD` samen met de halve buitenhoek `90` ° is en dit ook geldt voor `angleDAC` en de andere halve buitenhoek, is `angleBAD=angleDAC` . En omdat ook `|AD|=|AD|` en `|BD|=|DC|` is `DeltaBAD≅DeltaCAD` (ZZH). Dus is `angleB=angleC` en is `DeltaABC` gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek).

Q.e.d.

Opgave 10
a

Gegeven:
`DeltaABC` met de hoogtelijnen `AD` en `BE` en `|AD|=h_A` , `|BE|=h_B` , `|BC|=a` en `|AC|=b`

Te bewijzen:
`h_A:h_B=b:a`

Bewijs:
Uit `angleD=angleE=90 ` ° en `angleC=angleC` volgt `DeltaADC∼DeltaBEC` (hh).

Daaruit volgt: `(h_A) /b= (h_B) /a`

En dat levert op: `h_A:h_B=b:a`

Q.e.d.

b

Gegeven:
`DeltaABC` met de hoogtelijnen `AD` en `BE` en `|AD|=h_A` , `|BE|=h_B` , `|BC|=a` en `|AC|=b`

Te bewijzen:
`h_A:h_B=b:a`

Bewijs:

De oppervlakte van `DeltaABC` is te schrijven als `1/2*a*h_A` en ook als `1/2*b*h_B` .

Dus `1/2*a*h_A=1/2*b*h_B`

Hieruit volgt dat: `h_A:h_b=b:a` .

Q.e.d.

Opgave 11

Gegeven:
`DeltaABC` en `AD` is hoogtelijn en zwaartelijn in deze driehoek.

Te bewijzen:
`AD` is bissectrice en `Delta ABC` is gelijkbenig.

Bewijs:
`|AD|=|AD|` , `angleBDA=angleCDA=90` ° en `|BD|=|DC|` geeft `DeltaABD≅DeltaACD` (ZHZ). En dus is `angleBAD=angleCAD` en `angle B = angle C` . Hieruit volgt dat `AD` de bissectrice is (definitie) en dat de driehoek gelijkbenig is (stelling gelijkbenige driehoek).

Q.e.d.

Opgave 12

Teken drie punten op de cirkel. Deze punten vormen een driehoek. De middelloodlijn van de drie zijden gaat door één punt en dit punt is het middelpunt van de cirkel.

Opgave 13

Gegeven:
`∆ABC` met `M` op `AC` zo, dat `AM=MC` en `N` op `BC` zo, dat `BN=NC` . Verder is `AN=BM` .

Te bewijzen:
`AC=BC` .

Bewijs:
`angleC=angleC` en `angleCMN=angleCAB` dus `∆CMN∼∆CAB` (hh) daaruit volgt dat `∆SMN∼∆SBA` (middenparallel, stelling zwaartelijnen driehoek en zzz). Hierin is `S` het snijpunt van `AN` en `BM` .

Hieruit volgt: `AS=2/3AN=2/3BM=BS` en ook `NS=1/3AN=1/3BM=MS` . En omdat `angleASM=angleBSN` zijn de driehoeken `ASM` en `BSN` congruent (ZHZ). Dus is `AM=BN` en dus ook `AC=BC` .

Q.e.d.

Opgave 14

Gegeven:
Zie de figuur. Vierhoek `ABCD` is een parallellogram, `F` ligt op het verlengde van `BC` en `E` is het snijpunt van `DC` en `AF` . Verder is gegeven dat `angle FAB=angle DAE` .

Te bewijzen:

`Delta ECF` is gelijkbenig.

Bewijs:

Omdat `ABCD` een parallellogram is, geldt dat `angle A= angle C` en `angle B=angle D` (stelling parallellogram). Ook geldt dat `AB text(//) DC` en `AD text(//) BC` . Hieruit volgt dat `angle D=180^circ-angle A` .

Omdat de hoekensom van een driehoek `180^circ` is, geldt dat `angle AED= 180^circ-(angle 180^circ-angle A)-0,5*angle A` .

`angle FEC=angle AED` (overstaande hoeken)

`angle ECF=angle B` (F-hoeken) en ook `angle B=angle D=180^circ-angle A`

`angle CFE=180^circ-0,5*angle A-(180-angle A)=0,5*angle A` , dus `angle FEC=angle CFE` . Hieruit volgt dat driehoek `ECF` gelijkbenig is (stelling gelijkbenige driehoek).

Q.e.d.

Opgave 15

Gegeven:
`DeltaABC` met de hoogtelijnen `AD` en `BE` en `angleA gt 90` °. ( `E` ligt op het verlengde van `CA` .)

Te bewijzen:
`angleABC=angleDEC` .

Bewijs:
Uit `angleD=angleE=90 ` ° en `angleC=angleC` volgt `DeltaADC∼DeltaBEC` (HH). Daaruit volgt: `|DC| / |EC| = |AC| / |BC|` . En samen met `angleC=angleC` levert dit op `DeltaABC∼DeltaDEC` . En dus is `angleABC=angleDEC` .

Q.e.d.

Opgave 16

Gegeven:
`DeltaABC` waarin de middelloodlijn van `AB` door `C` en middelloodlijn `AC` door `B` gaat.

Te bewijzen:
`DeltaABC` is gelijkzijdig.

Bewijs:
`C` ligt op de middelloodlijn van `AB` , dus `|AC|=|BC|` (aantonen met congruentie van driehoeken). `B` ligt op de middelloodlijn van `AC` , dus `|AB|=|BC|` (aantonen met congruentie van driehoeken).

Hieruit volgt: `|AB|=|BC|=|AC|` dus `DeltaABC` is gelijkzijdig.

Q.e.d.

verder | terug