Redeneren en bewijzen > TotaalbeeldAntwoorden van de opgaven
Gegeven:
Zie de figuur in de opgave.
Te bewijzen:
`DeltaPQR∼DeltaABC`
Bewijs:
Uit
`angleA+anglePRA=90^@`
en
`angleQRP+anglePRA=90^@`
volgt
`angleQRP=angleA`
. Uit
`angleB+angleBPQ=90^@`
en
`angleQPR+angleBPQ=90^@`
volgt
`angleQPR=angleB`
. En daaruit volgt
`DeltaPQR∼DeltaABC`
(hh).
Q.e.d.
Gegeven:
`ΔABC`
en de gelijkzijdige driehoeken
`ACD`
en
`BCE`
(die niet overlappen met
`ΔABC`
).
Te bewijzen:
`|AE|=|BD|`
.
Bewijs:
De hoeken van de gelijkzijdige driehoeken zijn allemaal
`60^@`
(stelling gelijkzijdige driehoek).
`|CE|=|CB|`
,
`|CD|=|CA|`
en
`∠ACE=∠ACB+60^@=∠BCD`
geeft
`ΔAEC≅ΔDBC`
(ZHZ). En dus is
`|AE|=|BD|`
.
Q.e.d.
Zie de figuur bij c.
Gegeven:
`l`
,
`m`
en
`n`
zijn drie evenwijdige lijnen,
`m`
tussen
`l`
en
`n`
. De lijn
`s`
staat loodrecht op
`l`
en snijdt
`l`
,
`m`
en
`n`
in respectievelijk
`A`
,
`B`
en
`C`
.
`|AB| : |BC| = 1 : 3`
Te bewijzen:
`s`
snijdt
`m`
en
`n`
loodrecht.
Bewijs:
Gegeven is dat
`s`
de lijnen
`l`
,
`m`
en
`n`
snijdt in de punten
`A`
,
`B`
en
`C`
.
Omdat
`m`
en
`n`
evenwijdig zijn met
`l`
zijn de hoeken bij de snijpunten ook
`90^@`
(F-hoeken). Dus
`s`
snijdt
`m`
en
`n`
loodrecht.
Q.e.d.
Zie de figuur bij c.
Gegeven:
`l`
,
`m`
en
`n`
zijn drie evenwijdige lijnen,
`m`
tussen
`l`
en
`n`
. De lijn
`s`
staat loodrecht op
`l`
en snijdt
`l`
,
`m`
en
`n`
in respectievelijk
`A`
,
`B`
en
`C`
.
`|AB| : |BC| = 1 : 3`
Lijn
`t`
staat loodrecht op lijn
`l`
.
Te bewijzen:
Lijn
`t`
verdeelt het stuk tussen
`l`
en
`n`
door
`m`
in stukken die zich verhouden als
`1 :3`
.
Bewijs:
Lijn
`t`
staat loodrecht op lijn
`l`
en dus staat
`t`
loodrecht op
`m`
en
`n`
(F-hoeken).
De snijpunten van
`t`
met
`l`
,
`m`
en
`n`
zijn respectievelijk
`D`
,
`E`
en
`F`
. Dan zijn
`ABED`
en
`BCFE`
rechthoeken (definitie rechthoek).
Dus is
`|AB|=|DE|`
en
`|BC|=|EF|`
en is ook
`|BC| : |EF| = 1 : 3`
.
Q.e.d.
Gegeven:
`l`
,
`m`
en
`n`
zijn drie evenwijdige lijnen, met
`m`
tussen
`l`
en
`n`
. De lijn
`s`
staat loodrecht op
`l`
en snijdt
`l`
,
`m`
en
`n`
in respectievelijk
`A`
,
`B`
en
`C`
.
`|AB|:|BC|=1 :3`
Lijn
`u`
staat niet loodrecht op
`l`
en gaat door
`l`
,
`m`
, en
`n`
.
Te bewijzen:
Elke lijn die de lijnen
`l`
,
`m`
en
`n`
snijdt, verdeelt het stuk tussen de lijnen
`l`
en
`m`
en tussen
`l`
en
`n`
in stukken die zich verhouden als
`1 : 3`
.
Bewijs:
Lijn
`u`
staat niet loodrecht op
`l`
en gaat door
`D`
. De snijpunten van
`u`
met
`m`
en
`n`
zijn respectievelijk
`G`
en
`H`
.
Met behulp van F-hoeken is
`DeltaDEG ∼ DeltaDFH`
, zodat:
`|DE| : |DF| = 1 : 4 = |DG| : |DH|`
.
Daaruit volgt:
`|DG|:|GH|=1 :3`
.
Q.e.d.
Gegeven:
Ga uit van een rechthoekige driehoek
`ABC`
met
`angleA=90^@`
. Op
`BC`
ligt punt
`D`
zo, dat
`AD=AC`
. Lijnstuk
`DE`
staat loodrecht op
`AD`
en punt
`E`
ligt op
`AB`
.
Te bewijzen:
`ED = EB`
Bewijs:
`angle ACD = 90^@ - angle B = angle ADC`
(gelijkbenige driehoek
`ADC`
).
Verder is
`angle EDB = 180^@ - 90^@ - angle ADC = 180^@ - 90^@ - (90^@ - angle B) = angle B`
(gestrekte hoek
`angle CDB`
).
Dus is
`Delta EBD`
gelijkbenig en dus is
`ED = EB`
.
De ingeschreven cirkel heeft als middelpunt het snijpunt
`M`
van de bissectrices en als straal
`MD=ME=MF=r`
met
`F`
op
`AB`
,
`D`
op
`BC`
en
`E`
op
`AC`
. Gebruik nu de gelijkvormige driehoeken
`ABD`
en
`AME`
(hh).
Pythagoras:
`AD=sqrt(8^2-2^2)=sqrt(60 )`
.
`r/2= (sqrt(60 )-r) /8`
geeft
`r=0,2 sqrt(60 )`
.
Gegeven:
`DeltaABC`
met hoogtelijnen
`AD`
,
`BE`
en
`CF`
en
`DeltaDEF`
.
Te bewijzen:
`AD`
,
`BE`
en
`CF`
zijn bissectrices van
`DeltaDEF`
.
Bewijs:
Omdat
`angleC=angleC`
en
`angleADC=angleBEC=90 ^@`
is
`DeltaADC∼DeltaBEC`
(hh) en dus is
`(AC) / (BC) = (DC) / (EC)`
. Uit dit laatste volgt samen met
`angleC=angleC`
dat
`DeltaEDC∼DeltaBAC`
(zhz) en dus dat
`angleEDC=angleA`
en
`angleDEC=angleB`
.
Op dezelfde manier bewijs je dat
`angleFDB=angleA`
en
`angleDFB=angleC`
. En ook dat
`angleAFE=angleC`
en
`angleAEF=angleB`
.
En daaruit volgt:
`angleCFD=90^@ - angleB=angleEFC`
en dus is
`CF`
bissectrice van
`angleEFD`
.
Enzovoort.
Q.e.d.
Uit `PA=PB` , `AS=BS` en `PS=PS` volgt dat `DeltaPAS≅DeltaPBS` , dus is `DeltaPAB` gelijkbenig met `PS` als bissectrice van `angleAPB` . Als `M` het snijpunt van `PS` en `AB` is betekent dit dat ook `DeltaPAM≅DeltaPBM` (ZHZ). En dus is `angleAMP=angleBMP=90 ^@` .
Nu is `AQBP` een ruit en dus staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor (stelling ruit en stelling parallellogram).
Nu is `ABDC` een ruit en wordt `angleA` door diagonaal `AD` middendoor gedeeld (stelling ruit).
Dit wordt een driehoek met de drie middelloodlijnen door één punt, tenzij de punten op een rechte lijn liggen. In dat laatste geval krijg je twee parallelle middelloodlijnen.
Er zijn nu `(4 *3 ) /2=6` middelloodlijnen in totaal.
Eigen antwoord.
Globale opzet van het bewijs:
Noem
`D`
,
`E`
,
`F`
de middens van respectievelijk
`BC`
,
`AC`
en
`AB`
en toon aan dat
`DeltaDEF∼DeltaABC`
met een vergrotingsfactor van
`-0,5`
. De zwaartelijnen van
`DeltaABC`
zijn dat ook in
`DeltaDEF`
, dus het zwaartepunt is voor beide driehoeken
`Z`
. De middelloodlijnen van
`DeltaABC`
worden de hoogtelijnen van
`DeltaDEF`
, dus de vermenigvuldiging van
`DeltaABC`
t.o.v. van punt
`Z`
met
`-0,5`
laat
`H`
overgaan in
`M`
en omgekeerd. Niet alleen liggen dus de drie punten op één lijn, maar ook geldt:
`MZ:HZ=1 :2`
.
Zie figuur, teken lijnstuk
`ED`
.
Nu is
`angleADB = angleABD = 90^@ - 1/2 angleBAD`
.
Evenzo:
`angleADE = angleAED = 90^@ - 1/2 angleEAD`
.
En dus is
`angleCDE = 180^@ - (90^@ - 1/2 angleBAD) - (90^@ - 1/2 angleEAD) = 1/2 (angleBAD +
angleEAD) = 1/2 α`
.
(bron: examen wiskunde B vwo 2008, tweede tijdvak)