Zie de
Probeer wel eerst om zelf een oplossing te vinden.
`AP` en `MP` zijn allebei stralen van een cirkel. De raaklijn aan de kleine cirkel door `P` staat loodrecht op `MP` . De raaklijn door `P` aan de grote cirkel met middelpunt `A` staat ook loodrecht op straal `AP` . Omdat `AP` en `MP` op dezelfde lijn liggen, vallen de raaklijnen samen. Punt `P` is daarom het raakpunt van de twee cirkels.
Volgens de uitleg geldt dat: `4^2 + r^2 = (8-r)^2` .
Dit uitwerken geeft `16 + r^2 = 64 - 16r + r^2` en dus `16r = 48` zodat `r=3` .
Eerst van beide cirkelvergelijkingen de haakjes wegwerken:
`{(x^2 + y^2 + 8x = 48),(x^2 + y^2 - 2ry = 0):}`
Als je deze twee vergelijkingen van elkaar aftrekt, vind je
`8x + 2ry = 48`
en dus
`x = text(-)1/4 ry + 6`
.
Vul dit in één van de cirkelvergelijkingen in, bijvoorbeeld
`x^2+y^2-2ry=0`
. Dan vind je:
`(text(-)1/4 ry + 6)^2+y^2-2ry=0`
`(1+1/16r^2)y^2-5ry+36=0` .
`D=0` geeft `25r^2-144(1+1/16r^2)=0` en `16r^2=144` , zodat `r=3` ( `r=text(-)3` vervalt).
Teken een rechthoekige driehoek met
`M_1 M_2`
als hypotenusa en de rechthoekszijden evenwijdig aan de zijden van het vierkant.
Noem de gevraagde straal
`r`
.
Ga na dat
`|M_1 M_2| = 4 + r`
en dat de rechthoekszijden
`4-r`
zijn. Uit de stelling van Pythagoras volgt
`(4+r)^2 = (4-r)^2 + (4-r)^2`
.
De positieve oplossingen hiervan zijn:
`r = (24 +- sqrt(512))/2`
. Alleen
`r = (24-sqrt(512))/2`
voldoet.
Cirkel `c_1` heeft dan als middelpunt `M_1(4, 4)` en een straal gelijk aan `4` . Dus de bijbehorende vergelijking is `c_1: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 16` .
Gebruik voor cirkel `c_2` als middelpunt `M_2(r, r)` en dus `c_2:(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2` . Reken nu het snijpunt van `c_1` met `c_2` uit. Omdat er maar één snijpunt (raakpunt) is, gebruik je `D=0` :
`c_1: x^2-8x+y^2-8y+16=0`
`c_2: x^2-2rx+y^2-2ry+r^2=0`
Hieruit volgt: `text(-)8x+2rx-8y+2ry+16-r^2=0` . Herleid deze uitdrukking tot `2y(r-4)=text(-)2x(r-4)+(r-4)(r+4)` en dus `y=text(-)x+1/2r+2` (mits `r ne 4` ). Dit invullen in `c_1` geeft `(x-4)^2+(text(-)x+1/2r-2)^2=16` en dit herleid je tot `2x^2+(text(-)r-4)x+1/4r^2-2r+4=0` .
Stel de discriminant gelijk aan `0` :
`D=(text(-)r-4)^2-4*2*(1/4r^2-2r+4)=0`
Herleid dit tot `r^2-24r+16=0` en dus `r=(24+-sqrt(512))/2` .
Alleen `r=(24-sqrt(512))/2` voldoet.
Voor
`A`
geldt
`y = 0`
en dus is
`ax = c`
zodat
`x = c/a`
.
Voor
`B`
geldt
`x = 0`
en dus is
`by = c`
zodat
`y = c/b`
.
Bereken verder
`|AB|`
met de stelling van Pythagoras in driehoek
`OAB`
.
Dan volgt: `|AB|^2=(c/a)^2+(c/b)^2` en dus `|AB| = sqrt((c^2)/(a^2) + (c^2)/(b^2))` .
Er geldt
`(|OS|)/(|OB|) = (|OA|)/(|AB|)`
, dus
`|OS| * |AB| = |OA| * |OB|`
.
Dus is
`|OS| * sqrt((c^2)/(a^2) + (c^2)/(b^2)) = c/a * c/b`
. Dit kun je herleiden tot
`|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))`
.
Uit de formule volgt `text(d)(O, l) = 6/(sqrt(2^2 + 3^2)) = 6/(sqrt(13)) ~~ 1,66` .
Voor
`l`
geldt:
`y = text(-) a/b x + c/b`
.
De loodlijn
`OS`
heeft dan een richtingscoëfficiënt van
`b/a`
en gaat door
`O`
. De vergelijking is
`y = b/a x`
.
Los op: `b/a x = text(-) a/b x + c/b` . Hieruit volgt dat `x=(ac)/(a^2+b^2)` .
Om de `y` -coördinaat te berekenen vul je deze `x` -waarde in `y=b/a x` in:
`y=(bc) / (a^2+b^2)` . Hieruit volgt `S((ac)/(a^2 + b^2), (bc)/(a^2 + b^2))` .
`|OS|=sqrt(((ac)/(a^2+b^2))^2+((bc)/(a^2+b^2))^2 )=(|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` .
Translatie van `text(-)p` ten opzichte van de `y` -as betekent `x` vervangen door `x+p` .
Translatie van `text(-)q` ten opzichte van de `x` -as betekent `y` vervangen door `y+q` .
Hieruit volgt: `l: a(x + p) + b(y + q) = c` .
De vergelijking van lijn
`l`
kun je schrijven als
`ax + by = text(-)ap + text(-)bq + c`
.
Hieruit volgt:
`text(d)(P, l) = (|ap + bq - c|)/(sqrt(a^2 + b^2))`
.
De afstand van
`P`
tot lijn
`l`
is gelijk aan
`17/sqrt(13)~~4,71`
.
Hieruit volgt:
`text(d)(P, l) = (|2*4 + 3*5 - 6|)/(sqrt(2^2 + 3^2) )= 17/(sqrt(13))~~4,71`
.
Herleid
`l`
tot
`y = text(-) 2/3 x + 2`
.
De loodlijn door
`P`
op
`l`
is
`y = 3/2 x - 1`
.
Deze lijnen snijden geeft
`S(18/13, 14/13)`
en de gevraagde afstand wordt
`text(d)(P,l) = |PS| =`
`sqrt((4 - 18/13)^2 + (5 - 14/13)^2) = 1/13 sqrt(3757)~~4,71`
. Dit is hetzelfde als het antwoord bij c.
Bereken
`|CD|`
met behulp van de stelling van Pythagoras:
`CD=sqrt((2a)^2-a^2)= sqrt(3a^2) = a sqrt(3)`
.
`Delta DBC`
is gelijkvormig aan
`Delta EMC`
en hieruit volgt:
`a/(a sqrt(3)) = r/a`
en dus is
`r = 1/3 a sqrt(3)`
.
Noem de punten van de driehoek `A(text(-)a, 0)` , `B(a, 0)` , `C(0, a sqrt(3))` . En dus is bijvoorbeeld `E(1/2 a, 1/2 a sqrt(3))` .
Lijn `AE` heeft vergelijking `y = 1/3 sqrt(3) * x + b` en gaat door `A(text(-)a, 0)` , dus `b = 1/3 a sqrt(3)` . Dit is meteen de straal van de cirkel.
Gebruik de punten `A(0, 0)` , `B(2b, 0)` en `C(2a, 2c)` en de middens van de zijden: `D(b, 0)` , `E(a + b, c)` en `F(a, c)` . Stel vergelijkingen op van de zwaartelijnen en snijd twee van deze met elkaar.
De vergelijking van de lijn door `AE` is `y=c/(a+b)x` .
De vergelijking van de lijn door `BF` is `y=text(-)c/(2b-a)x+c+(ac)/(2b-a)` .
Hieruit volgt de vergelijking `c/(a+b)x=text(-)c/(2b-a)x+c+(ac)/(2b-a)` en dus `x=(1+(a)/(2b-a))/(1/(a+b)+1/(2b-a))` . Dit kun je herleiden naar `x=2/3(a+b)` .
`y=c/(a+b)*2/3(a+b)=2/3c`
Dus `Z(2/3a+2/3b, 2/3c)` .
`|AZ|:|ZE|=(sqrt(2/3a+2/3b)^2+(2/3b)^2)/(sqrt((1/3a+1/3b)^2+(1/3c)^2))=sqrt((4((1/3a+1/3b)^2+(1/3c)^2))/((1/3a+1/3b)^2+(1/3c)^2))=2` .
Dus `|AZ|:|ZE|=2:1` .
Er zijn vier van die cirkels mogelijk.
Neem aan dat de betreffende diagonaal
`BD`
is.
`|BD| = 4 sqrt(2)`
.
Als
`N`
het midden van
`BD`
en
`M`
het middelpunt van cirkel
`c`
is, dan is
`|MN| = r`
. Druk
`BN`
uit in
`r`
om de waarde van
`r`
uit te kunnen rekenen. Teken daartoe loodrecht op de zijden van het vierkant lijnstukken
`MP`
en
`MQ`
beide met lengte
`r`
. Dan geldt dat
`Delta BPM`
en
`Delta BNM`
congruent zijn. Omdat
`BP=4-r`
geldt nu ook dat
`BN=4-r`
.
`|BN|=1/2*|BD|`
, dus
`2 * (4 - r) = 4 sqrt(2)`
.
Hieruit volgt
`r = 4 - 2sqrt(2)`
.
Het middelpunt `M(r, r)` van `c` ligt op lijnstuk `AN` en op de cirkel `(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = r^2` . Dit betekent dat `(r - 2)^2 + (r - 2)^2 = r^2` , ofwel `r = 4 +- 2sqrt(2)` . Alleen `r=4-2sqrt(2)` voldoet.
Gegeven:
`ΔABC`
met
`D`
midden
`BC`
,
`E`
midden
`AC`
. Lijn
`DE`
is een middenparallel in de driehoek.
Te bewijzen:
`DE// //AB`
Bewijs:
Omdat
`CB = 2 * CD`
en
`CA = 2 * CE`
en
`/_ C = /_ C`
zijn de driehoeken
`ABC`
en
`EDC`
gelijkvormig. (zhz)
Dus is
`/_ DEC = /_ BAC`
en daarom is
`DE // // AB`
. (F-hoeken)
Q.e.d.
Kies een handig assenstelsel, bijvoorbeeld zo, dat
`A(0, 0)`
,
`B(b, 0)`
en
`C(a, c)`
. Dan volgt dat de richtingscoëfficiënt van
`AB`
gelijk is aan
`0`
.
Omdat
`DE`
een middenparallel is, geldt
`D(1/2 a + 1/2 b, 1/2 c)`
en
`E(1/2 a, 1/2 c)`
. De richtingscoëfficiënt van lijn
`ED`
is dus ook
`0`
. Hieruit volgt dat
`DE // // AB`
.
`m` staat loodrecht op `l` en gaat door de oorsprong, dus `m: y=2x` .
Gelijkstellen geeft `x=2/5p` , waaruit volgt `y=4/5p` . Dus het snijpunt is `S(2/5p, 4/5p)` .
Zo krijg je `text(d)(O, S)=sqrt(4/25p^2+16/25p^2)=sqrt(20/25)p` . Uit `text(d)(O, S)=2` volgt dan `p=sqrt(5)` .
Laat
`M`
het midden van
`AD`
,
`N`
het middelpunt van de omgeschreven cirkel,
`P`
het midden van
`BC`
zijn en
`r`
de straal van de omgeschreven cirkel. Dan is
`Delta PCN`
rechthoekig met
`|CN| = r`
,
`|PC| = 1`
en
`|NP| = 3 - r`
(bedenk bij dit laatste dat de straal van de halve cirkel gelijk is aan
`1`
en
`MP=2`
).
`(3 - r)^2 + 1^2 = r^2`
.
Hieruit volgt
`10 - 6r = 0`
en dus
`r = 1 2/3`
.
Noem
`M`
het midden van
`AD`
.
Kies een assenstelsel zo, dat
`M(0, 0)`
,
`A(text(-)1, 0)`
,
`B(text(-)1, text(-)2)`
,
`C(1, text(-)2)`
en
`D(1, 0)`
. De gevraagde cirkel gaat door de punten
`B`
,
`C`
en
`(0, 1)`
. Het middelpunt is
`N(0, 1 - r)`
en de straal is
`r`
. De vergelijking is daarom
`x^2 + (y - 1 + r)^2 = r^2`
. Vul daarin bijvoorbeeld de coördinaten van
`C`
in. Hieruit volgt
`r= 1 2/3`
cm.
Neem driehoek
`ABC`
met
`AB = 2b`
en
`AC = BC = 2a`
.
Neem
`D`
het midden van
`AB`
. Op
`CD`
ligt
`M`
, het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek en het middelpunt
van de omgeschreven cirkel.
`Delta DBM`
is rechthoekig met
`BM = r`
(de gevraagde straal),
`DB = b`
en
`DM = sqrt(4a^2 - b^2) - r`
.
`r^2 = b^2 + (sqrt(4a^2 - b^2) - r)^2`
.
Hieruit volgt
`r = (2a^2)/(sqrt(4a^2 - b^2))`
.
Neem driehoek
`ABC`
met
`AB = 2b`
en
`AC = BC = 2a`
.
Neem
`D`
het midden van
`AB`
. Op
`CD`
ligt
`M`
, het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek en het middelpunt
van de omgeschreven cirkel.
Kies een assenstelsel zo, dat
`D(0, 0)`
,
`A(text(-)b, 0)`
,
`B(b, 0)`
en
`C(0, sqrt(4a^2 - b^2))`
. Stel een vergelijking op van de middelloodlijn van
`BC`
:
`y=b/(sqrt(4a^2-b^2))*x+1/2sqrt(4a^2-b^2)-(1/2b^2)/(sqrt(4a^2-b^2))`
. Het snijpunt van deze lijn met de
`y`
-as is het middelpunt van de cirkel. De straal is het positieve verschil van de
`y`
-waarden van
`M`
en
`C`
. Hieruit volgt
`r=(2a^2)/(sqrt(4a^2-b^2))`
.
Synthetische aanpak:
`/_ AMB`
is gestrekt, dus
`/_AMD + /_DMC + /_CMB = 180^@`
. Verder is
`/_CMB = /_MDA`
omdat driehoeken
`AMD`
en
`BMC`
congruent zijn (ZZZ). Dus is
`/_DMC = 180^@ - /_AMD - /_MDA = /_DAM`
(hoekensom driehoek). Dit betekent dat de driehoeken
`DAM`
en
`DMC`
gelijkvormig (gelijkbenig en dezelfde tophoek, dus zhz) zijn.
Hieruit volgt dat
`CD = 5/8 * 5 = 25/8`
.
Analytische aanpak: Kies een assenstelsel zo, dat
`M(0, 0)`
,
`A(text(-)8, 0)`
en
`B(8, 0)`
. De coördinaten van bijvoorbeeld punt
`C`
zijn dan te berekenen door de cirkel om
`M`
met straal
`5`
en de cirkel om
`B`
met straal
`8`
met elkaar te snijden. Hieruit volgt
`x_c=25/16`
.
De lengte van
`CD`
is dan twee maal de
`x`
-coördinaat van
`C`
. Dus
`CD=25/8`
.
Teken vanuit
`P`
een loodlijn naar
`AB`
en noem het snijpunt
`S`
.
Als
`a`
de lengte van het vierkant is, dan geldt in de rechthoekige driehoek
`SBP`
:
`a^2 = (a - 1)^2 + (a - 8)^2`
. Hieruit volgt
`(a-5)(a-13)=0`
en dus
`a = 5 vv a = 13`
. Alleen
`a=13`
voldoet.
Kies een assenstelsel zo, dat (bijvoorbeeld) `D(0, 0)` en `P(8, text(-)1)` . Als `a` de lengte van het vierkant is, dan geldt voor de kwartcirkel `(x - a)^2 + (y + a)^2 = a^2` . De coördinaten van `P` invullen en herleiden geeft `a^2-18a+65=0` en dus `(a-5)(a-13)=0` . Alleen `a = 13` voldoet.