`AP` en `MP` zijn allebei stralen van een cirkel. De raaklijn aan de kleine cirkel door `P` staat loodrecht op `MP` . De raaklijn door `P` aan de grote cirkel met middelpunt `A` staat ook loodrecht op straal `AP` . Omdat `AP` en `MP` op dezelfde lijn liggen, vallen de raaklijnen samen. Punt `P` is daarom het raakpunt van de twee cirkels.

Volgens de uitleg geldt dat: `4^2 + r^2 = (8-r)^2` .

Dit uitwerken geeft `16 + r^2 = 64 - 16r + r^2` en dus `16r = 48` zodat `r=3` .

Eerst van beide cirkelvergelijkingen de haakjes wegwerken:
`{(x^2 + y^2 + 8x = 48),(x^2 + y^2 - 2ry = 0):}`
Als je deze twee vergelijkingen van elkaar aftrekt, vind je `8x + 2ry = 48` en dus `x = text(-)1/4 ry + 6` .
Vul dit in één van de cirkelvergelijkingen in, bijvoorbeeld `x^2+y^2-2ry=0` . Dan vind je:

`(text(-)1/4 ry + 6)^2+y^2-2ry=0`

`(1+1/16r^2)y^2-5ry+36=0` .

`D=0` geeft `25r^2-144(1+1/16r^2)=0` en `16r^2=144` , zodat `r=3` ( `r=text(-)3` vervalt).

Teken een rechthoekige driehoek met `M_1 M_2` als hypotenusa en de rechthoekszijden evenwijdig aan de zijden van het vierkant. Noem de gevraagde straal `r` .
Ga na dat `|M_1 M_2| = 4 + r` en dat de rechthoekszijden `4-r` zijn. Uit de stelling van Pythagoras volgt `(4+r)^2 = (4-r)^2 + (4-r)^2` .
De positieve oplossingen hiervan zijn: `r = (24 +- sqrt(512))/2` . Alleen `r = (24-sqrt(512))/2` voldoet.

Cirkel `c_1` heeft dan als middelpunt `M_1(4, 4)` en een straal gelijk aan `4` . Dus de bijbehorende vergelijking is `c_1: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 16` .

Gebruik voor cirkel `c_2` als middelpunt `M_2(r, r)` en dus `c_2:(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2` . Reken nu het snijpunt van `c_1` met `c_2` uit. Omdat er maar één snijpunt (raakpunt) is, gebruik je `D=0` :

`c_1: x^2-8x+y^2-8y+16=0`

`c_2: x^2-2rx+y^2-2ry+r^2=0`

Hieruit volgt: `text(-)8x+2rx-8y+2ry+16-r^2=0` . Herleid deze uitdrukking tot `2y(r-4)=text(-)2x(r-4)+(r-4)(r+4)` en dus `y=text(-)x+1/2r+2` (mits `r ne 4` ). Dit invullen in `c_1` geeft `(x-4)^2+(text(-)x+1/2r-2)^2=16` en dit herleid je tot `2x^2+(text(-)r-4)x+1/4r^2-2r+4=0` .

Stel de discriminant gelijk aan `0` :

`D=(text(-)r-4)^2-4*2*(1/4r^2-2r+4)=0`

Herleid dit tot `r^2-24r+16=0` en dus `r=(24+-sqrt(512))/2` .

Alleen `r=(24-sqrt(512))/2` voldoet.

Voor `A` geldt `y = 0` en dus is `ax = c` zodat `x = c/a` .
Voor `B` geldt `x = 0` en dus is `by = c` zodat `y = c/b` .
Bereken verder `|AB|` met de stelling van Pythagoras in driehoek `OAB` .

Dan volgt: `|AB|^2=(c/a)^2+(c/b)^2` en dus `|AB| = sqrt((c^2)/(a^2) + (c^2)/(b^2))` .

Er geldt `(|OS|)/(|OB|) = (|OA|)/(|AB|)` , dus `|OS| * |AB| = |OA| * |OB|` .
Dus is `|OS| * sqrt((c^2)/(a^2) + (c^2)/(b^2)) = c/a * c/b` . Dit kun je herleiden tot `|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` .

Uit de formule volgt `text(d)(O, l) = 6/(sqrt(2^2 + 3^2)) = 6/(sqrt(13)) ~~ 1,66` .

Voor `l` geldt: `y = text(-) a/b x + c/b` .
De loodlijn `OS` heeft dan een richtingscoëfficiënt van `b/a` en gaat door `O` . De vergelijking is `y = b/a x` .

Los op: `b/a x = text(-) a/b x + c/b` . Hieruit volgt dat `x=(ac)/(a^2+b^2)` .

Om de `y` -coördinaat te berekenen vul je deze `x` -waarde in `y=b/a x` in:

`y=(bc) / (a^2+b^2)` . Hieruit volgt `S((ac)/(a^2 + b^2), (bc)/(a^2 + b^2))` .

`|OS|=sqrt(((ac)/(a^2+b^2))^2+((bc)/(a^2+b^2))^2 )=(|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` .

Translatie van `text(-)p` ten opzichte van de `y` -as betekent `x` vervangen door `x+p` .

Translatie van `text(-)q` ten opzichte van de `x` -as betekent `y` vervangen door `y+q` .

Hieruit volgt: `l: a(x + p) + b(y + q) = c` .

De vergelijking van lijn `l` kun je schrijven als `ax + by = text(-)ap + text(-)bq + c` .
Hieruit volgt: `text(d)(P, l) = (|ap + bq - c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` .

De afstand van `P` tot lijn `l` is gelijk aan `17/sqrt(13)~~4,71` .
Hieruit volgt: `text(d)(P, l) = (|2*4 + 3*5 - 6|)/(sqrt(2^2 + 3^2) )= 17/(sqrt(13))~~4,71` .

Herleid `l` tot `y = text(-) 2/3 x + 2` .
De loodlijn door `P` op `l` is `y = 3/2 x - 1` .
Deze lijnen snijden geeft `S(18/13, 14/13)` en de gevraagde afstand wordt `text(d)(P,l) = |PS| =`
`sqrt((4 - 18/13)^2 + (5 - 14/13)^2) = 1/13 sqrt(3757)~~4,71` . Dit is hetzelfde als het antwoord bij c.

Bereken `|CD|` met behulp van de stelling van Pythagoras: `CD=sqrt((2a)^2-a^2)= sqrt(3a^2) = a sqrt(3)` .
`Delta DBC` is gelijkvormig aan `Delta EMC` en hieruit volgt: `a/(a sqrt(3)) = r/a` en dus is `r = 1/3 a sqrt(3)` .

Noem de punten van de driehoek `A(text(-)a, 0)` , `B(a, 0)` , `C(0, a sqrt(3))` . En dus is bijvoorbeeld `E(1/2 a, 1/2 a sqrt(3))` .

Lijn `AE` heeft vergelijking `y = 1/3 sqrt(3) * x + b` en gaat door `A(text(-)a, 0)` , dus `b = 1/3 a sqrt(3)` . Dit is meteen de straal van de cirkel.

Gebruik de punten `A(0, 0)` , `B(2b, 0)` en `C(2a, 2c)` en de middens van de zijden: `D(b, 0)` , `E(a + b, c)` en `F(a, c)` . Stel vergelijkingen op van de zwaartelijnen en snijd twee van deze met elkaar.

De vergelijking van de lijn door `AE` is `y=c/(a+b)x` .

De vergelijking van de lijn door `BF` is `y=text(-)c/(2b-a)x+c+(ac)/(2b-a)` .

Hieruit volgt de vergelijking `c/(a+b)x=text(-)c/(2b-a)x+c+(ac)/(2b-a)` en dus `x=(1+(a)/(2b-a))/(1/(a+b)+1/(2b-a))` . Dit kun je herleiden naar `x=2/3(a+b)` .

`y=c/(a+b)*2/3(a+b)=2/3c`

Dus `Z(2/3a+2/3b, 2/3c)` .

`|AZ|:|ZE|=(sqrt(2/3a+2/3b)^2+(2/3b)^2)/(sqrt((1/3a+1/3b)^2+(1/3c)^2))=sqrt((4((1/3a+1/3b)^2+(1/3c)^2))/((1/3a+1/3b)^2+(1/3c)^2))=2` .

Dus `|AZ|:|ZE|=2:1` .

Er zijn vier van die cirkels mogelijk.

Neem aan dat de betreffende diagonaal `BD` is. `|BD| = 4 sqrt(2)` .
Als `N` het midden van `BD` en `M` het middelpunt van cirkel `c` is, dan is `|MN| = r` . Druk `BN` uit in `r` om de waarde van `r` uit te kunnen rekenen. Teken daartoe loodrecht op de zijden van het vierkant lijnstukken `MP` en `MQ` beide met lengte `r` . Dan geldt dat `Delta BPM` en `Delta BNM` congruent zijn. Omdat `BP=4-r` geldt nu ook dat `BN=4-r` .

`|BN|=1/2*|BD|` , dus `2 * (4 - r) = 4 sqrt(2)` .
Hieruit volgt `r = 4 - 2sqrt(2)` .

Het middelpunt `M(r, r)` van `c` ligt op lijnstuk `AN` en op de cirkel `(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = r^2` . Dit betekent dat `(r - 2)^2 + (r - 2)^2 = r^2` , ofwel `r = 4 +- 2sqrt(2)` . Alleen `r=4-2sqrt(2)` voldoet.

Gegeven:
`ΔABC` met `D` midden `BC` , `E` midden `AC` . Lijn `DE` is een middenparallel in de driehoek.

Te bewijzen:
`DE// //AB`

Bewijs:
Omdat `CB = 2 * CD` en `CA = 2 * CE` en `/_ C = /_ C` zijn de driehoeken `ABC` en `EDC` gelijkvormig. (zhz)
Dus is `/_ DEC = /_ BAC` en daarom is `DE // // AB` . (F-hoeken)
Q.e.d.

Kies een handig assenstelsel, bijvoorbeeld zo, dat `A(0, 0)` , `B(b, 0)` en `C(a, c)` . Dan volgt dat de richtingscoëfficiënt van `AB` gelijk is aan `0` .
Omdat `DE` een middenparallel is, geldt `D(1/2 a + 1/2 b, 1/2 c)` en `E(1/2 a, 1/2 c)` . De richtingscoëfficiënt van lijn `ED` is dus ook `0` . Hieruit volgt dat `DE // // AB` .

Laat `M` het midden van `AD` , `N` het middelpunt van de omgeschreven cirkel, `P` het midden van `BC` zijn en `r` de straal van de omgeschreven cirkel. Dan is `Delta PCN` rechthoekig met `|CN| = r` , `|PC| = 1` en `|NP| = 3 - r` (bedenk bij dit laatste dat de straal van de halve cirkel gelijk is aan `1` en `MP=2` ).
`(3 - r)^2 + 1^2 = r^2` .
Hieruit volgt `10 - 6r = 0` en dus `r = 1 2/3` .

Noem `M` het midden van `AD` .
Kies een assenstelsel zo, dat `M(0, 0)` , `A(text(-)1, 0)` , `B(text(-)1, text(-)2)` , `C(1, text(-)2)` en `D(1, 0)` . De gevraagde cirkel gaat door de punten `B` , `C` en `(0, 1)` . Het middelpunt is `N(0, 1 - r)` en de straal is `r` . De vergelijking is daarom `x^2 + (y - 1 + r)^2 = r^2` . Vul daarin bijvoorbeeld de coördinaten van `C` in. Hieruit volgt `r= 1 2/3` cm.

Neem driehoek `ABC` met `AB = 2b` en `AC = BC = 2a` .
Neem `D` het midden van `AB` . Op `CD` ligt `M` , het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek en het middelpunt van de omgeschreven cirkel. `Delta DBM` is rechthoekig met `BM = r` (de gevraagde straal), `DB = b` en `DM = sqrt(4a^2 - b^2) - r` .
`r^2 = b^2 + (sqrt(4a^2 - b^2) - r)^2` .
Hieruit volgt `r = (2a^2)/(sqrt(4a^2 - b^2))` .

Neem driehoek `ABC` met `AB = 2b` en `AC = BC = 2a` .
Neem `D` het midden van `AB` . Op `CD` ligt `M` , het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek en het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Kies een assenstelsel zo, dat `D(0, 0)` , `A(text(-)b, 0)` , `B(b, 0)` en `C(0, sqrt(4a^2 - b^2))` . Stel een vergelijking op van de middelloodlijn van `BC` : `y=b/(sqrt(4a^2-b^2))*x+1/2sqrt(4a^2-b^2)-(1/2b^2)/(sqrt(4a^2-b^2))` . Het snijpunt van deze lijn met de `y` -as is het middelpunt van de cirkel. De straal is het positieve verschil van de `y` -waarden van `M` en `C` . Hieruit volgt `r=(2a^2)/(sqrt(4a^2-b^2))` .

Teken vanuit `P` een loodlijn naar `AB` en noem het snijpunt `S` .
Als `a` de lengte van het vierkant is, dan geldt in de rechthoekige driehoek `SBP` : `a^2 = (a - 1)^2 + (a - 8)^2` . Hieruit volgt `(a-5)(a-13)=0` en dus `a = 5 vv a = 13` . Alleen `a=13` voldoet.

Kies een assenstelsel zo, dat (bijvoorbeeld) `D(0, 0)` en `P(8, text(-)1)` . Als `a` de lengte van het vierkant is, dan geldt voor de kwartcirkel `(x - a)^2 + (y + a)^2 = a^2` . De coördinaten van `P` invullen en herleiden geeft `a^2-18a+65=0` en dus `(a-5)(a-13)=0` . Alleen `a = 13` voldoet.