Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 2

Bewijs dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar in één punt snijden en dat dit punt de zwaartelijnen verdeelt in stukken die zich verhouden als `1 :2` .

> antwoord

Gegeven:
`AE` , `BF` en `CD` zijn zwaartelijnen, dus `BE=EC` , `AF=FC` en `AD=DB` . `Z` is het snijpunt van `AE` en `BF` .

Te bewijzen:
`CD` gaat door `Z` en `FZ:ZB=EZ:ZA=DZ:ZC=1 :2` .

Bewijs:
`CA=2 *CF` en `CB=2 *CE` , dus `DeltaABC` is gelijkvormig met `DeltaFEC` (zhz). Dit betekent: `AB=2 *FE` en `ABtext(//)FE` . Hieruit volgt: `angleBAE=angleAEF` en `angleABF=angleBFE` (Z-hoeken). En dus is `∆ABZ` gelijkvormig met `DeltaEFZ` (hh).
Omdat `AB=2 *FE` is `FZ:ZB=1 :2 =EZ:ZA` . De zwaartelijnen `AE` en `BF` verdelen elkaar dus in de verhouding `1 :2` .
Eenzelfde redenering geldt voor bijvoorbeeld de zwaartelijnen `AE` en `CD` . En dus moet `CD` wel door punt `Z` gaan. Alle drie de zwaartelijnen gaan door één punt `Z` , het zwaartepunt van de driehoek.

Q.e.d.

Opgave 7

In het voorbeeld wordt bewezen dat de drie zwaartelijnen van een driehoek `ABC` door één punt gaan. In deze opgave ga je bewijzen dat de drie hoogtelijnen door één punt gaan.

a

Teken een driehoek `ABC` met daarin de drie hoogtelijnen.

b

Bewijs dat die drie hoogtelijnen door één punt gaan. Teken daartoe `DeltaDEF` door een lijn door `A` en evenwijdig `BC` , door `B` en evenwijdig `AC` en door `C` een lijn evenwijdig aan `AB` te trekken.

verder | terug