Redeneren en bewijzen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 6Constructies met passer en liniaal
Constructies met passer en liniaal

Constructies met passer en liniaal waren bij de Oude Grieken zeer geliefd. In feite vonden ze dat iets alleen kon bestaan als het met passer en liniaal kon worden geconstrueerd. En daardoor ontstonden belangrijke vraagstukken...

Een loodlijn van een punt `P` op een lijn `l` construeer je door eerst een cirkel met middelpunt `P` te maken, zo groot dat hij `l` in twee punten snijdt. Noem die punten `A` en `B` . Vervolgens maak je met middelpunt `A` en daarna met middelpunt `B` een even grote cirkel. Het snijpunt van die cirkels is `S` . En `PS` staat loodrecht op `l` .

a

Bewijs dat `PS` loodrecht op `l` staat.

De middelloodlijn van lijnstuk `AB` construeer je door twee even grote cirkels met middelpunten `A` en `B` met elkaar te snijden. (De straal van deze cirkels moet groter zijn dan de helft van de lengte van lijnstuk `AB` ). Als hun snijpunten `P` en `Q` zijn is lijn `PQ` de middelloodlijn van `AB` .

b

Bewijs dat `PQ` de middelloodlijn van `AB` is.

Voor de constructie van de bissectrice van `angleA` met benen `l` en `m` , ga je als volgt te werk.
Open de passer een stukje en beschrijf een cirkel met middelpunt `A` . Die snijdt `l` en `m` , zeg in `B` respectievelijk `C` (je hoeft daarvoor niet de hele cirkel te tekenen). Zonder de stand van de passer te veranderen maak je nu een cirkel met middelpunt `B` en een met middelpunt `C` en bepaalt hun snijpunt `D` . Dan is `AD` de gezochte bissectrice.

c

Bewijs dat `AD` een bissectrice is.

Opgave 7Voronoi-diagrammen
Voronoi-diagrammen

Bij mobiele telefonie wordt contact gemaakt met de dichtstbij zijnde antenne die de telefoon herkent. Om elke antenne bestaat een gebied waarvan de punten juist tot deze antenne de kortste afstand hebben. De grenzen van deze gebieden zijn (stukken van) middelloodlijnen. Je spreekt wel van een voronoidiagram...

Hier zie je een hoe een voronoidiagram met 8 "antennes" (de rode punten) kan worden geconstrueerd. Volgens het naaste-buur-principe bestaat het gebied rond elke antenne uit punten waarvoor die antenne dichterbij is dan elke andere. De grenzen van die gebieden liggen telkens evenver van twee antennes af, het zijn daarom (delen van) de middelloodlijnen van lijnstukken tussen die twee antennes.

Voronoidiagrammen zijn bedacht door de Russische wiskundige (van Oekraïnse afkomst) Georgy F. Voronoi (1868 - 1908). Meer lezen over voronoidiagrammen en hun toepassingen, of ze snel maken? Ga naar

a

Teken een voronoidiagram met `3` punten. In welke situatie gaan de drie grenslijnen niet door één punt?

b

Je wilt een voronoidiagram maken met `4` punten. Hoeveel middelloodlijnen spelen er dan een rol?

c

Teken drie voronoidiagrammen met `4` punten, bij één ervan gaan de grenslijnen door één punt, bij een andere lopen alle grenslijnen evenwijdig en bij de derde zijn de punten volstrekt willekeurig gekozen.

Opgave 8De rechte van Euler
De rechte van Euler

Teken je in een driehoek het snijpunt `H` van de hoogtelijnen, het snijpunt `Z` van de zwaartelijnen en het snijpunt `M` van de middelloodlijnen, dan blijken die drie punten op één rechte lijn te liggen, de zogenaamde rechte van Euler.

Probeer een bewijs te vinden voor deze stelling. Zoek rustig op internet, maar formuleer het bewijs op je eigen manier en zo dat je het begrijpt.

verder | terug