Krommen in 2D > Hyperbolen
123456Hyperbolen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Deze punten liggen even ver van `F` (brandpunt) als van de cirkel `c` .

b

Maak gebruik van `|MP| + |FP| = |MP| + |FQ| = 8` (de straal van de cirkel).

Opgave 1
a

`Q` ligt op de richtcirkel. Dus `|MQ| = 4` en `|MP| - |PQ| = |MQ| = 4` .

Je weet dat `|PQ|=|PF|` , dus er geldt ook `|MP| - |PF| = 4` .

b

De punten zijn `M(text(-)3, 0)` , `F(3, 0)` en `P(x, y)` .

De stelling van Pythagoras toepassen geeft `sqrt((x + 3)^2 + y^2) - sqrt((x - 3)^2 + y^2) = 4` .

c

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) = 4 + sqrt((x - 3)^2 + y^2)` kwadrateren geeft `12x - 16 = 8 sqrt((x - 3)^2 + y^2)` .

Dit kwadrateer je nog eens, dan krijg je `5x^2 - 4y^2 = 20` en dat is equivalent aan `(x^2)/4 - (y^2)/5 = 1` .

d

De halve straal van de richtcirkel is `2` en `2^2=4` .

e

`5 = 3^2 - 2^2` , dus is `5=|FO|^2 - (1/2 r)^2` . Hierbij is `r` de straal van de richtcirkel.

Opgave 2
a

`x=text(-)2` en `x=2`

b

`MR_1` en de middelloodlijn van `R_1F` zijn evenwijdig, net zoals `MR_2` en de middelloodlijn van `R_2F` . Er is dus geen snijpunt. En hoe meer een punt `Q` op de cirkel `R_1` (of `R_2` ) nadert, hoe hoger (of lager) je een punt `P` op de hyperbooltak krijgt.

Het bepalen van de vergelijkingen van de asymptoten kun je als volgt doen:

`|MF|=6` en `|MR_1|=|MR_2|=4` , dus `|R_1F|=|R_2F|=sqrt(20)` . De richtingscoëfficiënt van `MR_1` en dus ook van de asymptoot is `sqrt(20)/4=sqrt(5/4)=1/2sqrt(5)` . Voor `MR_2` is de richtingscoëfficiënt `text(-)1/2sqrt(5)` . Merk op dat het getal `5` de noemer van `y^2/5` is en `4` de noemer van `x^2/4` is.

De asymptoten gaan door de oorsprong, dus de vergelijkingen van de asymptoten zijn `y=+-sqrt(5/4)*x=+-1/2sqrt(5)*x` .

c

Er is nu sprake van een translatie van `3` ten opzichte van de `y` -as en `2` ten opzichte van de `x` -as.

Vervang in de vergelijking `x` door `x-3` en `y` door `y-2` . Je krijgt `(x-3)^2/4-(y-2)^2/5=1` .

De asymptoten kun je op een zelfde manier verschuiven: `y=2=+-1/2sqrt(5)*(x-3)` .

d

`x = 0` geeft `9/4- ((y - 2)^2)/5 = 1` en dus `y = 4,5 vv y = text(-) 0,5` .

`y = 0` geeft `((x - 3)^2)/4 - 4/5 = 1` en dus `x = 3 +- 6/sqrt(5)` .

Opgave 3
a

Ligt `(a, b)` op de hyperbool, dan ligt ook `(a, text(-)b)` op de hyperbool.

Invullen van `(a, text(-)b)` geeft `a^2/4-(text(-)b)^2/5=1` en dit is equivalent aan `a^2/4-b^2/5=1` .

b

Analoog aan a. Als `(a, b)` op de hyperbool ligt, dan ligt ook `(text(-)a, text(-)b)` op de hyperbool. Dit klopt.

c

Bij de oorspronkelijke hyperbool zijn de symmetrieassen de `x` - en de `y` -as. Er is nu sprake van een translatie van `3` ten opzichte van de `y` -as en `2` ten opzichte van de `x` -as. De symmetrieassen van de hyperbool zijn daarom de lijnen `x=3` en `y=2` .

Opgave 4
a

Maak bijvoorbeeld een schets. De afstand tussen `P` en de richtcirkel moet hetzelfde zijn als `|F_2P|=1` . Hieruit volgt dat de straal `2` moet zijn.

b

`((x - a)^2)/(m^2) - ((y - b)^2)/(n^2) = 1` is de standaardvergelijking van een hyperbool met `(a,b)` als centrum. Het centrum is `(2,1)` want dit ligt midden in beide brandpunten.
`m = 0,5r` en `r = 2` dus `m = 1` .
`n^2 = p^2 - (0,5r)^2 = 2^2 - 1^2 = 3` .

c

Teken de brandpunten. Teken eerst de richtcirkel met middelpunt `F_1` . Neem een punt `Q` op de richtcirkel.

Construeer een punt op de hyperbool door de middelloodlijn van `F_2Q` te snijden met het verlengde van straal `F_1Q` . Merk op dat je niet elk punt op de richtcirkel kunt nemen om een punt op de kromme te construeren.

Construeer op deze manier een aantal punten van de hyperbool en teken een vloeiende kromme door deze punten. Je krijgt nu één tak van de hyperbool. De andere tak krijg je door de richtcirkel met middelpunt `F_2` te nemen, of door spiegelen van de tak die je hebt gevonden in een verticale lijn door het symmetriecentrum.

Opgave 5
a

`(x, y)` op de hyperbool betekent `((x - 6)^2)/16 - ((y - 4)^2)/9 = 1` .
`(x, 8 - y)` op de hyperbool betekent `((x - 6)^2)/16 - ((8 - y - 4)^2)/9 = 1` . En dat is hetzelfde, want `(8 - y - 4)^2 = (4 - y)^2 = (y - 4)^2` voor elke `y` .

b

De lijn `x = 6` . Het bewijs is analoog aan dat bij a.

Opgave 6
a

`text(-)y^2 + 4y = text(-)(y - 2)^2 +4`

Zo krijg je `3x^2-(y-2)^2+4=16` , ofwel `(x^2)/4-((y-2)^2)/12=1` .

b

Uit `4 = (0,5r)^2` en `12 = p^2 - (0,5r)^2` volgt `p^2 = 16` en dus `p = +- 4` .

Uit de vergelijking bij a kun je zien dat het centrum op `C(0, 2)` ligt, dus de brandpunten zijn `F_1(text(-)4, 2)` en `F_2(4, 2)` .

c

Bijvoorbeeld `(x+4)^2+(y-2)^2=12` .

d

`x=4` geeft `y=text(-)4 vv y=8` .

Door symmetrie weet je dat de onderste raaklijn dezelfde helling heeft als de bovenste raaklijn, maar dan negatief.

Substitueer `y=a(x-4)+8` in de vergelijking van de hyperbool:

`3x^2-(a(x-4)+8)^2+4(a(x-4)+8)=16` geeft `(3-a^2)x^2+(8a^2-12a)x-16a^2+48a-48=0` .

`D=(8a^2-12a)^2-4(3-a^2)(text(-)16a^2+48a-48)=0` geeft `(a-2)^2=0` en dus `a=2` .

De vergelijkingen van de raaklijn in `(4, 8)` is `y=2(x-4)+8 = 2x` .

De vergelijkingen van de raaklijn in `(4, text(-)4)` is `y= text(-)2(x-4) - 4 = text(-)2x + 4` .

e

Een raaklijn van met richtingscoëfficiënt `a = 1,5` heeft een vergelijking van de vorm `y = 1,5x + b` .

Dit invullen in de vergelijking van de hyperbool geeft:

`3x^2 - (1,5x + b)^2 + 4(1,5x + b) = 16` en `3/4 x^2 + (6 - 3b)x - b^2 +4b - 16 = 0` .

`D = (6 - 3b)^2 - 4 * 3/4 * (-b^2+4b-16)=0` geeft `b^2 - 4b + 7 = 0` .

De discriminant hiervan is `text(-)12 < 0` . Dit betekent dat er geen raaklijnen zijn met een richtingscoëfficiënt van `1,5` .

Je kunt ook de richtingscoëfficiënten van de asymptoten berekenen, die zijn `+- sqrt(12/4) =+-sqrt(3)` . En dat betekent dat alle richtingscoëfficiënten van raaklijnen aan de hyperbool groter zijn dan `sqrt(3)` of kleiner dan `text(-)sqrt(3)` . Aangezien `1,5 < sqrt(3)~~1,73` is er geen raaklijn aan de hyperbool met een richtingscoëfficiënt van `1,5` .

Opgave 7
a

Door kwadraatafsplitsen wordt de vergelijking:

`(x-2)^2/5-y^2/25=1`

Uit `5 = (0,5r)^2` en `25 = p^2 - (0,5r)^2` volgt `p^2 = 30` en dus `p = +- sqrt(30)` .

Uit de vergelijking van de hyperbool kun je zien dat het centrum op `C(2, 0)` ligt, dus de brandpunten zijn `F_1(2-sqrt(30), 0)` en `F_2(2+sqrt(30), 0)` .

b

Substitueer `y=2,5x+b` in de vergelijking van de hyperbool:

`5x^2-20x-(2,5x+b)^2=5` geeft `text(-)1,25x^2-(20+5b)x-b^2-5=0` .

`D=(20+5b)^2-5b^2-25=0` geeft `20b^2+200b+375=0` en `b=text(-)7,5 vv b=text(-)2,5` .

Dus de raaklijnen zijn `y=2,5x-7,5` en `y=2,5x-2,5` .

Vul `b=text(-)7,5` in, dan is `x=7` . De bijbehorende `y` -waarde is `10` .

Vul `b=text(-)2,5` in, dan is `x=text(-)3` . De bijbehorende `y` -waarde is `text(-)10` .

In de punten `(text(-)3, text(-)10)` en `(7, 10)` is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn `2,5` .

Opgave 8
a

De éne raaklijn gaat door `(3; 7,10)` met `a~~2,55` en heeft dus vergelijking `y~~2,55x - 0,55` .

De andere raaklijn gaat door `(3; text(-)7,10)` met `a~~text(-)2,55` en heeft dus vergelijking `y~~text(-)2,55x + 0,55` .

b

Als de uitdrukking onder de wortel `0` wordt, dus als `13/3 x^2-13=0` is de raaklijn verticaal.

`13/3 x^2-13=0` als `x=+-sqrt(3)` .

c

`y=5` invullen geeft `x=+-sqrt(66/13)~~+-2,25` . De raaklijnen zijn dus van de vorm `y=a(x+-2,25)+5` .

Met de GR kom je op: `y'(sqrt(66/13))~~3,25`

Door symmetrie weet je dat `y'(sqrt(66/13))=text(-)y'(text(-)sqrt(66/13))` . De raaklijnen worden dus gegeven door:

`y=3,25(x-2,25)+5` en `y=text(-)3,25(x+2,25)+5` .

Opgave 9

`x=text(-)4` invullen in de vergelijking van de hyperbool geeft `y=+-8/5 sqrt(6)` . De raaklijnen hebben dus de vorm `y=a(x+4)+-8/5 sqrt(6)` .

De vergelijking van de hyperbool kun je herleiden naar `y=+-sqrt(16/25 (x-3)^2-16)` .
Dit geeft: `y'(text(-)4)~~+-1,14` .

Invullen in de vergelijkingen van de raaklijnen geeft `y=text(-)1,14x-0,65` en `y=1,14x+0,65` .

Als je differentiëren kunt toepassen, kun je exacte antwoorden krijgen!

Opgave 10
a

Ga uit van `F_1 = (text(-)3, 2)` ; `F_2 = (5, 2)` en `P = (5, 8)` .
Symmetriecentrum is `C(1, 2)` ; de vergelijking wordt `((x - 1)^2)/(m^2) - ((y - 2)^2)/(n^2) = 1` .
Nu is `m = 0,5r` en `n^2 = p^2 - (0,5r)^2` terwijl `r = |F_1 P| - |F_2 P| = 4` en `p = |CF_1| = 4` .
Hieruit volgt `k: ((x - 1)^2)/(4) - ((y - 2)^2)/(12) = 1` .

b

Uit de vergelijking van de richtcirkel volgt `r = 3` .

Verder is middelpunt `M = F_1 = (0, 0)` het linker brandpunt en `F = F_2 = (4, 0)` . Dit geeft `p = |CF_1| = 2` . Zo kun je berekenen `m^2=(0,5r)^2=(1,5)^2=2,25` en `n^2=4-2,25=1,75` .

Hieruit volgt `k:((x-2)^2)/(2,25) + (y^2)/(1,75) = 1` .

Opgave 11
a

Dit is een hyperbool waarvan beide takken een verticale symmetrieas hebben. Herleid de vergelijking van de hyperbool tot `(y - 1)^2 - ((x - 2)^2)/4 = 1` . Het symmetriecentrum is dus `C(2, 1)` .

Hieruit volgt `m^2 = (0,5r)^2 = 1` en `n^2 = p^2 - (0,5r)^2 = 4` . Dit geeft `r = 2` en `p = +-sqrt(5)` .

Dus `(2, 1 text(-) sqrt(5))` en `(2,1+sqrt(5))` .

b

`C(2, 1)` en de punten `P(x,y)` en `P'(4 - x, 2 - y)` voldoen beide aan de vergelijking van de hyperbool.

Opgave 12
a

Ellips: `e: (x^2)/16 + (y^2)/4 = 1` geeft `p = +-sqrt(16-4)=+-sqrt(12)` en brandpunten `(+-sqrt(12), 0)` .

Hyperbool: `h: (x^2)/4 - (y^2)/16 = 1` geeft `p = +-sqrt(16+4)=+-sqrt(20)` en brandpunten `(+-sqrt(20), 0)` .

Ze hebben dus niet dezelfde brandpunten.

b

Omdat zowel `e` als `h` het centrum `C(0, 0)` hebben, vormen de snijpunten die ze met elkaar hebben een rechthoek vanwege de symmetrie van de krommen.

De vergelijking van de hyperbool is te schrijven als `y^2 = 4x^2 - 16` . Dit invullen in de vergelijking van de ellips geeft `x^2 + 4(4x^2 - 16) = 16` , ofwel `17x^2 = 80` en `x = +- sqrt(80/17)` .

Je krijgt vier snijpunten: `(+- sqrt(80/17), +- sqrt(48/17))` .

De oppervlakte van de rechthoek is `(2*sqrt(80/17))*(2*sqrt(48/17))=4/17 sqrt(3840)` .

c

`y = +-4/2 x = +-2x` zijn de vergelijkingen van de asymptoten van `h` .

`y = 2x` invullen in de vergelijking van `e` geeft de snijpunten `(sqrt(16/17), 2sqrt(16/17))` en `(text(-)sqrt(16/17), text(-)2sqrt(16/17))` .

De gevraagde afstand is `sqrt((sqrt(16/17)+sqrt(16/17))^2+(2sqrt(16/17)+2sqrt(16/17))^2)=8sqrt(5/17)` .

Opgave 13
a

Invullen van `y=0` geeft `x=+-1` . Dus de snijpunten met de `x` -as zijn `(+-1, 0)` .

Invullen van `x=0` geeft `y=+-sqrt(text(-)1)` , dus er zijn geen reële oplossingen. Er zijn geen snijpunten met de `y` -as.

b

`m^2 = (0,5r)^2 = 1` en `n^2 = p^2 - (0,5r)^2 = 1` geeft `p = +-sqrt(2)` .

De brandpunten zijn `F_1(text(-)sqrt(2), 0)` en `F_2(sqrt(2), 0)` .

c

Bij `x = 2` hoort `y = +-sqrt(3)` en dus zijn de raaklijnen van de vorm `y +- sqrt(3) = a(x - 2)` . Je kunt eerst de raaklijn die van de vorm `y-sqrt(3)=a(x-2)` opstellen, de andere bepaal je dan met behulp van dat de hyperbool symmetrisch is in de lijn `x=0` .

Substitueer `y=a(x-2)+sqrt(3)` in de vergelijking van de hyperbool. Je krijgt

`x^2-(a(x-2)+sqrt(3))^2=1` en `(1-a^2)x^2+(4a^2-2sqrt(3)a)x-4a^2+4sqrt(3)a-4=0` .

`D=(4a^2-2sqrt(3)a)^2-4(1-a^2)(text(-)4a^2+4sqrt(3)a-4)=0` geeft `3a^2-4sqrt(3)a+4=0` .

Dus `a=+-2/3 sqrt(3)` (abc-formule).

Dus `y=2/3 sqrt(3)x-1/3 sqrt(3)` en `y=text(-)2/3 sqrt(3)x+1/3 sqrt(3)` zijn de raaklijnen.

Het snijpunt van die raaklijnen is `(0,5; 0)` .

Opgave 14
a

Deze asymptoten hebben de vorm `y = ax` . Vul dit in de vergelijking van de hyperbool in.
`(x^2)/(m^2) - (a^2 x^2)/(n^2) = 1`
`(1/(m^2) - (a^2)/(n^2))x^2 = 1`

De asymptoten zijn de "raaklijnen in het oneindige" . Gebruik de discriminantmethode.

`D` `=` `4*(1/(m^2)-(a^2)/(n^2))`
`1/(m^2) - (a^2)/(n^2)` `=` `0`
`a` `=` `+- n/m`
b

Herleid de vergelijking van de lijn tot `y = (pn^2)/(qm^2)*x - (n^2)/q` .
Substitueer dit in de vergelijking van de hyperbool en herleid:

`x^2/m^2-((pn^2)/(qm^2)*x-n^2/q)^2/n^2` `=` `1`
`(1/m^2-(p^2n^2)/(q^2m^4))*x^2+(2pn^2)/(q^2m^2)*x-n^2/q^2-1` `=` `0`
`D` `=` `(4p^2n^4)/(q^4m^4)+4(1/m^2-(p^2n^2)/(q^2m^4))(n^2/q^2+1)=0`

Dit is te herleiden tot:

`D=n^2/(m^2q^2)+1/m^2-(p^2n^2)/(q^2m^4)`

Omdat `p^2/m^2-q^2/n^2=1` is `p^2/m^2=1+q^2/n^2` .
Substitueer dit in de vergelijking van de discriminant:

`D=n^2/(m^2q^2)+1/m^2-n^2/(q^2m^2)(1+q^2/n^2)`

Als je de haakjes wegwerkt dan betekent dat `D=0` .

De discriminant is dus altijd gelijk aan `0` en dit betekent `p/m^2*x=q/n^2*y=1` de vergelijking van de raaklijn in `P` aan deze hyperbool is.

Opgave 15

De vergelijking van de hyperbool van die van de cirkel aftrekken geeft `2y^2=2` , ofwel `y=+-1` . Deze invullen in één van de vergelijkingen geeft `x=+-sqrt(2)` .

De vier snijpunten zijn dus `(+-sqrt(2), +-1)` . Omwille van de symmetrie is de hoek tussen de raaklijnen in alle vier deze punten gelijk, dus je hoeft er maar één te berekenen. Neem punt `P(sqrt(2), 1)` .

Voor de hyperbool kun je met de GR de helling in dit punt bepalen als je schrijft `y=+-sqrt(x^2-1)` .
Je vindt `a_h~~1,41` .

Voor de cirkel kun je met de GR de helling in dit punt bepalen als je schrijft `y = +-sqrt(3-x^2)` .
Je vindt `a_c~~text(-)1,41` .

Voor de cirkel en hyperbool om loodrecht op elkaar te staan moet gelden: `a_c*a_h=text(-)1` en dat klopt niet.

Opgave 16Scheve hyperbool
Scheve hyperbool
a

Je construeert de hyperbool door in elk punt `Q` van de richtcirkel een de middelloodlijn van `FQ` te tekenen en deze lijn te snijden met het verlengde van straal `OQ` . Het snijpunt is een punt op de kromme. Doe dit voor voldoende punten en teken een vloeiende lijn door de snijpunten.
(Dit is goed te construeren in GeoGebra.)

b

`|OP|-|FP| = 1` .

Dit geeft `sqrt(x^2+y^2)-sqrt((2-x)^2+(y-2)^2)=1` .

Je kunt dit verder herleiden:
`sqrt(x^2+y^2)=1+sqrt((2-x)^2+(y-2)^2)` links en rechts kwadrateren geeft `9-4x-4y=2sqrt(x^2+y^2-4x-4y+8)` .
Nog eens kwadrateren geeft `text(-)12x^2-12y^2+56x+56y-32xy-49=0` .

c

Beide asymptoten gaan door `(1, 1)` en hebben een richtingscoëfficiënt van `a` , dus vergelijking `y = a(x-1)+1` . Gebruik de discriminant methode en je vindt `a~~text(-)0,46 vv a ~~ text(-)2,20` .

Dus asymptoten: `y ~~ text(-)0,46x + 1,46` en `y ~~ text(-)2,20x + 3,20` .

Opgave 17
a

De brandpunten zijn `F_1(0, 3)` en `F_2(4, 3)` . De straal van de richtcirkel is `r=2` .

b
c

`y=sqrt(3)x+3-2sqrt(3)` en `y=text(-)sqrt(3)x+3+2sqrt(3)`

d

`e:((x - 2)^2)/16 + ((y - 3)^2)/(12) = 1`

Opgave 18
a

`16x^2 - 20y^2 + 140y = 225` ; na kwadraat afsplitsen `(y - 3,5)^2 - (x^2)/(1,25) = 1`

b

Het centrum van de hyperbool is `(0; 3,5)` . Als `(x, y)` op de hyperbool ligt, dan ligt `(text(-)x, 7 - y)` ook op de hyperbool.

c

`a = +- sqrt(3/5)`

verder | terug