Krommen in 2D > Meetkunde in 2DVoorbeeld 2
In een gelijkzijdige driehoek met zijden die een lengte van `2a` hebben, zit een cirkel `c` die alle drie de zijden van deze driehoek raakt. Druk de straal van deze ingeschreven cirkel uit in `a` . Gebruik zowel een synthetische als een analytische aanpak.
Een synthetische aanpak:
-
Het middelpunt `M` van de cirkel is het snijpunt van de bissectrices van de hoeken van driehoek `ABC` . Deze bissectrices zijn in een gelijkzijdige driehoek ook middelloodlijnen van de zijden. Dus zijn de punten `D` , `E` en `F` de middens van de zijden en staan `AE` , `CD` en `BF` loodrecht op die zijden.
Uit de gelijkvormigheid van bijvoorbeeld `Delta DBC` en `Delta EMC` volgt `r = 1/3 a sqrt(3)` .
Een analytische aanpak:
-
Het middelpunt `M` van de cirkel is het snijpunt van bissectrices van de hoeken van driehoek `ABC` . Deze bissectrices zijn in een gelijkzijdige driehoek ook middelloodlijnen van de zijden. Dus zijn de punten `D` , `E` en `F` de middens van de zijden en staan `AE` , `CD` en `BF` loodrecht op die zijden.
Kies een assenstelsel met (bijvoorbeeld) de oorsprong in `D` , lijn `AB` als `x` -as en lijn `DC` als `y` -as. Bepaal dan de coördinaten van de hoekpunten van `Delta ABC` en daarmee die van `E` en `F` . Stel vervolgens de vergelijking van `AE` op en bereken het snijpunt daarvan met de `y` -as, dat is punt `M` . Deze `y` -waarde is de straal van de cirkel.
De synthetische aanpak bespaart je wat rekenwerk, maar vraagt meer inzicht. Voor de analytische aanpak geldt het tegenovergestelde.
Bekijk de manier waarop in
Toon met behulp van de synthetische aanpak aan dat `r=1/3asqrt(3)` .
Toon met behulp van de analytische aanpak aan dat `r=1/3asqrt(3)` .