Krommen in 2D > EllipsenUitleg
Een ellips is een kromme die bestaat uit alle punten `P` die een even grote afstand hebben tot een vast punt `F` als tot een vaste cirkel `c` . Je construeert die punten door steeds de middelloodlijn van `FQ` te snijden met straal `MQ` . Dit vaste punt `F` heet het brandpunt (of focus), de vaste cirkel heet de richtcirkel. De ellips kun je alleen construeren als `F` binnen de cirkel ligt.
Voor de ellips in de figuur kun je afleiden dat voor elk punt `P(x, y)` moet gelden `(x^2) /16 + (y^2) /7 =1` .
Je krijgt dezelfde ellips als de richtcirkel middelpunt `F(3, 0)` heeft en als `M(text(-)3, 0)` het brandpunt is. De rol van de punten `M` en `F` is volledig verwisselbaar. Daarom zeg je wel dat zo'n ellips twee brandpunten heeft, namelijk `M` en `F` .
Bekijk in
Leg uit waarom dit betekent dat `|MP|+|PF|=8` .
Neem nu `P(x, y)` als punt van de ellips. Welke vergelijking in `x` en `y` volgt nu uit `|MP|+|PF|=8` ?
Leid de vergelijking van de ellips in
Het getal `16` kun je afleiden uit de richtcirkel door het kwadraat van de halve straal te nemen. Toon dit aan.
Het getal `7` kan worden afgeleid uit het kwadraat van de halve straal van de richtcirkel en het kwadraat van de afstand van `F` tot de oorsprong `O(0 ,0 )` , het centrum van de ellips. Toon dit aan.
De ellips heeft een horizontale as die even lang is als de straal van de richtcirkel. Hoe lang is de verticale as?
Bekijk de ellips uit
Bewijs dat uit het feit dat punt `P` het snijpunt van de middelloodlijn van `FQ` en straal `MQ` is, volgt dat `text(d)(P, c) = |PF|` .
Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de ellips in het punt `P` met `x` -coördinaat `2` en een positieve `y` -coördinaat.
In de constructie in de uitleg lijkt het er op dat de middelloodlijn van `FQ` de ellips raakt.
Probeer dit zelf te bewijzen. (Een indirect bewijs gaat het gemakkelijkst, een analytisch bewijs is veel rekenwerk.)
Het centrum van de ellips `e` is `(0 , 0 )` . Je verschuift de ellips tot het centrum `(3 , 2 )` is. Er ontstaat een nieuwe ellips `e_2` .
Stel een vergelijking op van `e_2` .
Bereken van deze nieuwe ellips de exacte snijpunten met de coördinaatassen.
Bekijk nu de situatie waarin `M(0, text(-)3)` het middelpunt is van de richtcirkel met straal `8` en dat `F(0, 3)` het andere brandpunt is.
Welke vergelijking heeft de ellips die de verzameling punten `P` voorstelt waarvoor `|FP| = text(d)(P, c)` ?