Redeneren en bewijzen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Gegeven:

Zie de figuur.

Te bewijzen:

`DeltaPQR∼DeltaABC`

Bewijs:
Uit `angleA+anglePRA=90` ° en `angleQRP+anglePRA=90` ° volgt `angleQRP=angleA` . Uit `angleB+angleBPQ=90` ° en `angleQPR+angleBPQ=90` ° volgt `angleQPR=angleB` . En daaruit volgt `DeltaPQR∼DeltaABC` (hh).

Q.e.d.

Opgave 2
a

Zie de figuur bij c.

Gegeven:

`l` , `m` en `n` zijn drie evenwijdige lijnen, `m` tussen `l` en `n` . De lijn `s` staat loodrecht op `l` en snijdt `l` , `m` en `n` in respectievelijk `A` , `B` en `C` .

`|AB|:|BC|=1 :3`

Te bewijzen:

`s` snijdt `m` en `n` loodrecht.

Bewijs:

Gegeven is dat `s` de lijnen `l` , `m` en `n` snijdt in de punten `A` , `B` en `C` .
Omdat `m` en `n` evenwijdig zijn met `l` zijn de hoeken bij de snijpunten ook `90` ° (F-hoeken). Dus  `s` snijdt `m` en `n` loodrecht.

Q.e.d.

b

Zie de figuur bij c.

Gegeven:

`l` , `m` en `n` zijn drie evenwijdige lijnen, `m` tussen `l` en `n` . De lijn `s` staat loodrecht op `l` en snijdt `l` , `m` en `n` in respectievelijk `A` , `B` en `C` .

`|AB|:|BC|=1 :3`

Lijn `t` staat loodrecht op lijn `l` .

Te bewijzen:

Lijn `t` verdeelt het stuk tussen `l` en `n` door `m` in stukken die zich verhouden als `1 :3` .

Bewijs:

Lijn `t` staat loodrecht op lijn `l` en dus staat `t` loodrecht op `m` en `n` (F-hoeken).
De snijpunten van `t` met `l` , `m` en `n` zijn respectievelijk `D` , `E` en `F` . Dan zijn `ABED` en `BCFE` rechthoeken (definitie rechthoek).

Dus is `|AB|=|DE|` en `|BC|=|EF|` en is ook `|BC|:|EF|=1 :3` .

Q.e.d.

c

Gegeven:

`l` , `m` en `n` zijn drie evenwijdige lijnen, met `m` tussen `l` en `n` . De lijn `s` staat loodrecht op `l` en snijdt `l` , `m` en `n` in respectievelijk `A` , `B` en `C` .

`|AB|:|BC|=1 :3`

Lijn `u` staat niet loodrecht op `l` en gaat door `l` , `m` , en `n` .

Te bewijzen:

Elke lijn die de lijnen `l` , `m` en `n` snijdt, verdeelt het stuk tussen de lijnen   `l` en `m` en tussen `l` en `n` in stukken die zich verhouden als `1 :3` .

Bewijs:

Lijn `u` staat niet loodrecht op `l` en gaat door `D` . De snijpunten van `u` met `m` en `n` zijn respectievelijk `G` en `H` .
Met behulp van F-hoeken is `DeltaDEG∼DeltaDFH` , zodat: `|DE|:|DF|=1 :4 =|DG|:|DH|`
Daaruit volgt: `|DG|:|GH|=1 :3`

Q.e.d.

Opgave 3

Gegeven:

Ga uit van een rechthoekige driehoek `ABC` met `angleA=90` °. Op `BC` ligt punt `D` zo, dat `AD=AC` . Lijnstuk `DE` staat loodrecht op `AD` en punt `E` ligt op `AB` .

Te bewijzen:

Bewijs dat `ED=EB` .

Bewijs:
Omdat `angleDAC=90 °-angleB` en `angleACD=90 °-angleB` is `DeltaADC` gelijkzijdig en heeft dus hoeken van `60 ` ° (stelling gelijkzijdige driehoek). Hieruit volgt: `angleB=30` ° (hoekensom driehoek) en `angleEDB=180 °-90 °-angleADC=180 °-90 °-60 °=30` ° (gestrekte hoek). Omdat nu dus `angleEDB=angleB` is driehoek `EBD` gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek).

Q.e.d.

Opgave 4

`r=0,2 sqrt(60 )` .

Opgave 5

Gegeven:

`DeltaABC` met hoogtelijnen `AD` , `BE` en `CF` en `DeltaDEF`

Te bewijzen:

`AD` , `BE` en `CF` zijn bissectrices van `DeltaDEF` .

Bewijs:

Omdat `angleC=angleC` en `angleADC=angleBEC=90 ` ° is `DeltaADC∼DeltaBEC` (hh) en dus is `(AC) / (BC) = (DC) / (EC)` . Uit dit laatste volgt samen met `angleC=angleC` dat `DeltaEDC∼DeltaBAC` (zhz) en dus dat `angleEDC=angleA` en `angleDEC=angleB` .
Op dezelfde manier bewijs je dat `angleFDB=angleA` en `angleDFB=angleC` . En ook dat `angleAFE=angleC` en `angleAEF=angleB` .
En daaruit volgt: `angleCFD=90 °-angleB=angleEFC` en dus is `CF` bissectrice van `angleEFD` .

Enzovoort

Q.e.d.

Opgave 6Constructies met passer en liniaal
Constructies met passer en liniaal
a

Uit `PA=PB` , `AS=BS` en `PS=PS` volgt dat `DeltaPAS≅DeltaPBS` , dus is `DeltaPAB` gelijkbenig met `PS` als bissectrice van `angleAPB` . Als `M` het snijpunt van `PS` en `AB` is betekent dit dat ook `DeltaPAM≅DeltaPBM` (ZHZ). En dus is `angleAMP=angleBMP=90 ` °.

b

Nu is `AQBP` een ruit en dus staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor (stelling ruit en stelling parallellogram).

c

Nu is `ABDC` een ruit en wordt `angleA` door diagonaal `AD` middendoor gedeeld (stelling ruit).

Opgave 7Voronoi-diagrammen
Voronoi-diagrammen
a

Wordt een driehoek met de drie middelloodlijnen door één punt, tenzij de punten op een rechte lijn liggen. In dat laatste geval krijg je twee parallelle middelloodlijnen.

b

Er zijn nu `((4 *3 )) /2=6` middelloodlijnen in totaal.

c

Doen.

Opgave 8De rechte van Euler
De rechte van Euler

Globale opzet van het bewijs:
Noem `D` , `E` , `F` de middens van respectievelijk `BC` , `AC` en `AB` en toon aan dat `DeltaDEF∼DeltaABC` met een vergrotingsfactor van `-0,5` . De zwaartelijnen van `DeltaABC` zijn dat ook in `DeltaDEF` , dus het zwaartepunt is voor beide driehoeken `Z` . De middelloodlijnen van `DeltaABC` worden de hoogtelijnen van `DeltaDEF` , dus de vermenigvuldiging van `DeltaABC` t.o.v. van punt `Z` met `-0,5` laat `H` overgaan in `M` en omgekeerd. Niet alleen liggen dus de drie punten op één lijn, maar ook geldt: `MZ:HZ=1 :2` .

Opgave 9Driehoek en cirkel
Driehoek en cirkel

Zie figuur, teken lijnstuk `ED` .
Nu is `angleADB=angleABD=90 °-1/2angleBAD` .
Evenzo: `angleADE=angleAED=90 °-1/2angleEAD` .
En dus is `angleCDE=180 °-(90 °-1/2angleBAD)-(90 °-1/2angleEAD)=1/2(angleBAD+angleEAD)=1/2α` .

(bron: examen wiskunde B vwo 2008, tweede tijdvak)

verder | terug