Krommen in 2D > Ellipsen
123456Ellipsen

Voorbeeld 2

De brandpunten van de ellips met vergelijking `x^2 + 4y^2 + 4x - 8y = 16` liggen beide op een lijn evenwijdig aan de `x` -as. Bereken hun coördinaten. Stel ook een vergelijking op van de raaklijnen aan deze ellips voor `x=0` .

> antwoord

Door kwadraat afsplitsen wordt de vergelijking `(x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 24` .
Dit kun je schrijven als: `((x + 2)^2)/24 + ((y - 1)^2)/6 = 1` .
Voor de straal `r` van de richtcirkel geldt `24 = (0,5r)^2` en verder is `6 = (0,5r)^2 - p^2` , waarin `p` de afstand van een brandpunt tot het symmetriecentrum `(text(-)2, 1)` van de ellips is. Nu kun je de brandpunten bepalen:
`F_1 (text(-)2 - sqrt(18), 1)` en `F_1 (text(-)2 + sqrt(18), 1)`

Voor de vergelijkingen van de raaklijnen bepaal je eerst de raakpunten door `x = 0` in de vergelijking in te voeren.
Ga na dat bij `x = 0` hoort `y = 1 +- sqrt(5)` .
De ene raaklijn heeft dan een vergelijking van de vorm `y = ax + 1 + sqrt(5)` en voor de andere geldt `y =ax + 1 - sqrt(5)` .
Nu kun je de vergelijkingen van beide raaklijnen opstellen met behulp van de discriminantmethode.

Raaklijn in `(0,1-sqrt(5))` : `y = 0,1x sqrt(5) + 1 - sqrt(5)` .

Raaklijn in `(0,1+sqrt(5))` : `y = text(-)0,1x sqrt(5) + 1 + sqrt(5)` .

Opgave 8

Bekijk de ellips met de vergelijking `x^2+4y^2+4x-8y=16` uit het voorbeeld.

a

Ga na dat je door kwadraat afsplitsen de vergelijking van de ellips zo kunt schrijven dat je het centrum ervan kunt aflezen.

b

Bereken zelf de coördinaten van de brandpunten van deze ellips.

c

Welk middelpunt heeft de richtcirkel? En hoe groot is de straal ervan?

Bestudeer de manier waarop de vergelijkingen van de raaklijnen aan de ellips voor een bepaalde waarde van `x` kunnen worden berekend.

d

Stel met behulp van de discriminantmethode de vergelijkingen van beide raaklijnen in de punten `(0,1-sqrt(5))` en `(0,1+sqrt(5))` op.

e

Stel een vergelijking op van beide raaklijnen aan de ellips voor `x = text(-)4` .

f

Onderzoek of er punten op de ellips zijn waarin de raaklijn een richtingscoëfficiënt van `1` heeft.

Opgave 9

Een ellips heeft twee horizontale raaklijnen met vergelijkingen `y = 1` en `y = 5` en twee verticale raaklijnen met vergelijkingen `x = text(-)2` en `x = 6` .

a

Stel een vergelijking op van deze ellips.

b

Deze ellips heeft twee raaklijnen die door `O(0, 0)` gaan. Stel daarvan vergelijkingen op. Rond de richtingscoëfficiënten af op drie decimalen.

verder | terug