Een parabool is een kromme die bestaat uit een aantal punten `P` die een even grote afstand hebben tot het brandpunt `F` en de richtlijn `r` . Dus `|PF|=text(d)(P, r)` .

Er geldt `text(d)(P,r)=x+1` en `|PF|=sqrt( ( x-1 ) ^2 +y^2 )` .

Hieruit volgt: `x+1 =sqrt( ( x-1 ) ^2 +y^2 )`

Dit geeft `x^2 +2 x+1 =x^2 -2 x+1 +y^2` en dus is de vergelijking van de parabool `y^2 =4 x` .

`x=sqrt( (x-2 ) ^2 +y^2 )` geeft `x^2 =x^2 -4 x+4 +y^2` en dus `y^2 =4 ( x-1 )` .

`x+0,5 p=sqrt( (x-0,5 p) ^2 +y^2 )` geeft
`x^2 +px+0,25 p^2 =x^2 -px+0,25 p^2 +y^2` en dus `y^2 =2 px` .

Je wilt een parabool met brandpunt `F` en een richtlijn `r` tekenen.

Kies een willekeurig punt `V` op de richtlijn en teken in dat punt een loodlijn op die richtlijn.

Construeer de middelloodlijn van `FV` en bepaal het snijpunt `P` ervan met de loodlijn.

`P` is een punt van de parabool.

Herhaal deze procedure met een aantal verschillende punten `V` .

Bewijs:
Teken een punt `Q` , de loodlijn op `l` en de middelloodlijn van `QF` .
Teken ook `QF` en noem `M` het midden van `QF` .
Dan is `|QM| = |MF|` , `/_ QMP = /_FMP = 90` ° en `|MP| = |MP|` , zodat `Delta QMP ~= Delta FMP` .
Hieruit volgt `|QP| = text(d)(P, l) = |PF|` .
Q.e.d.

Bij een cirkel staat de raaklijn in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt. Bij een parabool is daarvan geen sprake. Het gegeven dat het product van de hellingsgetallen gelijk is aan `text(-)1` is dus niet bruikbaar.

Begin met een lijn van de vorm `y = ax + b` en vul daar `P(2, 4)` in.

Hieruit volgt dat `4=2a+b` en dus is `b = 4 - 2a` .

Vul dit in `y=ax+b` in en je vindt `y = ax + 4 -2a` .

Bouw dit om tot `y=4=ax-2a` ofwel `y-4=a(x-2)` .

Substitueer `y = ax - 2a + 4` in `y^2 = 8x` .

Dit geeft `(ax - 2a + 4)^2 = 8x` en `a^2x^2 - 4a^2x + 8ax+ 4a^2 - 16a + 16 = 8x` . Deze kwadratische vergelijking mag maar één oplossing hebben. Dus moet de discriminant van die vergelijking `0` zijn.

Dan volgt na op `0` herleiden: `a^2x^2+(text(-)4a^2+8a-8)x+4a^2-16a+16=0` .

Dit geeft als discriminant: `D=(text(-)4a^2+8a-8)^2-4*a^2*(4a^2-16a+16)=0` .

Haakjes wegwerken geeft:

`16a^4-64a^3+128a^2-128a+64-4a^2(4a^2-16a+16)`	`=`	`0`
`64a^2-128a+64`	`=`	`0`
`(a-1)(a-1)`	`=`	`0`

en daaruit volgt `a = 1` .

Uit `a = 1` volgt voor de vergelijking van de raaklijn: `y - 4 = 1(x - 2)` en dus `y = x + 2` .

Vervang `x` door `x-a` in de vergelijking. Hieruit volgt `y^2 =2 p( x-a )` .

Vervang `y` door `y-b` in de vergelijking. Hieruit volgt `( y-b )^2 =2 px` .

De richtlijn van de parabool is evenwijdig aan de `y` -as en dus is de as van de parabool evenwijdig aan de `x` -as. De basisvergelijking is dus `(y-b)^2=2p(x-a)` . De top van de parabool ligt `0,5` eenheid rechts van de richtlijn, dus `p=1` . De top `T` is dan `T(3,5;6)` .

De vergelijking van de parabool wordt dan `(y-6)^2=2(x-3,5)` .

Gegeven is de vergelijking `y^2=4x+2y` .

`y^2`	`=`	`4x+2y`
`y^2 - 2y`	`=`	`4x`
`(y-1)^2-1`	`=`	`4x`
`(y - 1)^2`	`=`	`4(x + 0,25)`

De top is dus `T(text(-)0,25;1)` .

De as van de parabool is evenwijdig aan de `x` -as. De standaardvergelijking bij deze parabool is `( y-b ) ^2 =2 p( x-a )` . Dus `2p=4` en dan volgt `p = 2` .

Dus de afstand van brandpunt tot richtlijn is `2` . De afstand van de top tot beide is dus `1` .

Het brandpunt heeft dezelfde `y` -coördinaat als de top; maar de `x` -coördinaat is `text(-)0,25+1=0,75` .

Voor de richtlijn geldt dan `x=text(-)0,25-1=text(-)1,25` .

Richtlijn `x = text(-)1,25` , brandpunt `F(0,75; 1)` .

De vergelijking van de raaklijn heeft de vorm `y-4=a(x-2)` . Dan volgt ook `y=ax-2a+4` . Dit invullen in de vergelijking van de parabool geeft:

`(ax-2a+4)^2`	`=`	`4x+2(ax-2a+4)`
`a^2x^2-4a^2x+8ax+4a^2-16a+16`	`=`	`4x+2ax-4a+8`
`a^2x^2+(text(-)4a^2+6a-4)x+4a^2-12a+8`	`=`	`0`

Stel nu de discriminant `D` gelijk aan `0` :

`(text(-)4a^2+6a-4)^2-4a^2(4a^2-12a+8)=0` . Nogmaals haakjes wegwerken en `a` uitrekenen:

`16a^4-48a^3+68a^2-48a+16-16a^4+48a^3-32a^2`	`=`	`0`
`a^2-1 1/3a+4/9`	`=`	`0`
`(a-2/3)^2`	`=`	`0`

Dit heeft als oplossing `a=2/3` .

De raaklijn is dus van de vorm `y=4=2/3(x-2)` en dit herleid je tot `y=2/3x+8/3` .

`x = 0` invullen in `y^2=4x+2y` geeft `y = 0 vv y = 2` . Er zijn dus twee raaklijnen. Eén in `(0, 0)` en één in `(0, 2)` .

In `(0, 0)` : `y = ax` invullen in `y^2=4x+2y`

`a^2 x^2`	`=`	`2ax+4x`
`a^2 x^2 + (text(-)2a - 4)x`	`=`	`0`
`D=(text(-)2a-4)^2-4a^2*0`	`=`	`0`
`text(-)2a-4`	`=`	`0`
`a`	`=`	`text(-)2`

De raaklijn is `y = text(-)2x` .

In `(0, 2)` : `y = ax + 2` invullen in `y^2=4x+2y` geeft `(ax+2)^2=4x+2(ax+2)` . En hieruit volgt `a^2x^2+4ax+4=4x+2ax+4` . En dan ook `a^2x^2+(2a-4)x=0` . Met `D = 0` vind je `(2a-4)^2-4*a^2*0=0` en dus `2a=4=0` . Dan volgt `a = 2` . De raaklijn is `y = 2x + 2` .

`y=4(0,5x-2)^2+3` kun je herleiden tot `(x-4)^2=y-3` .

`2 p=1` geeft `p=1/2` .
Uit de vergelijking bij a lees je af `b=3`

Omdat `p>0` .

De top `T(4, 3)` leid je af uit `(x-4)^2=y-3` . Er geldt dat `p=1/2` dus dan kun je uit het feit dat het brandpunt en de richtlijn even ver van de top afliggen, de `x` -coördinaat van de top en de vergelijking van de richtlijn berekenen.

Richtlijn `r` : `3-0,25=2,75` . Dus `y=2,75` .

Brandpunt `F` : `3+0,25=3,25` . Dus `F(4; 3,25)` .

De parabool is van de vorm `(y-b)^2=2p(x-a)` .

Top `(text(-)1, 0)` en `p=text(-)6` met as evenwijdig aan de `x` -as geeft `k: y^2 =text(-)12 (x+1 )` .

De parabool is van de vorm `(x-a)^2=2p(y-b)` .

Top `(0 , 2)` en `p=4` met as evenwijdig aan de `y` -as geeft `k: x^2=8(y-2 )` .

De parabool is van de vorm `(y-b)^2=2p(x-a)` .

Top `(4 , 2)` en `p=text(-)8` met as evenwijdig aan de `x` -as geeft `k: (y-2)^2 =text(-)16( x-4 )` .

De parabool is van de vorm `(y-b)^2=2p(x-a)` .

Nu is `p` onbekend. De top kun je uitdrukken in `p` en is `(3 - 0,5p; 0 )` en de vergelijking is daarmee `y^2 =2 p(x-(3 -0,5 p))` .
Gegeven is ook dat `p` door het punt `( 0 , 4 )` gaat. Dit invullen geeft `16 =text(-)2 p( 3 -0,5 p )` en hieruit volgt `p=text(-)2  ∨ p=8` .
Als `p=text(-)2` wordt de vergelijking `k: y^2=text(-)4(x-4 )` .
Als `p=8` wordt de vergelijking `k: y^2 =16(x+1 )` .

`x`	`=`	`(0,5 y-1) ^2 -4`
`(y-b)^2`	`=`	`2p(x-a)`
`(y-2) ^2`	`=`	`4(x+4 )`

Hieruit lees je af dat de top `(text(-)4,2 )` is en dat `p=2` .
En dat geeft: brandpunt `F(text(-)3,2 )` en richtlijn `x=text(-)5` .

Construeer de parabool door in elk punt `Q` van de richtlijn een lijn te tekenen loodrecht op die richtlijn en deze lijn te snijden met de middelloodlijn van `QF` . Het snijpunt is een punt op de kromme. Doe dit voor zes punten en teken een vloeiende lijn door de snijpunten.

Stel de vergelijking van lijn `l` door `A( 0 , 2 )` en `B( 3 , 0 )` op. Je vindt: `y=text(-)2/3 x+2` .
Invullen in de vergelijking van de parabool geeft de vergelijking `x=(0,5*(text(-)2/3x+2)-1)^2-4` .

Dit oplossen geeft `x=12` en `x=text(-)3` . De snijpunten zijn `( 12 , text(-)6 )` en `(text(-)3 , 4 )` .

`(12, text(-6))` ligt op de parabool. Dus de raaklijn heeft de vorm `y+6=a(x-12)` . Herleid dit tot `y=ax-12a-6` en vul dit in `x= (0,5 y-1)^2-4` in. Met behulp van de discriminantmethode vind je de vergelijking van de raaklijn: `y = text(-)0,25x - 3` .

`(text(-)3, 4)` ligt op de parabool. Dus de raaklijn heeft de vorm `y-4=a(x+3)` . Herleid dit tot `y=ax+3a+4` en vul dit in `x= (0,5 y-1)^2-4` in. Met de discriminantmethode vind je de vergelijking van de raaklijn: `y = x+7` .

De raaklijnen snijden elkaar in `(text(-)8,text(-)1)` .

Beide vergelijkingen combineren geeft `(x-2) ^2 -x+3 = 13` en dus `x = 6 ∨ x=text(-)1` .

De snijpunten van de parabool met de cirkel zijn `(text(-)1, 0)` en `(text(-)1, 4)` .

Parabool `p` : `p: ( y-2) ^2 =text(-)x+3` .

Snijpunt `x` -as dus `y=0` invullen geeft `4=text(-)x+3` dus `x=text(-)1` . Snijpunt `(text(-)1, 0)` .

Snijpunten `y` -as dus `x=0` invullen geeft `(y-2)^2=3` en dus `y=2+-sqrt(3)` . De snijpunten zijn dus `(0, 2 +- sqrt(3))` .

Cirkel `c` : `(x-2) ^2 + (y-2) ^2 =13`

Snijpunt `x` -as dus `y=0` invullen geeft `(x-2)^2+4=13` geeft `x=text(-)1` en `x=5` . Snijpunten `(text(-)1 , 0 )` en `( 5 , 0 )`

Snijpunt `y` -as dus `x=0` invullen geeft `4+(y-2)^2=13` geeft `y=text(-)1` en `y=5` . De snijpunten zijn `( 0 , 5 )` en `(0, text(-)1)` .

Raaklijn aan de parabool `p` :

De raaklijn gaat door `(text(-1),0)` en is dus van de vorm `y=a(x+1)` . Substitueer `y=ax+a` in `( y-2) ^2 =-x+3` . Gebruik de discriminantmethode en je vindt `x-4y=text(-)1` als raaklijn.

Raaklijn aan de cirkel `c` :

De raaklijn gaat door `(text(-1),0)` en is dus van de vorm `y=a(x+1)` . Substitueer `y=ax+a` in `(x-2) ^2 + (y-2) ^2 =13` . Gebruik de discriminantmethode en je vindt `3x+2y=text(-)3` als raaklijn.

Schrijf de vergelijking met behulp van kwadraat afsplitsen als `(y + 2)^2 = text(-)4(x - 1)` .
De top van de parabool is `T(1, text(-)2)` en `p = text(-)2` .
Dus is de richtlijn `x = 2` en het brandpunt `F(0, text(-)2)` .

Neem op de richtlijn drie punten `P` boven de symmetrieas van de parabool en drie eronder. Teken in elk van die punten `P` een lijn loodrecht op de richtlijn en snijd die met de middelloodlijn van `FP` . Teken door de zes gevonden punten en door de top van de parabool een vloeiende lijn.

Vul `x=text(-)3` in de paraboolvergelijking in: `y^2=12-4y` geeft `y=2 vv y=text(-)6` .

Dus raakpunten `A(text(-)3, 2)` en `B(text(-)3, text(-)6)` .

Stel vervolgens met behulp van de discriminantmethode de vergelijkingen van de raaklijnen in `A` en `B` aan de parabool op: `y = text(-)0,5x + 0,5` en `y = 0,5x - 4,5` .
Hun snijpunt is `(5, text(-)2)` .

Deze raaklijnen hebben de vorm `y + 2 = a(x - 2)` ofwel `y = ax - 2a - 2` .
Dit substitueren in de vergelijking van de parabool en `D = 0` stellen geeft `a = +- 1` .
De gevraagde vergelijkingen zijn `y = text(-)x` en `y = x - 4` .
Deze lijnen staan loodrecht op elkaar omdat het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan `text(-)1` .

Je construeert de parabool door in elk punt `Q` van de richtlijn een lijn te tekenen loodrecht op die richtlijn en deze lijn te snijden met de middelloodlijn van `QO` . Het snijpunt is een punt op de kromme. Doe dit voor zes punten en teken een vloeiende lijn door de snijpunten.

`|PQ|` is de afstand van `P` tot de richtlijn `l:x+y=4` . Deze afstand kun je berekenen met de formule `text(d)(P, l) = (|ax + by - c|)/(sqrt(a^2 + b^2))` , waarbij `a=1, b=1` en `c=4` .

Dit geeft `|PQ|^2=0,5(x+y-4)^2` .

`|OP|^2=x^2+y^2` en `| OP |=| PQ |` .
Hieruit volgt `x^2 +y^2 = 0,5(x+y-4) ^2` en `x^2 -2 xy+y^2 +8 x+8 y-16 =0` .

De vergelijking van de parabool is `x^2 - 2xy + y^2 + 8x + 8y - 16 =0` .

Raaklijn evenwijdig aan `x` -as heeft een vergelijking van de vorm `y = b` . Substitueer dit in de vergelijking van de parabool en stel de discriminant gelijk aan  `0` .
Dit geeft `b = 2` en het raakpunt `(text(-)2, 2)` .

Raaklijn evenwijdig aan `y` -as heeft een vergelijking van de vorm `x = a` . Substitueer dit in de vergelijking van de parabool en stel de discriminant gelijk aan  `0` .
Dit geeft `a = 2` en het raakpunt `(2, text(-)2)` .

`x=4 -0,1 (y+3) ^2` geeft `(y+3)^2 = text(-)10 ( x-4 )` .
Top `( 4, text(-)3 )` , brandpunt `F( 1,5 ; text(-)3 )` , richtlijn `x=6,5` .

In `( 6 , text(-)7 )` is de raaklijnvergelijking `y=text(-)0,5 x-4` .
In `( 6 , text(-)13 )` is de raaklijnvergelijking `y=0,5 x-16` .

In het punt `( 3,375 ; text(-)0,5 )` .

`k:(y-2)^2=8(x-3)` .

De vier snijpunten zijn `( 5 ,text(-)2 )` , `( 5 ,6 )` , `(11 ,text(-)6 )` en `( 11 ,10 )` .