Geef een formule voor de afstand van punt `O(0, 0)` tot de lijn `l: ax + by = c` . Gebruik hiervoor zowel een synthetische als een analytische aanpak.
Controleer met deze formule dat de afstand van `O(0,0)` tot de lijn `l: 3x+4y=12` gelijk is aan `2,4` .
Eerst een synthetische aanpak:
Bereken eerst de snijpunten van
`l`
met de assen:
`A(c/a , 0)`
en
`B(0, c/b)`
.
Gebruik vervolgens de gelijkvormigheid van (bijvoorbeeld) de driehoeken
`OAB`
en
`SAO`
. Bereken eerst
`|AB| = sqrt((c^2)/(a^2) + (c^2)/(b^2))`
. Leid uit de gelijkvormigheid vervolgens af dat de gevraagde afstand
`|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))`
is.
Een analytische aanpak is:
Bereken eerst de snijpunten van
`l`
met de assen:
`A(c/a , 0)`
en
`B(0, c/b)`
.
Stel vervolgens een vergelijking op van de lijn door
`O`
die loodrecht staat op
`l`
.
Snijd deze lijn met lijn
`l`
om de coördinaten van
`S`
te vinden:
`S((ac)/(a^2 + b^2), (bc)/(a^2 + b^2))`
.
Bereken tenslotte
`|OS| = sqrt((a^2c^2)/((a^2 + b^2)^2) + (b^2c^2)/((a^2 + b^2)^2))`
. Dit is te herleiden tot
`|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))`
.
De afstand van `O(0,0)` tot de lijn `l:3x+4y=12` is `12/(sqrt(3^2+4^2))=2,4` .
Bekijk
Bereken de snijpunten `A` en `B` met de coördinaatassen en de lengte van lijnstuk `AB` .
Gebruik de beschreven gelijkvormigheid om de afstand `|OS|` van punt `O` tot lijn `l` te berekenen.
Bereken in twee decimalen de afstand van `O` tot de lijn `2x + 3y = 6` .
Controleer daarna jouw antwoord met de applet.
Bekijk weer
Stel de vergelijking op van de lijn `OS` .
Toon aan dat `S((ac)/(a^2 + b^2), (bc)/(a^2 + b^2))` en `|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` .
Leid met behulp van de formule in
Wat wordt na die translatie de vergelijking van lijn `l` ?
Gebruik de algemene formule voor de afstand van `O` tot lijn `l` en bereken daarmee de afstand van `P` tot `l` .
Gebruik de bij b gevonden formule om de afstand van `P(4, 5)` tot lijn `l: 2x + 3y = 6` uit te rekenen. Rond af op twee decimalen.
Je kunt de afstand van `P(4, 5)` tot lijn `l: 2x + 3y = 6` ook berekenen door een loodlijn door `P` op lijn `l` te maken en het snijpunt `S` van `l` en die loodlijn uit te rekenen. `|PS|` is dan de gevraagde afstand.
Bereken de afstand op deze manier en vergelijk het antwoord met c.