Krommen in 2D > Ellipsen
123456Ellipsen

Uitleg

Een ellips is een kromme die bestaat uit alle punten die een even grote afstand hebben tot een vast punt als tot een vaste cirkel . Je construeert die punten door steeds de middelloodlijn van te snijden met straal . Dit vaste punt heet het brandpunt (of focus), de vaste cirkel heet de richtcirkel. De ellips kun je alleen construeren als binnen de cirkel ligt.

Voor de ellips in de figuur kun je afleiden dat voor elk punt moet gelden .

Je krijgt dezelfde ellips als de richtcirkel middelpunt heeft en als het brandpunt is. De rol van de punten en is volledig verwisselbaar. Daarom zeg je wel dat zo'n ellips twee brandpunten heeft, namelijk en .

Opgave 1

Bekijk hoe de ellips wordt geconstrueerd door punt over de cirkel te bewegen. Uitgangspunt is dat steeds .

a

Leg uit waarom dit betekent dat .

b

Neem nu als punt van de ellips. Welke vergelijking in en volgt nu uit ?

c

Geef de vergelijking van de ellips.

d

Het getal kun je afleiden uit de richtcirkel door het kwadraat van de halve straal te nemen. Toon dit aan.

e

Het getal kan worden afgeleid uit het kwadraat van de halve straal van de richtcirkel en het kwadraat van de afstand van tot de oorsprong , het centrum van de ellips. Toon dit aan.

f

De ellips heeft een horizontale as die even lang is als de straal van de richtcirkel. Hoe lang is de verticale as?

Opgave 2

Bekijk hoe de ellips uit de uitleg wordt geconstrueerd.

a

Bewijs dat uit het feit dat punt het snijpunt van de middelloodlijn van en straal is, volgt dat .

b

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de ellips in het punt met -coördinaat en een positieve -coördinaat.

Het centrum van de ellips is . Je verschuift de ellips tot het centrum is. Er ontstaat een nieuwe ellips .

c

Stel een vergelijking op van .

d

Bereken van deze nieuwe ellips de exacte snijpunten met de coördinaatassen.

Opgave 3

Een ellips heeft brandpunten en . Het punt is het middelpunt van de richtcirkel met straal .

a

Construeer de ellips.

b

Stel een vergelijking op van de ellips.

Het centrum van de ellips is . Transleer de ellips zo, dat het centrum is. Er ontstaat een nieuwe ellips .

c

Stel een vergelijking op van .

Opgave 4

Bekijk de ellips met vergelijking uit de uitleg nog eens. Bekijk goed de constructie.

a

Neem aan dat de richtcirkel als middelpunt heeft. De straal blijft  cm. Laat zien dat dit dezelfde ellips oplevert.

In de constructie in de uitleg lijkt het er op dat de middelloodlijn van de ellips raakt.

b

Probeer dit zelf te bewijzen. (Een indirect bewijs gaat het gemakkelijkst, een analytisch bewijs is veel rekenwerk.)

Bekijk nu de situatie waarin het middelpunt is van de richtcirkel met straal en dat het andere brandpunt is..

c

Welke vergelijking heeft de ellips die de verzameling punten voorstelt waarvoor ?

verder | terug