Krommen in 2D > Ellipsen
123456Ellipsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Deze punten liggen even ver van (brandpunt) als van de cirkel .

b

Maak gebruik van (de straal van de cirkel).

Opgave 1
a

Omdat .

b

c

.

d

en is de halve straal van de richtcirkel.

e

.

is de halve straal van de cirkel en is de afstand van tot .

f

De verticale as heeft een lengte van .

Opgave 2
a

Bewijs:
Neem aan dat het midden is van , dan is . En omdat de middelloodlijn van is, geldt °. Verder is .
Dus zijn de driehoeken en congruent (ZHZ).
En daaruit volgt: .
Q.e.d.

b

De vergelijking van de raaklijn is .

c

d

Snijpunten met de -as: en .

Snijpunten met de -as: en .

Opgave 3
a
b

c

Opgave 4
a

Laat zien dat je nu dezelfde ellipsvergelijking vindt.

b

Neem aan dat het midden is van . De middelloodlijn snijdt in , een punt van de ellips waarvoor dus geldt dat .
Neem nu aan dat de ellips ook in een ander punt snijdt, neem bijvoorbeeld aan dat . Voor elk punt van de middelloodlijn en dus ook voor geldt , maar nu is , want ligt niet op de straal door en . Dus geldt voor niet dat en dus is geen punt van de ellips.

c

Opgave 5
a

op de ellips, dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de -as op de ellips.

Vul in geeft . Dus dit klopt.

b

is een punt op de ellips, er moet dan gelden dat dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de oorsprong, , op de ellips ligt.

Vul in geeft . Dus dit klopt.

Opgave 6
a

Er geldt .

, en

Uit de figuur blijkt dan en . Dus .

b

is de standaardvergelijking van een ellips met als centrum. Het centrum is want dit ligt midden tussen beide brandpunten.
en dus

Vul dit alles in en je vindt: .

c
Opgave 7
a

b

c

Horizontaal in en .
Verticaal in en .

Opgave 8
a

Er geldt .
En .

Dus de gegeven vergelijking gaat dan over in:

En dan delen door .

b

en

c

of en de straal is .

d

Raaklijn in :

invullen in de vergelijking van de ellips geeft en dus . geeft . Hieruit volgt .

Op dezelfde manier vind je dat de vergelijking van de raaklijn in gelijk is aan .

e

en

f

Een raaklijn met richtingscoëfficiënt heeft een vergelijking van de vorm . Dit invullen in de vergelijking van de ellips en daarvan de discriminant stellen geeft en dus . Dit geeft . Dus er zijn twee van die raaklijnen.

Opgave 9
a

b

De raaklijnen zijn en .

Opgave 10
a

op de ellips betekent .
op de ellips betekent . En dat is hetzelfde, want voor elke .

b

De lijn .

op de ellips betekent .
op de ellips betekent . En dat is hetzelfde, want voor elke .

Opgave 11

Als punt op de ellips ligt, dan moet het punt ook op de ellips liggen.

geeft . Aangezien dit hetzelfde is als de gegeven vergelijking ligt ook op de ellips.

Opgave 12
a

b

Opgave 13
a

De brandpunten zijn .

b

en voldoen beide aan de vergelijking van de ellips.

c

; en

Opgave 14
a

Schrijf de vergelijking als , het centrum van deze ellips is . Omdat loopt de lange as in de -richting. Omdat hij ook door het centrum van de ellips gaat, moeten de lange as en beide brandpunten wel op de -as liggen.

b

en

c

en

Opgave 15
a

en

b

Opgave 16
a

Merk op dat een willekeurige ellips met symmetriecentrum de brandpunten op heeft zitten, waarbij . (De brandpunten kunnen ook op zitten als . Dan gaat het volgende bewijs met omgedraaid ten opzichte van analoog.)

Eerst de horizontale symmetrieas. Je weet dat , en ook dat . Van de brandpunten naar punt maakt dat dus . Je ziet dat , en dat . Dit alles bij elkaar geeft .

Samen met zie je dat , dus de horizontale symmetrieas heeft lengte .

Nu de verticale symmetrieas. Je zietdat . Bovendien is , omwille van symmetrie, dus .

Volgens de stelling van Pythagoras is , ofwel . Uit vind je dan dat , dus .

De verticale symmetrieas heeft dus lengte .

b

Herleid de vergelijking van de lijn tot .
Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en herleid:

Dit kun je herleiden tot:

Omdat is .
Substitueer dit in de vergelijking van de discriminant:

Als je de haakjes wegwerkt dan zie je dat .

De discriminant is dus altijd gelijk aan en dit betekent dat de vergelijking van de raaklijn in aan deze ellips is.

Opgave 17

Zie de afbeelding. Merk op dat een willekeurige ellips met symmetriecentrum de brandpunten op heeft zitten, waarbij . (De brandpunten kunnen ook op zitten als . Dan gaat het onderstaande bewijs met omgedraaid ten opzichte van maar verder analoog.)

Eerst de horizontale symmetrieas. Je weet dat , en ook dat . Van de brandpunten naar punt maakt dat dus . Je ziet ook dat , en dat . Dit alles bij elkaar geeft .

Samen met zie je dat , dus de horizontale symmetrieas heeft lengte .

Nu de verticale symmetrieas. Je ziet dat . Bovendien is , omwille van symmetrie, dus .

De stelling van Pythagoras zegt dat , ofwel . Uit vind je dan dat , dus .

De verticale symmetrieas heeft dus lengte .

Opgave 18
a

De brandpunten zijn en . Mogelijke richtcirkels zijn .

b

c

en

Opgave 19
a

De brandpunten zijn en .

b

Symmetrie ten opzichte van betekent dat als op de ellips ligt, dan ook op de ellips ligt.

Substitutie geeft , en dat is equivalent aan de originele vergelijking.

c

verder | terug