Redeneren en bewijzen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Gegeven:

Zie de figuur.

Te bewijzen:

Bewijs:
Uit en volgt . Uit en volgt . En daaruit volgt (hh).

Q.e.d.

Opgave 2

Gegeven: en de gelijkzijdige driehoeken en (die niet overlappen met ).
Te bewijzen: .
Bewijs: De hoeken van de gelijkzijdige driehoeken zijn allemaal (stelling gelijkzijdige driehoek).
, en geeft (ZHZ). En dus is . Q.e.d.

Opgave 3
a

Zie de figuur bij c.

Gegeven:

, en zijn drie evenwijdige lijnen, tussen en . De lijn staat loodrecht op en snijdt , en in respectievelijk , en .

Te bewijzen:

snijdt en loodrecht.

Bewijs:

Gegeven is dat de lijnen , en snijdt in de punten , en .
Omdat en evenwijdig zijn met zijn de hoeken bij de snijpunten ook (F-hoeken). Dus  snijdt en loodrecht.

Q.e.d.

b

Zie de figuur bij c.

Gegeven:

, en zijn drie evenwijdige lijnen, tussen en . De lijn staat loodrecht op en snijdt , en in respectievelijk , en .

Lijn staat loodrecht op lijn .

Te bewijzen:

Lijn verdeelt het stuk tussen en door in stukken die zich verhouden als .

Bewijs:

Lijn staat loodrecht op lijn en dus staat loodrecht op en (F-hoeken).
De snijpunten van met , en zijn respectievelijk , en . Dan zijn en rechthoeken (definitie rechthoek).

Dus is en en is ook .

Q.e.d.

c

Gegeven:

, en zijn drie evenwijdige lijnen, met tussen en . De lijn staat loodrecht op en snijdt , en in respectievelijk , en .

Lijn staat niet loodrecht op en gaat door , , en .

Te bewijzen:

Elke lijn die de lijnen , en snijdt, verdeelt het stuk tussen de lijnen   en en tussen en in stukken die zich verhouden als .

Bewijs:

Lijn staat niet loodrecht op en gaat door . De snijpunten van met en zijn respectievelijk en .
Met behulp van F-hoeken is , zodat:
Daaruit volgt:

Q.e.d.

Opgave 4

Gegeven:

Ga uit van een rechthoekige driehoek met . Op ligt punt zo, dat . Lijnstuk staat loodrecht op en punt ligt op .

Te bewijzen:

Bewijs dat .

Bewijs:
Omdat en is gelijkzijdig en heeft dus hoeken van (stelling gelijkzijdige driehoek). Hieruit volgt: (hoekensom driehoek) en (gestrekte hoek). Omdat nu dus is driehoek gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek).

Q.e.d.

Opgave 5

De ingeschreven cirkel heeft als middelpunt het snijpunt van de bissectrices en als straal met op , op en op . Gebruik nu de gelijkvormige driehoeken en (hh).
Pythagoras: .
geeft .

Opgave 6

Gegeven:

met hoogtelijnen , en en

Te bewijzen:

, en zijn bissectrices van .

Bewijs:

Omdat en is (hh) en dus is . Uit dit laatste volgt samen met dat (zhz) en dus dat en .
Op dezelfde manier bewijs je dat en . En ook dat en .
En daaruit volgt: en dus is bissectrice van .

Enzovoort

Q.e.d.

Opgave 7Constructies met passer en liniaal
Constructies met passer en liniaal
a

Uit , en volgt dat , dus is gelijkbenig met als bissectrice van . Als het snijpunt van en is betekent dit dat ook (ZHZ). En dus is .

b

Nu is een ruit en dus staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor (stelling ruit en stelling parallellogram).

c

Nu is een ruit en wordt door diagonaal middendoor gedeeld (stelling ruit).

Opgave 8Voronoi-diagrammen
Voronoi-diagrammen
a

Dit wordt een driehoek met de drie middelloodlijnen door één punt, tenzij de punten op een rechte lijn liggen. In dat laatste geval krijg je twee parallelle middelloodlijnen.

b

Er zijn nu middelloodlijnen in totaal.

c

Eigen antwoord.

Opgave 9De rechte van Euler
De rechte van Euler

Globale opzet van het bewijs:
Noem , , de middens van respectievelijk , en en toon aan dat met een vergrotingsfactor van . De zwaartelijnen van zijn dat ook in , dus het zwaartepunt is voor beide driehoeken . De middelloodlijnen van worden de hoogtelijnen van , dus de vermenigvuldiging van t.o.v. van punt met laat overgaan in en omgekeerd. Niet alleen liggen dus de drie punten op één lijn, maar ook geldt: .

Opgave 10Driehoek en cirkel
Driehoek en cirkel

Zie figuur, teken lijnstuk .
Nu is .
Evenzo: .
En dus is .

(bron: examen wiskunde B vwo 2008, tweede tijdvak)

verder | terug