Deze punten liggen even ver van `F` (brandpunt) als van de cirkel `c` .
Maak gebruik van `|MP| + |FP| = |MP| + |FQ| = 8` (de straal van de cirkel).
Omdat `|MP| + |PQ| = 8` .
`sqrt((x + 3)^2 + y^2) + sqrt((3 - x)^2 + y^2) = 8`
`sqrt((x + 3)^2 + y^2) = 8 - sqrt((3 - x)^2 + y^2)`
kwadrateren geeft
`(x + 3)^2 + y^2 = 64 - 16 sqrt((3 - x)^2 + y^2) + (3 - x)^2 + y^2`
en dus
`3x - 16 = text(-)4 sqrt((3 - x)^2 + y^2)`
.
Nog een keer kwadrateren geeft:
`9x^2 - 96x + 256 = 16(9 - 6x + x^2 + y^2)`
.
Hieruit volgt `(x^2)/16+(y^2)/7=1` .
`16 = 4^2` en `4` is de halve straal van de richtcirkel.
`7 = 16 - 9 = 4^2 - 3^2` .
`4` is de halve straal van de cirkel en `3` is de afstand van `F` tot `O` .
De verticale as heeft een lengte van `sqrt(4^2 - 3^2) = sqrt(7) ~~ 2,65` .
Bewijs:
Neem aan dat
`N`
het midden is van
`FQ`
, dan is
`|FN| = |NQ|`
. En omdat
`NP`
de middelloodlijn van
`FQ`
is, geldt
`/_ FNP = /_ QNP = 90^@`
. Verder is
`|NP| = |PN|`
.
Dus zijn de driehoeken
`FNP`
en
`QNP`
congruent (ZHZ).
En daaruit volgt:
`|FP| = |PQ| = text(d)(P, c)`
.
Q.e.d.
`x = 2` invullen in de vergelijking van de ellips levert twee punten op waarvan `P(2, 1/2 sqrt(21))` het juiste is. De vergelijking van de raaklijn heeft daarom de vorm `y - 1/2 sqrt(21) = a(x - 2)` ofwel `y = ax - 2a + 1/2 sqrt(21)` . Met de discriminantmethode vind je dan `a = text(-)1/12 sqrt(21)` . De raaklijn wordt `y = text(-) 1/12 x sqrt(21) + 2/3 sqrt(21)` .
Neem aan dat
`N`
het midden is van
`FQ`
. De middelloodlijn
`NP`
snijdt
`MQ`
in
`P`
, een punt van de ellips waarvoor dus geldt dat
`|FP| = |PQ| = text(d)(P, c)`
.
Neem nu aan dat
`NP`
de ellips ook in een ander punt
`R`
snijdt, neem bijvoorbeeld aan dat
`|FR| gt |FP|`
. Voor elk punt van de middelloodlijn en dus ook voor
`R`
geldt
`|FR| = |RQ|`
, maar nu is
`|RQ| gt text(d)(R, c)`
, want
`RQ`
ligt niet op de straal door
`M`
en
`R`
. Dus geldt voor
`R`
niet dat
`|FR| = text(d)(R, c)`
en dus is
`R`
geen punt van de ellips.
Ga uit van de gegeven vergelijking:
`e_1: (x^2)/16+(y^2)/7=1`
.
Vervang nu vanwege de gegeven translatie
`x`
door
`x-3`
en vervang
`y`
door
`y-2`
.
Je krijgt dan
`e_2: ((x - 3)^2)/16 + ((y - 2)^2)/7 = 1`
.
Snijpunten
`x`
-as:
`y = 0`
geeft
`((x - 3)^2)/16 + 4/7 = 1`
en dit levert de punten
`(3 +- 4/7 sqrt(21), 0)`
.
Snijpunten
`y`
-as:
`x = 0`
geeft
`9/16 + ((y - 2)^2)/7 = 1`
en dit levert de punten
`(0, 3 3/4)`
en
`(0, 1/4)`
op.
`(x^2)/(7) + (y^2)/(16) = 1`
`(x, y)` op de ellips, dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de `x` -as `(y, text(-)y)` op de ellips.
Vul in `x^2/16+(text(-)y)^2/7=1` geeft `x^2/16+y^2/7=1` . Dus dit klopt.
`(x, y)` is een punt op de ellips, er moet dan gelden dat dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de oorsprong, `(text(-)x, text(-)y)` , op de ellips ligt.
Vul in `(text(-)x)^2/16+(text(-)y)^2/7=1` geeft `x^2/16+y^2/7=1` . Dus dit klopt.
Er geldt `|PF_1|+|PF_2|=r` .
`F_1(0, 1)` , `F_2(4, 1)` en `P(5, 1)`
Uit de figuur blijkt dan `PF_1=5` en `PF_2=1` . Dus `|PF_1|+|PF_2|=6=r` .
`((x - a)^2)/(m^2) + ((y - b)^2)/(n^2) = 1`
is de standaardvergelijking van een ellips met
`(a,b)`
als centrum. Het centrum is
`(2,1)`
want dit ligt midden tussen beide brandpunten.
`m = 0,5r`
en
`r = 6`
dus
`m = 3`
.
`n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 3^2 - 2^2 = 5`
Vul dit alles in en je vindt: `((x - 2)^2)/(9) + ((y - 1)^2)/(5) = 1` .
Teken de brandpunten `F_1` en `F_2` en de richtcirkel met middelpunt `F_2` en straal `6` .
Neem een punt `Q` op de richtcirkel. Het snijpunt `S` van de middelloodlijn van `F_1Q` en de straal `F_2Q` is een punt op de ellips. Construeer op deze manier een aantal punten van de ellips en teken een vloeiende kromme door deze punten.
Het middelpunt van de richtcirkel is bijvoorbeeld
`O(0, 0)`
en de straal is
`r = |OP| + |PF| = 10`
.
Een mogelijke vergelijking is
`x^2 + y^2 = 100`
.
Het symmetriecentrum van de ellips is
`C(4, 0)`
. De brandpunten hebben een afstand
`p = 4`
tot dit punt.
De vergelijking van een ellips met dit centrum is
`((x - 4)^2)/(m^2) + (y^2)/(n^2) = 1`
, waarin
`m = 0,5r = 5`
en
`n = sqrt((0,5r)^2 - p^2) = sqrt(9) = 3`
. Je krijgt als vergelijking
`((x - 4)^2)/(25) + (y^2)/(9) = 1`
.
In `P(4, 3)` of `Q(4, text(-)3)` voor een horizontale raaklijn of `R(text(-)1, 0)` of `S(9, 0)` voor een verticale raaklijn.
Er geldt
`x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4`
.
En
`4y^2 - 8y = 4(y^2 - 2y) = 4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4`
.
Dus de gegeven vergelijking `x^2 + 4y^2 + 4x - 8y = 16` gaat dan over in:
`x^2 +4x + 4y^2 - 8y` | `=` | `16` | |
`(x + 2)^2 - 4 + 4(y - 1)^2 - 4` | `=` | `16` | |
`(x+2)^2+4(y-1)^2` | `=` | `24` |
En dan delen door `24` : `((x + 2)^2)/24 + ((y - 1)^2)/6 = 1` .
Uit `24 = (0,5r)^2` en `6 = (0,5r)^2 - p^2` volgt `p^2 = 18` en dus `p = +- sqrt(18)` .
Hieruit volgt `F_1 (text(-)2 - sqrt(18), 1)` en `F_1 (text(-)2 + sqrt(18), 1)` .
`M = F_1` of `M = F_2` .
Voor de straal geldt `24 = (0,5r)^2` , dus `1/2 r=sqrt(24)` en `r=2sqrt(24)=4sqrt(6)` .
Raaklijn in `(0, 1 - sqrt(5))` :
`y = ax + 1 - sqrt(5)` invullen in de vergelijking van de ellips geeft `(x + 2)^2 + 4(ax - sqrt(5))^2 = 24` en dus `(1 + 4a^2)x^2 + (4 - 8a sqrt(5))x = 0` . `D=0` geeft `a = 1/(2sqrt(5)) = 1/10 sqrt(5)` . Hieruit volgt `y = 0,1x sqrt(5) + 1 - sqrt(5)` .
Op dezelfde manier vind je dat de vergelijking van de raaklijn in `(0, 1 + sqrt(5))` gelijk is aan `y = text(-)0,1x sqrt(5) + 1 + sqrt(5)` .
Gebruik de symmetrie van de ellips. De verticale symmetrieas is `x=text(-)2` en dat is gelijk aan `(text(-)4+0)/2` . Omdat je de bijbehorende `y` -coördinaten voor `x=0` al weet, weet je die ook voor `x=text(-)4` . De raakpunten zijn `(text(-)4, 1-sqrt(5))` en `(text(-)4, 1+sqrt(5))` .
Bij d heb je al de vergelijkingen van de raaklijnen opgesteld voor `x=0` . Vanwege de symmetrie weet je nu ook de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen voor `x=text(-)4` .
Raaklijn in `(text(-)4, 1 + sqrt(5))` : `y = 0,1x sqrt(5) + 1 + 1,4 sqrt(5)` .
Raaklijn in `(text(-)4, 1 - sqrt(5))` : `y = text(-)0,1x sqrt(5) + 1 - 1,4 sqrt(5)` .
Een raaklijn met richtingscoëfficiënt `1` heeft een vergelijking van de vorm `y = x + b` . Dit invullen in de vergelijking van de ellips en daarvan de discriminant `0` stellen geeft `x^2 + 4(x + b)^2 + 4x - 8(x + b) = 16` en dus `5x^2 + (8b - 4)x + 4b^2 - 8b - 16 = 0` . Dit geeft `b = 3 +- sqrt(30)` . Dus er zijn twee van die raaklijnen.
Het centrum van de ellips is
`C(2, 3)`
. De lange as van de ellips is evenwijdig aan de
`x`
-as en daar liggen beide brandpunten op. Het deel van deze as dat binnen de ellips
ligt, is
`8`
cm en dat is ook de straal
`r`
van de richtcirkel en de som van de afstanden van elk punt van de ellips tot de brandpunten.
Dus is
`m = 0,5r = 4`
. De afstand van een brandpunt tot het centrum van de ellips is
`p = sqrt(4^2 - 2^2) = sqrt(12)`
.
De vergelijking wordt
`((x - 2)^2)/(16) + ((y - 3)^2)/(4) = 1`
.
Deze raaklijnen hebben vergelijkingen van de vorm `y = ax` . Dit invullen in de vergelijking van de ellips geeft `((x - 2)^2)/(16) + ((ax - 3)^2)/(4) = 1` en dus `(1 + 4a^2)x^2 + (text(-)4 - 24a)x + 24 = 0` . Hiervan moet de discriminant gelijk zijn aan `0` en dat geeft `a ~~ 0,316` en `a~~text(-)1,316` .
De raaklijnen zijn `y~~0,316x` en `y~~text(-)1,316x` .
`(x, y)`
op de ellips betekent
`((x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1`
.
`(x, 6 - y)`
op de ellips betekent
`((x - 5)^2)/16 + ((6- y - 3)^2)/9 = 1`
. En dat is hetzelfde, want
`(6 - y - 3)^2 = (3 - y)^2 = (y - 3)^2`
voor elke
`y`
.
De lijn `x = 5` .
`(x, y)`
op de ellips betekent
`((x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1`
.
`(10-x, y)`
op de ellips betekent
`((10-x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1`
. En dat is hetzelfde, want
`(10 - x - 5)^2 = (5-x)^2 = (x - 5)^2`
voor elke
`x`
.
Als punt `P(x, y)` op de ellips ligt, dan moet het punt `P_1(text(-)4-x, 6-y)` ook op de ellips liggen.
`(text(-)4-x+2)^2/8+(6-y-3)^2/5=1` geeft `(text(-)2-x)^2/8+(3-y)^2/5=1` . Aangezien dit hetzelfde is als de gegeven vergelijking ligt `P_1` ook op de ellips.
Ga uit van
`F_1 = (text(-)3, 2)`
,
`F_2 = (5, 2)`
en
`P = (1, 5)`
.
Symmetriecentrum is
`C(1, 2)`
, de vergelijking wordt
`((x - 1)^2)/(m^2) + ((y - 2)^2)/(n^2) = 1`
.
Nu is
`m = 0,5r`
en
`n^2 = (0,5r)^2 - p^2`
terwijl
`r = |F_1 P| + |F_2 P| = 10`
en
`p = |CF_1| = 4`
.
Hieruit volgt
`e: ((x - 1)^2)/(25) + ((y - 2)^2)/(9) = 1`
.
Uit de vergelijking van de richtcirkel volgt
`r = 3`
.
Verder is
`M = F_1 = (0, 0)`
en
`F = F_2 = (0, 2)`
. Dit geeft
`C=(0, 1)`
en dus
`p = |CF_1| = 1`
.
Merk op dat
`m`
nu de lengte van de korte as is en
`n`
die van de lange as.
Hieruit volgt
`k: (x^2)/(1,25) + ((y-1)^2)/(2,25) = 1`
.
Herleid de vergelijking van de ellips tot
`(x - 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 4`
en dan tot
`((x - 2)^2)/(4)+ ((y - 1)^2)/(1) = 1`
.
Je krijgt nu
`m^2 = (0,5r)^2 = 4`
en
`n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 1`
. Dit geeft
`r = 4`
en
`p = +-sqrt(3)`
.
De brandpunten zijn
`(2 +- sqrt(3), 1)`
.
Voor elk punt `P(x, y)` op de ellips moet het punt `P'(4-x, 2-y)` ook op de ellips liggen. Vul de coördinaten van `P'` in bij de vergelijking die je bij a hebt gevonden:
`((4-x-2)^2)/4+((2-y-1)^2)/1=((2-x)^2)/4+((1-y)^2)/1=1`
Deze vergelijking is equivalent aan die van de ellips.
Trek de vergelijkingen `(x-2)^2+4(y-1)^2=4` en `(x-2)^2=4y` van elkaar af. Dat geeft `4(y - 1)^2 = 4 - 4y` en hieruit volgt `y = 0 vv y = 1` .
Hieruit volgen de snijpunten `(2, 0)` , `(0, 1)` en `(4, 1)` .
Schrijf de vergelijking als `(x^2)/(2) + (y^2)/(32) = 1` , het centrum van deze ellips is `O(0, 0)` . Omdat `32 \gt 2` loopt de lange as in de `y` -richting. Omdat hij ook door het centrum van de ellips gaat, moeten de lange as en beide brandpunten wel op de `y` -as liggen.
De brandpunten liggen `sqrt(32 - 2) = sqrt(30)` van het centrum van de ellips af. De punten zijn `F_1 (0, sqrt(30))` en `F_2 (0, text(-)sqrt(30))` .
Ze hebben de vorm `y = ax + 8` . Dit invullen geeft `16x^2 + (ax + 8)^2 = 32` . De discriminantmethode geeft `D=256a^2-4*(16+a^2)*32=0` , en dus `a = +-4` .
`y=4x+8` en `y=text(-)4x+8` zijn de raaklijnen.
`y = ax + 2` invullen in de vergelijking van `e` en daarna `D = 0` oplossen geeft `a = text(-)3/8` . Dit geeft een raaklijn `y=text(-)3/8x+2` .
Aan de vergelijking zie je dat het centrum van de ellips `(2, 0)` is, en `m=2` . Dat wil dus zeggen dat de ellips door `(0, 0)` gaat, recht onder `(0, 2)` . De andere raaklijn is daarom `x=0` .
`y = text(-)3/8x+2` invullen in de vergelijking van de ellips geeft `((x-2)^2)/4+(text(-)3/8x+2)^2=1` , en dus `x = 16/5` .
De snijpunten zijn
`A(0, 0)`
en
`B(16/5, 4/5)`
.
En
`|AB| = sqrt((16/5)^2 + (4/5)^2) = sqrt(272/25)=4/5sqrt(17)`
.
Merk op dat een willekeurige ellips met symmetriecentrum `(0, 0)` de brandpunten op `(+-p, 0)` heeft zitten, waarbij `p^2=m^2-n^2` . (De brandpunten kunnen ook op `(0, +-p)` zitten als `n>m` . Dan gaat het volgende bewijs met `n` omgedraaid ten opzichte van `m` analoog.)
Eerst de horizontale symmetrieas. Je weet dat `|F_1P|+|F_2P|=r` , en ook dat `r=2m` . Van de brandpunten naar punt `A` maakt dat dus `|F_1A|+|F_2A|=2m` . Je ziet dat `|F_2A|=|F_1A|+|F_1F_2|` , en dat `|F_1F_2|=2p` . Dit alles bij elkaar geeft `|F_1A|=m-p` .
Samen met `|F_1C|=p` zie je dat `|AC|=|F_1A|+|F_1C|=m` , dus de horizontale symmetrieas heeft lengte `2m` .
Nu de verticale symmetrieas. Je ziet dat `|F_1B|+|F_2B|=2m` . Bovendien is `|F_1B|=|F_2B|` , omwille van symmetrie, dus `|F_1B|=m` .
Volgens de stelling van Pythagoras is `|F_1B|^2=|F_1C|^2+|BC|^2` , ofwel `m^2=p^2+|BC|^2` . Uit `p^2=m^2-n^2` vind je dan dat `|BC|^2=n^2` , dus `|BC|=n` .
De verticale symmetrieas heeft dus lengte `2n` .
Herleid de vergelijking van de lijn tot
`y = text(-)(pn^2)/(qm^2)*x + (n^2)/q`
.
Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en herleid:
`x^2/m^2+((text(-)pn^2)/(qm^2)*x+n^2/q)^2/n^2` | `=` | `1` | |
`(1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4))*x^2-(2pn^2)/(q^2m^2)*x+n^2/q^2-1` | `=` | `0` | |
`D` | `=` | `(4p^2n^4)/(q^4m^4)-4(1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4))(n^2/q^2-1)` |
Dit kun je herleiden tot:
`D=text(-)n^2/(m^2q^2)+1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4)`
Omdat
`p^2/m^2+q^2/n^2=1`
is
`p^2/m^2=1-q^2/n^2`
.
Substitueer dit in de vergelijking van de discriminant:
`D=text(-)n^2/(m^2q^2)+1/m^2+n^2/(q^2m^2)(1-q^2/n^2)`
Als je de haakjes wegwerkt dan zie je dat `D=0` .
De discriminant is dus altijd gelijk aan `0` en dit betekent dat `p/m^2*x+q/n^2*y=1` de vergelijking van de raaklijn in `P` aan deze ellips is.
Je construeert de ellips door in elk punt
`Q`
van de richtcirkel een de middelloodlijn van
`FQ`
te tekenen en deze lijn te snijden met de straal
`OQ`
. Het snijpunt is een punt op de kromme. Doe dit voor voldoende punten en teken een
vloeiende lijn door de snijpunten.
(Dit is goed te construeren in GeoGebra.)
`|OP|+|FP| = 5` .
Dit geeft `sqrt(x^2+y^2)+sqrt((2-x)^2+(y-2)^2)=5` .
Je kunt dit verder herleiden:
`sqrt(x^2+y^2)=5-sqrt((2-x)^2+(y-2)^2)`
links en rechts kwadrateren geeft
`33-4x-4y=10sqrt(x^2+y^2-4x-4y+8)`
.
Nog eens kwadrateren geeft
`84x^2+84y^2-136x-136y-32xy-289=0`
.
Raaklijn evenwijdig aan
`x`
-as heeft een vergelijking van de vorm
`y = b`
. Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en stel de discriminant gelijk
aan
`0`
.
Dit geeft
`b ~~ 3,29 vv b ~~ text(-)1,29`
en de raakpunten
`(1,43; 3,29)`
en
`(0,56; text(-)1,29)`
.
Raaklijn evenwijdig aan
`y`
-as heeft een vergelijking van de vorm
`x = a`
. Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en stel de discriminant gelijk
aan
`0`
.
Dit geeft
`a ~~ 3,29 vv a ~~ text(-)1,29`
en de raakpunten
`(3,29; 1,43)`
en
`(text(-)1,29; 0,56)`
.
De brandpunten zijn `F_1(text(-)sqrt(14), 0)` en `F_2(sqrt(14), 0)` . Mogelijke richtcirkels zijn `(x+-sqrt(14))^2+y^2=64` .
`y=1`
`(text(-) 16/33 sqrt(66), text(-) 1/33 sqrt(66))` en `(16/33 sqrt(66), 1/33 sqrt(66))`
De brandpunten zijn `F_1(0, 0)` en `F_2(0, 4)` .
Neem een punt `Q` op de richtcirkel. Het snijpunt van de middelloodlijn van `F_1Q` en de straal `F_2Q` is een punt op de ellips. Construeer op deze manier een aantal punten van de ellips en teken een vloeiende kromme door deze punten.
Symmetrie ten opzichte van `(0, 2)` betekent dat als `(x,y)` op de ellips ligt, dan ook `(text(-)x, 4-y)` op de ellips ligt.
Substitutie geeft `((text(-)x)^2)/5+((4-y-2)^2)/9=1` , en dat is equivalent aan de originele vergelijking.
`a=+-sqrt(7/5)`