Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Uitleg

Je ziet in een `∆ABC` de hoogtelijn uit `C` , de zwaartelijn uit `C` , de bissectrice (deellijn) van `angleC` en de middelloodlijn van `AB` . Verander je de driehoek, dan kunnen een aantal van deze lijnen gaan samenvallen.
Allereerst moet goed worden vastgelegd wat je onder elk van deze lijnen verstaat. Er zijn nog meer bijzondere lijnen, bijvoorbeeld de middenparallel. De definitie hiervan staat beschreven in de theorie.

Merk op dat de vier getekende lijnen alleen samenvallen als `AC=BC` , dus als `∆ABC` gelijkbenig is met tophoek `C` . Dit zijn eigenlijk twee stellingen:

  • Als in een `∆ABC` de hoogtelijn uit `C` , de zwaartelijn uit `C` , de bissectrice (deellijn) van `angleC` en de middelloodlijn van `AB` samenvallen is `AC=BC` .

  • Als in een `∆ABC` geldt dat `AC=BC` dan vallen de hoogtelijn uit `C` , de zwaartelijn uit `C` , de bissectrice (deellijn) van `angleC` en de middelloodlijn van `AB` samen.

Je zegt wel dat het samenvallen van de vier genoemde lijnen en de eigenschap `AC=BC` "equivalent of gelijkwaardig" zijn. Dit is alleen het geval als van een stelling ook zijn omgekeerde waar is.

Opgave 1

In de uitleg zie je een zwaartelijn in een driehoek `ABC` .

a

Teken een driehoek `ABC` met daarin alle drie de zwaartelijnen.

b

Gaan de drie zwaartelijnen door één punt?

Opgave 2

Bewijs: "Als in een driehoek de hoogtelijn en de zwaartelijn uit hetzelfde hoekpunt samenvallen, dan is die lijn ook bissectrice van deze hoek en is de driehoek gelijkbenig."

Opgave 3

Bewijs de volgende stellingen over hoogtelijnen, zwaartelijnen en bissectrices in een gelijkbenige driehoek.

a

In een gelijkbenige driehoek zijn er twee even lange hoogtelijnen.

b

In een gelijkbenige driehoek zijn er twee even lange zwaartelijnen.

c

In een gelijkbenige driehoek zijn er twee even lange bissectrices.

Opgave 4

`A` en `B` zijn punten van een cirkel. Bewijs dat de middelloodlijn van `AB` door het middelpunt `M` van de cirkel gaat.

verder | terug