Krommen in 2D > Ellipsen
123456Ellipsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Deze punten liggen even ver van `F` (brandpunt) als van de cirkel `c` .

b

Maak gebruik van `|MP| + |FP| = |MP| + |FQ| = 8` (de straal van de cirkel).

Opgave 1
a

Omdat `|MP| + |PQ| = 8` .

b

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) + sqrt((3 - x)^2 + y^2) = 8`

c

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) = 8 - sqrt((3 - x)^2 + y^2)` kwadrateren geeft `(x + 3)^2 + y^2 = 64 - 16 sqrt((3 - x)^2 + y^2) + (3 - x)^2 + y^2` en dus `3x - 16 = text(-)4 sqrt((3 - x)^2 + y^2)` .
Nog een keer kwadrateren geeft: `9x^2 - 96x + 256 = 16(9 - 6x + x^2 + y^2)` .

Hieruit volgt `(x^2)/16+(y^2)/7=1` .

d

`16 = 4^2` en `4` is de halve straal van de richtcirkel.

e

`7 = 16 - 9 = 4^2 - 3^2` .

`4` is de halve straal van de cirkel en `3` is de afstand van `F` tot `O` .

f

De verticale as heeft een lengte van `sqrt(4^2 - 3^2) = sqrt(7) ~~ 2,65` .

Opgave 2
a

Bewijs:
Neem aan dat `N` het midden is van `FQ` , dan is `|FN| = |NQ|` . En omdat `NP` de middelloodlijn van `FQ` is, geldt `/_ FNP = /_ QNP = 90^@` . Verder is `|NP| = |PN|` .
Dus zijn de driehoeken `FNP` en `QNP` congruent (ZHZ).
En daaruit volgt: `|FP| = |PQ| = text(d)(P, c)` .
Q.e.d.

b

`x = 2` invullen in de vergelijking van de ellips levert twee punten op waarvan `P(2, 1/2 sqrt(21))` het juiste is. De vergelijking van de raaklijn heeft daarom de vorm `y - 1/2 sqrt(21) = a(x - 2)` ofwel `y = ax - 2a + 1/2 sqrt(21)` . Met de discriminantmethode vind je dan `a = text(-)1/12 sqrt(21)` . De raaklijn wordt `y = text(-) 1/12 x sqrt(21) + 2/3 sqrt(21)` .

c

Neem aan dat `N` het midden is van `FQ` . De middelloodlijn `NP` snijdt `MQ` in `P` , een punt van de ellips waarvoor dus geldt dat `|FP| = |PQ| = text(d)(P, c)` .
Neem nu aan dat `NP` de ellips ook in een ander punt `R` snijdt, neem bijvoorbeeld aan dat `|FR| gt |FP|` . Voor elk punt van de middelloodlijn en dus ook voor `R` geldt `|FR| = |RQ|` , maar nu is `|RQ| gt text(d)(R, c)` , want `RQ` ligt niet op de straal door `M` en `R` . Dus geldt voor `R` niet dat `|FR| = text(d)(R, c)` en dus is `R` geen punt van de ellips.

d

Ga uit van de gegeven vergelijking: `e_1: (x^2)/16+(y^2)/7=1` .
Vervang nu vanwege de gegeven translatie `x` door `x-3` en vervang `y` door `y-2` .
Je krijgt dan `e_2: ((x - 3)^2)/16 + ((y - 2)^2)/7 = 1` .

e

Snijpunten `x` -as: `y = 0` geeft `((x - 3)^2)/16 + 4/7 = 1` en dit levert de punten `(3 +- 4/7 sqrt(21), 0)` .
Snijpunten `y` -as: `x = 0` geeft `9/16 + ((y - 2)^2)/7 = 1` en dit levert de punten `(0, 3 3/4)` en `(0, 1/4)` op.

f

`(x^2)/(7) + (y^2)/(16) = 1`

Opgave 3
a

`(x, y)` op de ellips, dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de `x` -as `(y, text(-)y)` op de ellips.

Vul in `x^2/16+(text(-)y)^2/7=1` geeft `x^2/16+y^2/7=1` . Dus dit klopt.

b

`(x, y)` is een punt op de ellips, er moet dan gelden dat dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de oorsprong, `(text(-)x, text(-)y)` , op de ellips ligt.

Vul in `(text(-)x)^2/16+(text(-)y)^2/7=1` geeft `x^2/16+y^2/7=1` . Dus dit klopt.

Opgave 4
a

Er geldt `|PF_1|+|PF_2|=r` .

`F_1(0, 1)` , `F_2(4, 1)` en `P(5, 1)`

Uit de figuur blijkt dan `PF_1=5` en `PF_2=1` . Dus `|PF_1|+|PF_2|=6=r` .

b

`((x - a)^2)/(m^2) + ((y - b)^2)/(n^2) = 1` is de standaardvergelijking van een ellips met `(a,b)` als centrum. Het centrum is `(2,1)` want dit ligt midden tussen beide brandpunten.
`m = 0,5r` en `r = 6` dus `m = 3` .
`n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 3^2 - 2^2 = 5`

Vul dit alles in en je vindt: `((x - 2)^2)/(9) + ((y - 1)^2)/(5) = 1` .

c

Teken de brandpunten `F_1` en `F_2` en de richtcirkel met middelpunt `F_2` en straal `6` .

Neem een punt `Q` op de richtcirkel. Het snijpunt `S` van de middelloodlijn van `F_1Q` en de straal `F_2Q` is een punt op de ellips. Construeer op deze manier een aantal punten van de ellips en teken een vloeiende kromme door deze punten.

Opgave 5
a

Het middelpunt van de richtcirkel is bijvoorbeeld `O(0, 0)` en de straal is `r = |OP| + |PF| = 10` .
Een mogelijke vergelijking is `x^2 + y^2 = 100` .

b

Het symmetriecentrum van de ellips is `C(4, 0)` . De brandpunten hebben een afstand `p = 4` tot dit punt.
De vergelijking van een ellips met dit centrum is `((x - 4)^2)/(m^2) + (y^2)/(n^2) = 1` , waarin `m = 0,5r = 5` en `n = sqrt((0,5r)^2 - p^2) = sqrt(9) = 3` . Je krijgt als vergelijking `((x - 4)^2)/(25) + (y^2)/(9) = 1` .

c

In `P(4, 3)` of `Q(4, text(-)3)` voor een horizontale raaklijn of `R(text(-)1, 0)` of `S(9, 0)` voor een verticale raaklijn.

Opgave 6
a

Er geldt `x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4` .
En `4y^2 - 8y = 4(y^2 - 2y) = 4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4` .

Dus de gegeven vergelijking `x^2 + 4y^2 + 4x - 8y = 16` gaat dan over in:

`x^2 +4x + 4y^2 - 8y` `=` `16`
`(x + 2)^2 - 4 + 4(y - 1)^2 - 4` `=` `16`
`(x+2)^2+4(y-1)^2` `=` `24`

En dan delen door `24` : `((x + 2)^2)/24 + ((y - 1)^2)/6 = 1` .

b

Uit `24 = (0,5r)^2` en `6 = (0,5r)^2 - p^2` volgt `p^2 = 18` en dus `p = +- sqrt(18)` .

Hieruit volgt `F_1 (text(-)2 - sqrt(18), 1)` en `F_1 (text(-)2 + sqrt(18), 1)` .

c

`M = F_1` of `M = F_2` .

Voor de straal geldt `24 = (0,5r)^2` , dus `1/2 r=sqrt(24)` en `r=2sqrt(24)=4sqrt(6)` .

d

Raaklijn in `(0, 1 - sqrt(5))` :

`y = ax + 1 - sqrt(5)` invullen in de vergelijking van de ellips geeft `(x + 2)^2 + 4(ax - sqrt(5))^2 = 24` en dus `(1 + 4a^2)x^2 + (4 - 8a sqrt(5))x = 0` . `D=0` geeft `a = 1/(2sqrt(5)) = 1/10 sqrt(5)` . Hieruit volgt `y = 0,1x sqrt(5) + 1 - sqrt(5)` .

Op dezelfde manier vind je dat de vergelijking van de raaklijn in `(0, 1 + sqrt(5))` gelijk is aan `y = text(-)0,1x sqrt(5) + 1 + sqrt(5)` .

e

Gebruik de symmetrie van de ellips. De verticale symmetrieas is `x=text(-)2` en dat is gelijk aan `(text(-)4+0)/2` . Omdat je de bijbehorende `y` -coördinaten voor `x=0` al weet, weet je die ook voor `x=text(-)4` . De raakpunten zijn `(text(-)4, 1-sqrt(5))` en `(text(-)4, 1+sqrt(5))` .

Bij d heb je al de vergelijkingen van de raaklijnen opgesteld voor `x=0` . Vanwege de symmetrie weet je nu ook de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen voor `x=text(-)4` .

Raaklijn in `(text(-)4, 1 + sqrt(5))` : `y = 0,1x sqrt(5) + 1 + 1,4 sqrt(5)` .

Raaklijn in `(text(-)4, 1 - sqrt(5))` : `y = text(-)0,1x sqrt(5) + 1 - 1,4 sqrt(5)` .

f

Een raaklijn met richtingscoëfficiënt `1` heeft een vergelijking van de vorm `y = x + b` . Dit invullen in de vergelijking van de ellips en daarvan de discriminant `0` stellen geeft `x^2 + 4(x + b)^2 + 4x - 8(x + b) = 16` en dus `5x^2 + (8b - 4)x + 4b^2 - 8b - 16 = 0` . Dit geeft `b = 3 +- sqrt(30)` . Dus er zijn twee van die raaklijnen.

Opgave 7
a

Het centrum van de ellips is `C(2, 3)` . De lange as van de ellips is evenwijdig aan de `x` -as en daar liggen beide brandpunten op. Het deel van deze as dat binnen de ellips ligt, is `8` cm en dat is ook de straal `r` van de richtcirkel en de som van de afstanden van elk punt van de ellips tot de brandpunten. Dus is `m = 0,5r = 4` . De afstand van een brandpunt tot het centrum van de ellips is `p = sqrt(4^2 - 2^2) = sqrt(12)` .
De vergelijking wordt `((x - 2)^2)/(16) + ((y - 3)^2)/(4) = 1` .

b

Deze raaklijnen hebben vergelijkingen van de vorm `y = ax` . Dit invullen in de vergelijking van de ellips geeft `((x - 2)^2)/(16) + ((ax - 3)^2)/(4) = 1` en dus `(1 + 4a^2)x^2 + (text(-)4 - 24a)x + 24 = 0` . Hiervan moet de discriminant gelijk zijn aan `0` en dat geeft `a ~~ 0,316` en `a~~text(-)1,316` .

De raaklijnen zijn `y~~0,316x` en `y~~text(-)1,316x` .

Opgave 8
a

`(x, y)` op de ellips betekent `((x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1` .
`(x, 6 - y)` op de ellips betekent `((x - 5)^2)/16 + ((6- y - 3)^2)/9 = 1` . En dat is hetzelfde, want `(6 - y - 3)^2 = (3 - y)^2 = (y - 3)^2` voor elke `y` .

b

De lijn `x = 5` .

`(x, y)` op de ellips betekent `((x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1` .
`(10-x, y)` op de ellips betekent `((10-x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1` . En dat is hetzelfde, want `(10 - x - 5)^2 = (5-x)^2 = (x - 5)^2` voor elke `x` .

Opgave 9

Als punt `P(x, y)` op de ellips ligt, dan moet het punt `P_1(text(-)4-x, 6-y)` ook op de ellips liggen.

`(text(-)4-x+2)^2/8+(6-y-3)^2/5=1` geeft `(text(-)2-x)^2/8+(3-y)^2/5=1` . Aangezien dit hetzelfde is als de gegeven vergelijking ligt `P_1` ook op de ellips.

Opgave 10
a

Ga uit van `F_1 = (text(-)3, 2)` , `F_2 = (5, 2)` en `P = (1, 5)` .
Symmetriecentrum is `C(1, 2)` , de vergelijking wordt `((x - 1)^2)/(m^2) + ((y - 2)^2)/(n^2) = 1` .
Nu is `m = 0,5r` en `n^2 = (0,5r)^2 - p^2` terwijl `r = |F_1 P| + |F_2 P| = 10` en `p = |CF_1| = 4` .
Hieruit volgt `e: ((x - 1)^2)/(25) + ((y - 2)^2)/(9) = 1` .

b

Uit de vergelijking van de richtcirkel volgt `r = 3` .
Verder is `M = F_1 = (0, 0)` en `F = F_2 = (0, 2)` . Dit geeft `C=(0, 1)` en dus `p = |CF_1| = 1` .

Merk op dat `m` nu de lengte van de korte as is en `n` die van de lange as.
Hieruit volgt `k: (x^2)/(1,25) + ((y-1)^2)/(2,25) = 1` .

Opgave 11
a

Herleid de vergelijking van de ellips tot `(x - 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 4` en dan tot `((x - 2)^2)/(4)+ ((y - 1)^2)/(1) = 1` .
Je krijgt nu `m^2 = (0,5r)^2 = 4` en `n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 1` . Dit geeft `r = 4` en `p = +-sqrt(3)` .
De brandpunten zijn `(2 +- sqrt(3), 1)` .

b

Voor elk punt `P(x, y)` op de ellips moet het punt `P'(4-x, 2-y)` ook op de ellips liggen. Vul de coördinaten van `P'` in bij de vergelijking die je bij a hebt gevonden:

`((4-x-2)^2)/4+((2-y-1)^2)/1=((2-x)^2)/4+((1-y)^2)/1=1`

Deze vergelijking is equivalent aan die van de ellips.

c

Trek de vergelijkingen `(x-2)^2+4(y-1)^2=4` en `(x-2)^2=4y` van elkaar af. Dat geeft `4(y - 1)^2 = 4 - 4y` en hieruit volgt `y = 0 vv y = 1` .

Hieruit volgen de snijpunten `(2, 0)` , `(0, 1)` en `(4, 1)` .

Opgave 12
a

Schrijf de vergelijking als `(x^2)/(2) + (y^2)/(32) = 1` , het centrum van deze ellips is `O(0, 0)` . Omdat `32 \gt 2` loopt de lange as in de `y` -richting. Omdat hij ook door het centrum van de ellips gaat, moeten de lange as en beide brandpunten wel op de `y` -as liggen.

b

De brandpunten liggen `sqrt(32 - 2) = sqrt(30)` van het centrum van de ellips af. De punten zijn `F_1 (0, sqrt(30))` en `F_2 (0, text(-)sqrt(30))` .

c

Ze hebben de vorm `y = ax + 8` . Dit invullen geeft `16x^2 + (ax + 8)^2 = 32` . De discriminantmethode geeft `D=256a^2-4*(16+a^2)*32=0` , en dus `a = +-4` .

`y=4x+8` en `y=text(-)4x+8` zijn de raaklijnen.

Opgave 13
a

`y = ax + 2` invullen in de vergelijking van `e` en daarna `D = 0` oplossen geeft `a = text(-)3/8` . Dit geeft een raaklijn `y=text(-)3/8x+2` .

Aan de vergelijking zie je dat het centrum van de ellips `(2, 0)` is, en `m=2` . Dat wil dus zeggen dat de ellips door `(0, 0)` gaat, recht onder `(0, 2)` . De andere raaklijn is daarom `x=0` .

b

`y = text(-)3/8x+2` invullen in de vergelijking van de ellips geeft `((x-2)^2)/4+(text(-)3/8x+2)^2=1` , en dus `x = 16/5` .

De snijpunten zijn `A(0, 0)` en `B(16/5, 4/5)` .
En `|AB| = sqrt((16/5)^2 + (4/5)^2) = sqrt(272/25)=4/5sqrt(17)` .

Opgave 14
a

Merk op dat een willekeurige ellips met symmetriecentrum `(0, 0)` de brandpunten op `(+-p, 0)` heeft zitten, waarbij `p^2=m^2-n^2` . (De brandpunten kunnen ook op `(0, +-p)` zitten als `n>m` . Dan gaat het volgende bewijs met `n` omgedraaid ten opzichte van `m` analoog.)

Eerst de horizontale symmetrieas. Je weet dat `|F_1P|+|F_2P|=r` , en ook dat `r=2m` . Van de brandpunten naar punt `A` maakt dat dus `|F_1A|+|F_2A|=2m` . Je ziet dat `|F_2A|=|F_1A|+|F_1F_2|` , en dat `|F_1F_2|=2p` . Dit alles bij elkaar geeft `|F_1A|=m-p` .

Samen met `|F_1C|=p` zie je dat `|AC|=|F_1A|+|F_1C|=m` , dus de horizontale symmetrieas heeft lengte `2m` .

Nu de verticale symmetrieas. Je ziet dat `|F_1B|+|F_2B|=2m` . Bovendien is `|F_1B|=|F_2B|` , omwille van symmetrie, dus `|F_1B|=m` .

Volgens de stelling van Pythagoras is `|F_1B|^2=|F_1C|^2+|BC|^2` , ofwel `m^2=p^2+|BC|^2` . Uit `p^2=m^2-n^2` vind je dan dat `|BC|^2=n^2` , dus `|BC|=n` .

De verticale symmetrieas heeft dus lengte `2n` .

b

Herleid de vergelijking van de lijn tot `y = text(-)(pn^2)/(qm^2)*x + (n^2)/q` .
Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en herleid:

`x^2/m^2+((text(-)pn^2)/(qm^2)*x+n^2/q)^2/n^2` `=` `1`
`(1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4))*x^2-(2pn^2)/(q^2m^2)*x+n^2/q^2-1` `=` `0`
`D` `=` `(4p^2n^4)/(q^4m^4)-4(1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4))(n^2/q^2-1)`

Dit kun je herleiden tot:

`D=text(-)n^2/(m^2q^2)+1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4)`

Omdat `p^2/m^2+q^2/n^2=1` is `p^2/m^2=1-q^2/n^2` .
Substitueer dit in de vergelijking van de discriminant:

`D=text(-)n^2/(m^2q^2)+1/m^2+n^2/(q^2m^2)(1-q^2/n^2)`

Als je de haakjes wegwerkt dan zie je dat `D=0` .

De discriminant is dus altijd gelijk aan `0` en dit betekent dat `p/m^2*x+q/n^2*y=1` de vergelijking van de raaklijn in `P` aan deze ellips is.

Opgave 15Scheve ellips
Scheve ellips
a

Je construeert de ellips door in elk punt `Q` van de richtcirkel een de middelloodlijn van `FQ` te tekenen en deze lijn te snijden met de straal `OQ` . Het snijpunt is een punt op de kromme. Doe dit voor voldoende punten en teken een vloeiende lijn door de snijpunten.
(Dit is goed te construeren in GeoGebra.)

b

`|OP|+|FP| = 5` .

Dit geeft `sqrt(x^2+y^2)+sqrt((2-x)^2+(y-2)^2)=5` .

Je kunt dit verder herleiden:
`sqrt(x^2+y^2)=5-sqrt((2-x)^2+(y-2)^2)` links en rechts kwadrateren geeft `33-4x-4y=10sqrt(x^2+y^2-4x-4y+8)` .
Nog eens kwadrateren geeft `84x^2+84y^2-136x-136y-32xy-289=0` .

c

Raaklijn evenwijdig aan `x` -as heeft een vergelijking van de vorm `y = b` . Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en stel de discriminant gelijk aan `0` .
Dit geeft `b ~~ 3,29 vv b ~~ text(-)1,29` en de raakpunten `(1,43; 3,29)` en `(0,56; text(-)1,29)` .

Raaklijn evenwijdig aan `y` -as heeft een vergelijking van de vorm `x = a` . Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en stel de discriminant gelijk aan `0` .
Dit geeft `a ~~ 3,29 vv a ~~ text(-)1,29` en de raakpunten `(3,29; 1,43)` en `(text(-)1,29; 0,56)` .

Opgave 16
a

De brandpunten zijn `F_1(text(-)sqrt(14), 0)` en `F_2(sqrt(14), 0)` . Mogelijke richtcirkels zijn `(x+-sqrt(14))^2+y^2=64` .

b

`y=1`

c

`(text(-) 16/33 sqrt(66), text(-) 1/33 sqrt(66))` en `(16/33 sqrt(66), 1/33 sqrt(66))`

Opgave 17
a

De brandpunten zijn `F_1(0, 0)` en `F_2(0, 4)` .

Neem een punt `Q` op de richtcirkel. Het snijpunt van de middelloodlijn van `F_1Q` en de straal `F_2Q` is een punt op de ellips. Construeer op deze manier een aantal punten van de ellips en teken een vloeiende kromme door deze punten.

b

Symmetrie ten opzichte van `(0, 2)` betekent dat als `(x,y)` op de ellips ligt, dan ook `(text(-)x, 4-y)` op de ellips ligt.

Substitutie geeft `((text(-)x)^2)/5+((4-y-2)^2)/9=1` , en dat is equivalent aan de originele vergelijking.

c

`a=+-sqrt(7/5)`

verder | terug