Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnenVoorbeeld 2
Bewijs dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar in één punt snijden en dat dit punt de zwaartelijnen verdeelt in stukken die zich verhouden als `1 :2` .
Gegeven:
Zie de figuur, geconstrueerd in GeoGebra.
`AE`
,
`BF`
en
`CD`
zijn zwaartelijnen, dus
`BE=EC`
,
`AF=FC`
en
`AD=DB`
.
`Z`
is het snijpunt van
`AE`
en
`BF`
.
Te bewijzen:
`CD`
gaat door
`Z`
en
`FZ : ZB = EZ : ZA = DZ : ZC=1 : 2`
.
Bewijs:
`CA=2 *CF`
en
`CB=2 *CE`
, dus
`DeltaABC`
is gelijkvormig met
`DeltaFEC`
(zhz). Dit betekent:
`AB=2 *FE`
en
`ABtext(//)FE`
. Hieruit volgt:
`angleBAE=angleAEF`
en
`angleABF=angleBFE`
(Z-hoeken). En dus is
`∆ABZ`
gelijkvormig met
`DeltaEFZ`
(hh).
Omdat
`AB=2 *FE`
is
`FZ : ZB = 1 : 2 = EZ : ZA`
. De zwaartelijnen
`AE`
en
`BF`
verdelen elkaar dus in de verhouding
`1 :2`
.
Eenzelfde redenering geldt voor bijvoorbeeld de zwaartelijnen
`AE`
en
`CD`
. En dus moet
`CD`
wel door punt
`Z`
gaan. Alle drie de zwaartelijnen gaan door één punt
`Z`
, het zwaartepunt van de driehoek.
Q.e.d.
In
Teken een driehoek `ABC` met daarin de drie hoogtelijnen.
Bewijs dat die drie hoogtelijnen door één punt gaan. Teken daartoe `DeltaDEF` door een lijn door `A` en evenwijdig `BC` , door `B` en evenwijdig `AC` en door `C` een lijn evenwijdig aan `AB` te trekken.