Krommen in 2D > Ellipsen
123456Ellipsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Deze punten liggen even ver van `F` (brandpunt) als van de cirkel `c` .

b

Maak gebruik van `|MP| + |FP| = |MP| + |FQ| = 8` (de straal van de cirkel).

Opgave 1
a

Omdat `|MP| + |PQ| = 8` .

b

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) + sqrt((3 - x)^2 + y^2) = 8`

c

`x^2/16+y^2/7=1` .

d

`16 = 4^2` en `4` is de halve straal van de richtcirkel.

e

`7 = 16 - 9 = 4^2 - 3^2` .

`4` is de halve straal van de cirkel en `3` is de afstand van `F` tot `O` .

f

De verticale as heeft een lengte van `sqrt(7)` .

Opgave 2
a

Bewijs:
Neem aan dat `N` het midden is van `FQ` , dan is `|FN| = |NQ|` . En omdat `NP` de middelloodlijn van `FQ` is, geldt `/_ FNP = /_ QNP = 90` °. Verder is `|NP| = |PN|` .
Dus zijn de driehoeken `FNP` en `QNP` congruent (ZHZ).
En daaruit volgt: `|FP| = |PQ| = text(d)(P, c)` .
Q.e.d.

b

De vergelijking van de raaklijn is `y = text(-) 1/12 x sqrt(21) + 2/3 sqrt(21)` .

c

`e_2:((x - 3)^2)/16 + ((y - 2)^2)/7 = 1`

d

Snijpunten met de `x` -as: `(3+4/7sqrt(21),0)` en `(3-4/7sqrt(21),0)` .

Snijpunten met de `y` -as: `(0,3 3/4)` en `((0,1)/4)` .

Opgave 3
a
b

`(x^2)/(6,25) + (y^2)/(0,25) = 1`

c

`e_2:((x - 3)^2)/(6,25) + ((y - 2)^2)/(0,25) = 1`

Opgave 4
a

Laat zien dat je nu dezelfde ellipsvergelijking vindt.

b

Neem aan dat `N` het midden is van `FQ` . De middelloodlijn `NP` snijdt `MQ` in `P` , een punt van de ellips waarvoor dus geldt dat `|FP| = |PQ| = text(d)(P, c)` .
Neem nu aan dat `NP` de ellips ook in een ander punt `R` snijdt, neem bijvoorbeeld aan dat `|FR| \gt |FP|` . Voor elk punt van de middelloodlijn en dus ook voor `R` geldt `|FR| = |RQ|` , maar nu is `|RQ| \gt text(d)(R, c)` , want `RQ` ligt niet op de straal door `M` en `R` . Dus geldt voor `R` niet dat `|FR| = text(d)(R, c)` en dus is `R` geen punt van de ellips.

c

`(x^2)/(7) + (y^2)/(16) = 1`

Opgave 5
a

`(x,y)` op de ellips, dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de `x` -as `(y,text(-)y)` op de ellips.

Vul in `x^2/16+(text(-)y)^2/7=1` geeft `x^2/16+y^2/7=1` . Dus dit klopt.

b

`(x,y)` is een punt op de ellips, er moet dan gelden dat dan ook zijn spiegelbeeld ten opzichte van de oorsprong, `(text(-)x,text(-)y)` , op de ellips ligt.

Vul in `(text(-)x)^2/16+(text(-)y)^2/7=1` geeft `x^2/16+y^2/7=1` . Dus dit klopt.

Opgave 6
a

Er geldt `|PF_1|+|PF_2|=r` .

`F_1(0,1)` , `F_2(4,1)` en `P(5,1)`

Uit de figuur blijkt dan `PF_1=5` en `PF_2=1` . Dus `|PF_1|+|PF_2|=6=r` .

b

`((x - a)^2)/(m^2) + ((y - b)^2)/(n^2) = 1` is de standaardvergelijking van een ellips met `(a,b)` als centrum. Het centrum is `(2,1)` want dit ligt midden tussen beide brandpunten.
`m = 0,5r` en `r = 6` dus `m = 3`
`n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 3^2 - 2^2 = 5`

Vul dit alles in en je vindt:  `((x - 2)^2)/(9) + ((y - 1)^2)/(5) = 1` .

c
Opgave 7
a

`c:x^2+y^2=100`

b

`e:((x - 4)^2)/(25) + (y^2)/(9) = 1`

c

Horizontaal in `P(4, 3)` en `(4, text(-)3)` .
Verticaal in `(text(-)1, 0)` en `(9, 0)` .

Opgave 8
a

Er geldt `x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4` .
En `4y^2 - 8y = 4(y^2 - 2y) = 4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4` .

Dus de gegeven vergelijking `x^2 + 4y^2 + 4x - 8y = 16` gaat dan over in:

`x^2 +4x + 4y^2 - 8y` `=` `16`
`(x + 2)^2 - 4 + 4(y - 1)^2 - 4` `=` `16`
`(x+2)^2+4(y-1)^2` `=` `24`

En dan delen door `24` :  `((x + 2)^2)/24 + ((y - 1)^2)/6 = 1` .

b

`F_1 (text(-)2 - sqrt(18), 1)` en `F_1 (text(-)2 + sqrt(18), 1)`

c

`M = F_1` of `M = F_2` en de straal is `sqrt(96) = 4sqrt(6)` .

d

Raaklijn in `(0, 1 - sqrt(5))` :

`y = ax + 1 - sqrt(5)` invullen in de vergelijking van de ellips geeft `(x + 2)^2 + 4(ax - sqrt(5))^2 = 24` en dus `(1 + 4a^2)x^2 + (4 - 8a sqrt(5))x = 0` . `D=0` geeft `a = 1/(2sqrt(5)) = 1/10 sqrt(5)` . Hieruit volgt `y = 0,1x sqrt(5) + 1 - sqrt(5)` .

Op dezelfde manier vind je dat de vergelijking van de raaklijn in `(0, 1 + sqrt(5))` gelijk is aan `y = text(-)0,1x sqrt(5) + 1 + sqrt(5)` .

e

`y = 0,1x sqrt(5) + 1 + 1,4 sqrt(5)` en `y = text(-)0,1x sqrt(5) + 1 - 1,4 sqrt(5)`

f

Een raaklijn met richtingscoëfficiënt `1` heeft een vergelijking van de vorm `y = x + b` . Dit invullen in de vergelijking van de ellips en daarvan de discriminant `0` stellen geeft `x^2 + 4(x + b)^2 + 4x - 8(x + b) = 16` en dus `5x^2 + (8b - 4)x + 4b^2 - 8b - 16 = 0` . Dit geeft `b = 3 +- sqrt(30)` . Dus er zijn twee van die raaklijnen.

Opgave 9
a

`((x - 2)^2)/(16) + ((y - 3)^2)/(4) = 1`

b

De raaklijnen zijn `y~~0,316x` en `y~~text(-)1,316x` .

Opgave 10
a

`(x,y)` op de ellips betekent `((x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1` .
`(x, 6 - y)` op de ellips betekent `((x - 5)^2)/16 + ((6- y - 3)^2)/9 = 1` . En dat is hetzelfde, want `(6 - y - 3)^2 = (3 - y)^2 = (y - 3)^2` voor elke `y` .

b

De lijn `x = 5` .

`(x,y)` op de ellips betekent `((x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1` .
`(10-x, y)` op de ellips betekent `((10-x - 5)^2)/16 + ((y - 3)^2)/9 = 1` . En dat is hetzelfde, want `(10 - x - 5)^2 = (5-x)^2 = (x - 5)^2` voor elke `x` .

Opgave 11

Als punt `P(x,y)` op de ellips ligt, dan moet het punt `P_1(text(-)4-x, 6-y)` ook op de ellips liggen.

`(text(-)4-x+2)^2/8+(6-y-3)^2/5=1` geeft `(text(-)2-x)^2/8+(3-y)^2/5=1` . Aangezien dit hetzelfde is als de gegeven vergelijking ligt `P_1` ook op de ellips.

Opgave 12
a

`e:((x - 1)^2)/(25) + ((y - 2)^2)/(9) = 1`

b

`k:(x^2)/(1,25) + ((y-1)^2)/(2,25) = 1`

Opgave 13
a

De brandpunten zijn `(2 +- sqrt(3), 1)` .

b

`P(x,y)` en `P'(4 - x, 2 - y)` voldoen beide aan de vergelijking van de ellips.

c

`(2,0)` ; `(0,1)` en `(4,1)`

Opgave 14
a

Schrijf de vergelijking als `(x^2)/(2) + (y^2)/(32) = 1` , het centrum van deze ellips is `O(0, 0)` . Omdat `32 \gt 2` loopt de lange as in de `y` -richting. Omdat hij ook door het centrum van de ellips gaat, moeten de lange as en beide brandpunten wel op de `y` -as liggen.

b

`F_1 (0, sqrt(30))` en `F_2 (0, text(-)sqrt(30))`

c

`y=4x+8` en `y=text(-)4x+8`

Opgave 15
a

`x = 0` en `y = text(-)3/8x + 2`

b

`|AB|=sqrt(272/25)=4/5sqrt(17)`

Opgave 16
a

Merk op dat een willekeurige ellips met symmetriecentrum `(0,0)` de brandpunten op `(+-p,0)` heeft zitten, waarbij `p^2=m^2-n^2` . (De brandpunten kunnen ook op `(0,+-p)` zitten als `n>m` . Dan gaat het volgende bewijs met `n` omgedraaid ten opzichte van `m` analoog.)

Eerst de horizontale symmetrieas. Je weet dat `|F_1P|+|F_2P|=r` , en ook dat `r=2m` . Van de brandpunten naar punt `A` maakt dat dus `|F_1A|+|F_2A|=2m` . Je ziet dat `|F_2A|=|F_1A|+|F_1F_2|` , en dat `|F_1F_2|=2p` . Dit alles bij elkaar geeft `|F_1A|=m-p` .

Samen met `|F_1C|=p` zie je dat `|AC|=|F_1A|+|F_1C|=m` , dus de horizontale symmetrieas heeft lengte `2m` .

Nu de verticale symmetrieas. Je zietdat `|F_1B|+|F_2B|=2m` . Bovendien is `|F_1B|=|F_2B|` , omwille van symmetrie, dus `|F_1B|=m` .

Volgens de stelling van Pythagoras is `|F_1B|^2=|F_1C|^2+|BC|^2` , ofwel `m^2=p^2+|BC|^2` . Uit `p^2=m^2-n^2` vind je dan dat `|BC|^2=n^2` , dus `|BC|=n` .

De verticale symmetrieas heeft dus lengte `2n` .

b

Herleid de vergelijking van de lijn tot `y = text(-)(pn^2)/(qm^2)*x + (n^2)/q` .
Substitueer dit in de vergelijking van de ellips en herleid:

`x^2/m^2+((text(-)pn^2)/(qm^2)*x+n^2/q)^2/n^2` `=` `1`
`(1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4))*x^2-(2pn^2)/(q^2m^2)*x+n^2/q^2-1` `=` `0`
`D` `=` `(4p^2n^4)/(q^4m^4)-4(1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4))(n^2/q^2-1)`

Dit kun je herleiden tot:

`D=text(-)n^2/(m^2q^2)+1/m^2+(p^2n^2)/(q^2m^4)`

Omdat `p^2/m^2+q^2/n^2=1` is `p^2/m^2=1-q^2/n^2` .
Substitueer dit in de vergelijking van de discriminant:

`D=text(-)n^2/(m^2q^2)+1/m^2+n^2/(q^2m^2)(1-q^2/n^2)`

Als je de haakjes wegwerkt dan zie je dat `D=0` .

De discriminant is dus altijd gelijk aan `0` en dit betekent dat `p/m^2*x+q/n^2*y=1` de vergelijking van de raaklijn in `P` aan deze ellips is.

Opgave 17

Zie de afbeelding. Merk op dat een willekeurige ellips met symmetriecentrum `(0,0)` de brandpunten op `(+-p,0)` heeft zitten, waarbij `p^2=m^2-n^2` . (De brandpunten kunnen ook op `(0,+-p)` zitten als `n>m` . Dan gaat het onderstaande bewijs met `n` omgedraaid ten opzichte van `m` maar verder analoog.)

Eerst de horizontale symmetrieas. Je weet dat `|F_1P|+|F_2P|=r` , en ook dat `r=2m` . Van de brandpunten naar punt `A` maakt dat dus `|F_1A|+|F_2A|=2m` . Je ziet ook dat `|F_2A|=|F_1A|+|F_1F_2|` , en dat `|F_1F_2|=2p` . Dit alles bij elkaar geeft `|F_1A|=m-p` .

Samen met `|F_1C|=p` zie je dat `|AC|=|F_1A|+|F_1C|=m` , dus de horizontale symmetrieas heeft lengte `2m` .

Nu de verticale symmetrieas. Je ziet dat `|F_1B|+|F_2B|=2m` . Bovendien is `|F_1B|=|F_2B|` , omwille van symmetrie, dus `|F_1B|=m` .

De stelling van Pythagoras zegt dat `|F_1B|^2=|F_1C|^2+|BC|^2` , ofwel `m^2=p^2+|BC|^2` . Uit `p^2=m^2-n^2` vind je dan dat `|BC|^2=n^2` , dus `|BC|=n` .

De verticale symmetrieas heeft dus lengte `2n` .

Opgave 18
a

De brandpunten zijn `F_1(text(-)sqrt(14),0)` en `F_2(sqrt(14),0)` . Mogelijke richtcirkels zijn `(x+-sqrt(14))^2+y^2=64` .

b

`y=1`

c

`(text(-) 16/33 sqrt(66), text(-) 1/33 sqrt(66))` en `(16/33 sqrt(66), 1/33 sqrt(66))`

Opgave 19
a

De brandpunten zijn `F_1(0,0)` en `F_2(0,4)` .

b

Symmetrie ten opzichte van `(0, 2)` betekent dat als `(x,y)` op de ellips ligt, dan ook `(text(-)x,4-y)` op de ellips ligt.

Substitutie geeft `((text(-)x)^2)/5+((4-y-2)^2)/9=1` , en dat is equivalent aan de originele vergelijking.

c

`a=+-sqrt(7/5)`

verder | terug