Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnenVoorbeeld 1
Bewijs dat de bissectrices van de drie hoeken van een driehoek elkaar in één punt snijden en dat dit punt gelijke afstanden heeft tot elk van de zijden van de driehoek.
Gegeven:
Zie de figuur, geconstrueerd in GeoGebra.
`AM`
en
`BM`
zijn
bissectrices;
`CM`
is de lijn door
`C`
en
`M`
.
Te bewijzen:
`MD=ME=MF`
en lijn
`CM`
is bissectrice.
Bewijs:
Omdat
`AM`
bissectrice van
`angleA`
is, geldt:
`angleDAM=angleFAM`
. Verder is
`AM=AM`
en
`angleADM=angleAFM=90^@`
. Dus zijn
`∆DAM`
en
`∆FAM`
congruente driehoeken (ZHH).
Dit betekent
`MD=MF`
.
Op vergelijkbare wijze is
`MD=ME`
.
Omdat
`CM=CM`
,
`MF=ME`
en
`angleCEM=angleCFM=90 ^@`
zijn
`∆CEM`
en
`∆CFM`
congruent (ZZR).
En dus is
`angleECM=angleFCM`
en
`CM`
bissectrice van
`angleC`
.
Q.e.d.
In
Loop het bewijs na. Welke congruentiekenmerken worden gebruikt?
Waarom kun je een cirkel tekenen met middelpunt `M` die precies alle drie de zijden van `DeltaABC` raakt?
Teken (met "GeoGebra" of maak een paar voorbeelden) een driehoek `ABC` met daarin de drie middelloodlijnen van de zijden.
Bewijs dat deze drie middelloodlijnen door één punt `M` gaan.
Ligt punt `M` altijd binnen de driehoek? Wanneer wel en wanneer niet?
Waarom kun je een cirkel met middelpunt `M` door de hoekpunten van de driehoek tekenen?
Waarom kun je door drie willekeurige punten die niet op één rechte lijn liggen altijd een cirkel tekenen?