Krommen in 2D > Ellipsen
123456Ellipsen

Uitleg

Een ellips is een kromme die bestaat uit alle punten `P` die een even grote afstand hebben tot een vast punt `F` als tot een vaste cirkel `c` . Je construeert die punten door steeds de middelloodlijn van `FQ` te snijden met straal `MQ` . Dit vaste punt `F` heet het brandpunt (of focus), de vaste cirkel heet de richtcirkel. De ellips kun je alleen construeren als `F` binnen de cirkel ligt.

Voor de ellips in de figuur kun je afleiden dat voor elk punt `P(x, y)` moet gelden `(x^2) /16 + (y^2) /7 =1` .

Je krijgt dezelfde ellips als de richtcirkel middelpunt `F(3, 0)` heeft en als `M(text(-)3, 0)` het brandpunt is. De rol van de punten `M` en `F` is volledig verwisselbaar. Daarom zeg je wel dat zo'n ellips twee brandpunten heeft, namelijk `M` en `F` .

Opgave 1

Bekijk hoe de ellips `e` wordt geconstrueerd door punt `Q` over de cirkel te bewegen. Uitgangspunt is dat steeds `|FP|=|PQ|` .

a

Leg uit waarom dit betekent dat `|MP|+|PF|=8` .

b

Neem nu `P(x,y)` als punt van de ellips. Welke vergelijking in `x` en `y` volgt nu uit `|MP|+|PF|=8` ?

c

Geef de vergelijking van de ellips.

d

Het getal `16` kun je afleiden uit de richtcirkel door het kwadraat van de halve straal te nemen. Toon dit aan.

e

Het getal `7` kan worden afgeleid uit het kwadraat van de halve straal van de richtcirkel en het kwadraat van de afstand van `F` tot de oorsprong `O(0 ,0 )` , het centrum van de ellips. Toon dit aan.

f

De ellips heeft een horizontale as die even lang is als de straal van de richtcirkel. Hoe lang is de verticale as?

Opgave 2

Bekijk hoe de ellips uit de uitleg wordt geconstrueerd.

a

Bewijs dat uit het feit dat punt `P` het snijpunt van de middelloodlijn van `FQ` en straal `MQ` is, volgt dat `text(d)(P, c) = |PF|` .

b

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de ellips in het punt `P` met `x` -coördinaat `2` en een positieve `y` -coördinaat.

Het centrum van de ellips `e` is `(0 ,0 )` . Je verschuift de ellips tot het centrum `(3 ,2 )` is. Er ontstaat een nieuwe ellips `e_2` .

c

Stel een vergelijking op van `e_2` .

d

Bereken van deze nieuwe ellips de exacte snijpunten met de coördinaatassen.

Opgave 3

Een ellips `e` heeft brandpunten `F_(1)(text(-)2, 0)` en `F_(2)(2, 0)` . Het punt `F_2` is het middelpunt van de richtcirkel met straal `5` .

a

Construeer de ellips.

b

Stel een vergelijking op van de ellips.

Het centrum van de ellips `e` is `(0 ,0 )` . Transleer de ellips zo, dat het centrum `(3 ,2 )` is. Er ontstaat een nieuwe ellips `e_2` .

c

Stel een vergelijking op van `e_2` .

Opgave 4

Bekijk de ellips met vergelijking `(x^2)/(16) + (y^2)/7 = 1` uit de uitleg nog eens. Bekijk goed de constructie.

a

Neem aan dat de richtcirkel als middelpunt `F` heeft. De straal blijft `8`  cm. Laat zien dat dit dezelfde ellips oplevert.

In de constructie in de uitleg lijkt het er op dat de middelloodlijn van `FQ` de ellips raakt.

b

Probeer dit zelf te bewijzen. (Een indirect bewijs gaat het gemakkelijkst, een analytisch bewijs is veel rekenwerk.)

Bekijk nu de situatie waarin `M(0, text(-)3)` het middelpunt is van de richtcirkel met straal `8` en dat `F(0, 3)` het andere brandpunt is..

c

Welke vergelijking heeft de ellips die de verzameling punten `P` voorstelt waarvoor `|FP| = text(d)(P, c)` ?

verder | terug