Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 3

Bewijs dat de bissectrice van een hoek in een driehoek de tegenoverliggende zijde verdeelt in stukken die zich verhouden als de zijden op de benen van die hoek.

> antwoord

Gegeven:

`angleBAD=angleCAD` , zie de figuur, geconstrueerd in GeoGebra.

Te bewijzen:
`(BD)/(CD)=(AB)/(AC)`

Bewijs:
Trek een lijn door `C` evenwijdig met `AB` .


Punt `E` is het snijpunt van de bissectrice met deze lijn.
Nu is `angleCED=angleBAD` (Z-hoeken) en `angle BAD=angle CAD` (gegeven) dus is `AC=CE` (gelijkbenige driehoek `AEC` ).

Verder zijn de driehoeken `ABD` en `ECD` gelijkvormig (hh).

Dus: `(BD)/(CD)=(AB)/(EC)=(AB)/(AC)`

Q.e.d.

Opgave 7

Bekijk in het Voorbeeld 3 het bewijs dat een bissectrice van een hoek in een driehoek de overstaande zijde in stukken verdeelt met dezelfde verhouding als de zijden op de benen van die hoek.

a

Voer zelf dit bewijs uit voor de bissectrice van `angleC` .

b

Stel je voor dat in `DeltaABC` geldt: `|AB|=8` , `|BC|=4` en `|AC|=6` . `BD` is de bissectrice van `angleB` . Bereken de lengtes van `AD` en `CD` .

verder | terug