Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 2

Bewijs dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar in één punt snijden en dat dit punt de zwaartelijnen verdeelt in stukken die zich verhouden als .

> antwoord

Gegeven:
Zie de figuur, geconstrueerd in GeoGebra.
, en zijn zwaartelijnen, dus , en . is het snijpunt van en .

Te bewijzen:
gaat door en .

Bewijs:
en , dus is gelijkvormig met (zhz). Dit betekent: en . Hieruit volgt: en (Z-hoeken). En dus is gelijkvormig met (hh).
Omdat is . De zwaartelijnen en verdelen elkaar dus in de verhouding .
Eenzelfde redenering geldt voor bijvoorbeeld de zwaartelijnen en . En dus moet wel door punt gaan. Alle drie de zwaartelijnen gaan door één punt , het zwaartepunt van de driehoek.

Q.e.d.

Opgave 6

In het Voorbeeld 2 wordt bewezen dat de drie zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan. In deze opgave ga je bewijzen dat de drie hoogtelijnen door één punt gaan.

a

Teken een driehoek met daarin de drie hoogtelijnen.

b

Bewijs dat die drie hoogtelijnen door één punt gaan. Teken daartoe door een lijn door en evenwijdig , door en evenwijdig en door een lijn evenwijdig aan te trekken.

verder | terug