Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 3

Bewijs dat de bissectrice van een hoek in een driehoek de tegenoverliggende zijde verdeelt in stukken die zich verhouden als de zijden op de benen van die hoek.

> antwoord

Gegeven:

`angleBAD=angleCAD` , zie de figuur.

Te bewijzen:
`(BD)/(CD)=(AB)/(AC)`

Bewijs:
Trek een lijn door `C` evenwijdig met `AB` .


Punt `E` is het snijpunt van de bissectrice met deze lijn.
Nu is `angleCED=angleBAD` (Z-hoeken) en `angle BAD=angle CAD` (gegeven) dus is `AC=CE` (gelijkbenige driehoek `AEC` ).

Verder zijn de driehoeken `ABD` en `ECD` gelijkvormig (hh).

Dus: `(BD)/(CD)=(AB)/(EC)=(AB)/(AC)`

Q.e.d.

Opgave 8

Bekijk in het voorbeeld het bewijs dat een bissectrice van een hoek in een driehoek de overstaande zijde in stukken verdeelt met dezelfde verhouding als de zijden op de benen van die hoek.

a

Voer zelf dit bewijs uit voor de bissectrice van `angleC` .

b

Stel je voor dat in `DeltaABC` geldt: `|AB|=8` , `|BC|=4` en `|AC|=6` . `BD` is de bissectrice van `angleB` . Bereken de lengtes van `AD` en `CD` .

Opgave 9

Een hoek in een driehoek heeft twee buitenhoeken. Dat zijn de hoeken met het verlengde van de zijden. De hoek zelf en zijn buitenhoek zijn dus samen altijd `180 ` °. De bissectrice van een buitenhoek heet de buitenbissectrice van die hoek.

a

Bewijs dat bij een driehoek `ABC` de bissectrice van `angleA` en de buitenbissectrices bij `B` en `C` door één punt gaan.

b

Bewijs dat de bissectrice van de hoek loodrecht staat op de buitenbissectrice van de bijbehorende buitenhoek.

c

Bewijs: "Als in een hoekpunt van een driehoek de buitenbissectrice loodrecht staat op de zwaartelijn vanuit dat hoekpunt, dan is de driehoek gelijkbenig."

verder | terug