Krommen in 2D > Meetkunde in 2DUitleg
|
|
|
|
Bekijk de cirkel `c` met middelpunt `M` . Lijnstuk `AB` raakt deze cirkel. En er zijn twee cirkelbogen met een straal van `8` cm die cirkel `c` raken en middelpunten `A` en `B` hebben.
Er zijn twee manieren om de straal van cirkel `c` te berekenen:
-
Lijn `AB` raakt `c` in punt `O` , dus `MO _|_ AB` . De lijn door `A` en `M` snijdt cirkel `c` in punt `P` en dit is tegelijk het raakpunt van `c` en de cirkelboog met middelpunt `A` en straal `8` .
Omdat `|AP|=8` en `|MP|=r` geldt `|AM|=8-r` .
Ga na dat in de rechthoekige driehoek `AOM` geldt: `|AO|=4` en `|OM|=r` . Met de stelling van Pythagoras in deze driehoek krijg je `4^2 + r^2 = (8-r)^2` . Hieruit volgt `r=3` waarmee de vraag is beantwoord. -
Maak een assenstelsel met de `x` -as door `A` , `O` en `B` en de `y` -as door `O` en `M` . Dan heb je de punten `A(text(-)4, 0)` , `B(4, 0)` en `M(0, r)` met `r \gt 0` .
Dan is `c: x^2 + (y - r)^2 = r^2` en heeft de cirkel door `A` met straal `8` de vergelijking `(x+4)^2 + y^2 = 64` .
Beide cirkels moeten precies één punt gemeen hebben. Bereken dit punt door in beide vergelijkingen de haakjes weg te werken en dan met behulp van de balansmethode alle kwadraten weg te laten vallen. Er blijft dan een lineair verband over in de vorm `x= ...` of `y= ...` dat je in een van beide cirkelvergelijkingen invult. Hieruit volgt een kwadratische vergelijking waarvan de discriminant gelijk moet zijn aan `0` . Ook op deze manier volgt `r=3` .
Welke van beide manieren de beste is, hangt af van de situatie. Soms is het werken met eenvoudige meetkunde sneller en betekent het gebruik van analytische meetkunde omslachtig rekenwerk. Maar bij het toepassen van analytische meetkunde kun je in ieder geval altijd rekenen, ook als je niet meteen de aanpak ziet.
Bekijk de eerste manier die in de
Leg uit waarom punt `P` het raakpunt van beide cirkels is.
Reken na dat `r=3` .
Bekijk vervolgens de tweede manier.
Laat zien dat uit de discriminantmethode ook blijkt dat `r = 3` .
In een vierkant `ABCD` met zijden van `8` cm zit een cirkel `c_1` die alle vier de zijden van het vierkant raakt. Er zijn vier kleinere cirkels die precies twee zijden van het vierkant raken en ook cirkel `c_1` raken. `c_2` is één van die vier cirkels.
Maak een tekening van de situatie en teken een mogelijke cirkel `c_2` .
Bereken exact de straal van `c_2` .
Dit probleem is ook op te lossen door een assenstelsel in te voeren. Kies bijvoorbeeld punt `A` als oorsprong van het assenstelsel, de `x` -as langs lijnstuk `AB` en de `y` -as langs lijnstuk `AD` . Teken daarin `c_2` zo, dat deze cirkel raakt aan beide assen.
Laat zien hoe je nu de straal van `c_2` berekent met behulp van vergelijkingen van cirkels.