Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnenVoorbeeld 3
Bewijs dat de bissectrice van een hoek in een driehoek de tegenoverliggende zijde verdeelt in stukken die zich verhouden als de zijden op de benen van die hoek.
Gegeven:
`angleBAD=angleCAD`
, zie de figuur, geconstrueerd in GeoGebra.
Te bewijzen:
`(BD)/(CD)=(AB)/(AC)`
Bewijs:
Trek een lijn door
`C`
evenwijdig met
`AB`
.
Punt
`E`
is het snijpunt van de bissectrice met deze lijn.
Nu is
`angleCED=angleBAD`
(Z-hoeken) en
`angle BAD=angle CAD`
(gegeven) dus is
`AC=CE`
(gelijkbenige driehoek
`AEC`
).
Verder zijn de driehoeken `ABD` en `ECD` gelijkvormig (hh).
Dus: `(BD)/(CD)=(AB)/(EC)=(AB)/(AC)` .
Q.e.d.
Bekijk in Voorbeeld 3 het bewijs dat een bissectrice van een hoek in een driehoek de overstaande zijde in stukken verdeelt met dezelfde verhouding als de zijden op de benen van die hoek.
Voer zelf dit bewijs uit voor de bissectrice van `angleC` .
Stel je voor dat in `DeltaABC` geldt: `|AB|=8` , `|BC|=4` en `|AC|=6` . `BD` is de bissectrice van `angleB` . Bereken de lengtes van `AD` en `CD` .