Krommen in 2D

Krommen in 2D > Meetkunde in 2D

123456Meetkunde in 2D

Voorbeeld 1

Geef een formule voor de afstand van punt `O(0, 0)` tot de lijn `l: ax + by = c` . Gebruik hiervoor zowel een synthetische als een analytische aanpak.

Controleer met deze formule dat de afstand van `O(0,0)` tot de lijn `l: 3x+4y=12` gelijk is aan `2,4` .

> antwoord

Eerst een synthetische aanpak:

Bereken eerst de snijpunten van `l` met de assen: `A(c/a , 0)` en `B(0, c/b)` .
Gebruik vervolgens de gelijkvormigheid van (bijvoorbeeld) de driehoeken `OAB` en `SAO` . Bereken eerst `|AB| = sqrt((c^2)/(a^2) + (c^2)/(b^2))` . Leid uit de gelijkvormigheid vervolgens af dat de gevraagde afstand `|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` is.

Een analytische aanpak is:

Bereken eerst de snijpunten van `l` met de assen: `A(c/a , 0)` en `B(0, c/b)` .
Stel vervolgens een vergelijking op van de lijn door `O` die loodrecht staat op `l` .
Snijd deze lijn met lijn `l` om de coördinaten van `S` te vinden: `S((ac)/(a^2 + b^2), (bc)/(a^2 + b^2))` .
Bereken tenslotte `|OS| = sqrt((a^2c^2)/((a^2 + b^2)^2) + (b^2c^2)/((a^2 + b^2)^2))` . Dit is te herleiden tot `|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` .

De afstand van `O(0,0)` tot de lijn `l:3x+4y=12` is `12/(sqrt(3^2+4^2))=2,4` .

Opgave 3

Bekijk Voorbeeld 1 en leid de afstand van de oorsprong tot lijn `l: ax+by=c` af met behulp van de synthetische aanpak.

Bereken de snijpunten `A` en `B` met de coördinaatassen en de lengte van lijnstuk `AB` .

Gebruik de beschreven gelijkvormigheid om de afstand `|OS|` van punt `O` tot lijn `l` te berekenen.

Bereken in twee decimalen de afstand van `O` tot de lijn `2x + 3y = 6` .

Controleer daarna jouw antwoord met de applet.

Opgave 4

Bekijk weer Voorbeeld 1. Leid de afstand van de oorsprong tot lijn `l: ax+by=c` af met behulp van de analytische aanpak.

Stel de vergelijking op van de lijn `OS` .

Toon aan dat `S((ac)/(a^2 + b^2), (bc)/(a^2 + b^2))` en `|OS| = (|c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` .

Opgave 5

Leid met behulp van de formule in Voorbeeld 1 een algemene formule af voor de afstand van een punt `P(p, q)` tot een lijn `l: ax + by = c` . Pas een translatie toe van `text(-)p` ten opzichte van de `y` -as en een translatie van `text(-)q` ten opzichte van de `x` -as om het punt `P` naar `O` te verplaatsen.

Wat wordt na die translatie de vergelijking van lijn `l` ?

Gebruik de algemene formule voor de afstand van `O` tot lijn `l` en bereken daarmee de afstand van `P` tot `l` .

Gebruik de bij b gevonden formule om de afstand van `P(4, 5)` tot lijn `l: 2x + 3y = 6` uit te rekenen. Rond af op twee decimalen.

Je kunt de afstand van `P(4, 5)` tot lijn `l: 2x + 3y = 6` ook berekenen door een loodlijn door `P` op lijn `l` te maken en het snijpunt `S` van `l` en die loodlijn uit te rekenen. `|PS|` is dan de gevraagde afstand.

Bereken de afstand op deze manier en vergelijk het antwoord met c.

verder | terug