Krommen in 2D > Hyperbolen
123456Hyperbolen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Deze punten liggen even ver van `F` (brandpunt) als van de cirkel `c` .

b

Maak gebruik van `|MP| + |FP| = |MP| + |FQ| = 8` (de straal van de cirkel).

Opgave 1
a

`Q` ligt op de richtcirkel. Dus `|MQ| = 4` en `|MP| - |PQ| = |MQ| = 4` .

Je weet dat `|PQ|=|PF|` , dus er geldt ook `|MP| - |PF| = 4` .

b

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) - sqrt((x - 3)^2 + y^2) = 4`

c

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) = 4 + sqrt((x - 3)^2 + y^2)` kwadrateren geeft `12x - 16 = 8 sqrt((x - 3)^2 + y^2)` .

Dit kwadrateer je nog eens, dan krijg je `5x^2 - 4y^2 = 20` en dat is equivalent aan `(x^2)/4 - (y^2)/5 = 1` .

d

De halve straal van de richtcirkel is `2` en `2^2=4` .

e

`5 = 3^2 - 2^2` , dus is `5=|FO|^2 - (1/2 r)^2` . Hierbij is `r` de straal van de richtcirkel.

Opgave 2
a

Ligt `(a,b)` op de hyperbool, dan ligt ook `(a, text(-)b)` op de hyperbool.

Invullen van `(a,text(-)b)` geeft `a^2/4-(text(-)b)^2/5=1` en dit is equivalent aan `a^2/4-b^2/5=1` .

b

Analoog aan a. Als `(a,b)` op de hyperbool ligt, dan ligt ook `(text(-)a,text(-)b)` op de hyperbool. Dit klopt.

c

de lijnen `x = 3` en `y = 2`

Opgave 3
a

`x=text(-)2` en `x=2`

b

`MR_1` en de middelloodlijn van `R_1F` zijn evenwijdig, net zoals `MR_2` en de middelloodlijn van `R_2F` . Er is dus geen snijpunt. En hoe meer een punt `Q` op de cirkel `R_1` (of `R_2` ) nadert, hoe hoger (of lager) je een punt `P` op de hyperbooltak krijgt.

Het bepalen van de vergelijkingen van de asymptoten kun je als volgt doen:

`|MF|=6` en `|MR_1|=|MR_2|=4` , dus `|R_1F|=|R_2F|=sqrt(20)` . De richtingscoëfficiënt van `MR_1` en dus ook van de asymptoot is `sqrt(20)/4=sqrt(5/4)=1/2sqrt(5)` . Voor `MR_2` is de richtingscoëfficiënt `text(-)1/2sqrt(5)` . Merk op dat het getal `5` de noemer van `y^2/5` is en `4` de noemer van `x^2/4` is.

De asymptoten gaan door de oorsprong, dus de vergelijkingen van de asymptoten zijn `y=+-sqrt(5/4)*x=+-1/2sqrt(5)*x` .

c

`h_2: ((x - 3)^2)/4 - ((y - 2)^2)/5 = 1`
Asymptoten: `y=2=+-1/2sqrt(5)*(x-3)`

d

`y` -as: `(0;2+-5/2)`

`x` -as: `(3+-6/sqrt(5);0)`

Opgave 4
a

Doen.

b

`(x^2)/(2,25) - (y^2)/(1,75) = 1` .

c

`((x - 3)^2)/(2,25) + ((y - 2)^2)/(1,75) = 1`

d

`(y^2)/(4) - (x^2)/(5) = 1`

Opgave 5

`y = ax` invullen geeft `(x^2)/4 - ((ax)^2)/5 = 1` ofwel `(5 - 4a^2)x^2 = 20` . Met de discriminantmethode vind je `5 - 4a^2 = 0` en dus `a = +- sqrt(5/4)` .

Opgave 6
a

Maak bijvoorbeeld een schets. De afstand tussen `P` en de richtcirkel moet hetzelfde zijn als `|F_2P|=1` . Hieruit volgt dat de straal `2` moet zijn.

b

`((x - a)^2)/(m^2) - ((y - b)^2)/(n^2) = 1` is de standaardvergelijking van een hyperbool met `(a,b)` als centrum. Het centrum is `(2,1)` want dit ligt midden in beide brandpunten.
`m = 0,5r` en `r = 2` dus `m = 1` .
`n^2 = p^2 - (0,5r)^2 = 2^2 - 1^2 = 3` .

c
Opgave 7
a

`(x,y)` op de hyperbool betekent `((x - 6)^2)/16 - ((y - 4)^2)/9 = 1` .
`(x, 8 - y)` op de hyperbool betekent `((x - 6)^2)/16 - ((8 - y - 4)^2)/9 = 1` . En dat is hetzelfde, want `(8 - y - 4)^2 = (4 - y)^2 = (y - 4)^2` voor elke `y` .

b

De lijn `x = 6` . Het bewijs is analoog aan dat bij a.

Opgave 8
a

Een mogelijke vergelijking is `x^2 + y^2= 72 - 8sqrt(17)` .

b

`((x - 4)^2)/(18-2sqrt(17)) - (y^2)/(2sqrt(17)-2) = 1`

c
d

Horizontaal zijn ze nooit.

Verticaal zijn ze in `(3+sqrt(17), 0)` en `(5-sqrt(17),0)` .

e

Die lijnen hebben de vergelijkingen `y = +- sqrt((2sqrt(17)-2)/(18-2sqrt(17)))*(x - 4)` .

Opgave 9
a

`text(-)y^2 + 4y = text(-)(y - 2)^2 +4`

Zo krijg je `3x^2-(y-2)^2+4=16` , ofwel `x^2/4-(y-2)^2/12=1` .

b

Uit `4 = (0,5r)^2` en `12 = p^2 - (0,5r)^2` volgt `p^2 = 16` en dus `p = +- 4` .

Uit de vergelijking bij a kun je zien dat het centrum op `C(0,2)` ligt, dus de brandpunten zijn `F_1(text(-)4,2)` en `F_2(4,2)` .

c

Bijvoorbeeld `(x+4)^2+(y-2)^2=12` .

d

`y=text(-)2x+4` en `y=2x`

e

Een raaklijn van met richtingscoëfficiënt `a = 1,5` heeft een vergelijking van de vorm `y = 1,5x + b` .

Dit invullen in de vergelijking van de hyperbool geeft:

`3x^2 - (1,5x + b)^2 + 4(1,5x + b) = 16`

Herleid dit naar:

`3/4 x^2 + (6 - 3b)x - b^2 +4b - 16` `=` `0`
`D` `=` `(6 - 3b)^2 - 4 * 3/4 * (-b^2+4b-16)=0`
`b^2 - 4b + 7` `=` `0`

De discriminant hiervan is `text(-)12 < 0` . Dit betekent dat er geen raaklijnen zijn met een richtingscoëfficiënt van `1,5` .

Je kunt ook de richtingscoëfficiënten van de asymptoten berekenen, die zijn `+- sqrt(12/4) =+-sqrt(3)` . En dat betekent dat alle richtingscoëfficiënten van raaklijnen aan de hyperbool groter zijn dan `sqrt(3)` of kleiner dan `text(-)sqrt(3)` . Aangezien `1,5 < sqrt(3)~~1,73` is er geen raaklijn aan de hyperbool met een richtingscoëfficiënt van `1,5` .

Opgave 10
a

`F_1(2-sqrt(30),0)` en `F_2(2+sqrt(30),0)`

b

`(text(-)3,text(-)10)` en `(7,10)`

Opgave 11
a

`y=sqrt(858)/18(x-sqrt(66/13))+5` en `y=text(-)sqrt(858)/18(x+sqrt(66/13))+5` , ofwel `y=sqrt(858)/9x-7/3` en `y=text(-)sqrt(858)/9x-7/3` .

b

Als de noemers van de afgeleide functies `y'=+-1/(2sqrt(13/3x^2-13))*26/3x` de waarde `0` benaderen, loopt de helling van de hyperbool naar het oneindige. Dat wil zeggen dat de raaklijn verticaal staat.

Dit geldt dus voor `13/3x^2-13=0` , ofwel `x=+-sqrt(3)` .

Opgave 12

`y=text(-)7/15sqrt(6)x-4/15sqrt(6)` en `y=7/15sqrt(6)x+4/15sqrt(6)`

Opgave 13
a

`k:((x - 1)^2)/(4) - ((y - 2)^2)/(12) = 1`

b

`k:((x-2)^2)/(2,25) -(y^2)/(1,75) = 1`

Opgave 14
a

`(2, 1 text(-) sqrt(5))` en `(2,1+sqrt(5))`

b

`C(2,1)` en de punten `P(x,y)` en `P'(4 - x, 2 - y)` voldoen beide aan de vergelijking van de hyperbool.

Opgave 15
a

De ellips heeft de brandpunten `(+-sqrt(12),0)` terwijl `h` als brandpunten `(+-sqrt(20),0)` heeft. Dit zijn dus niet dezelfde brandpunten.

b

De oppervlakte van de rechthoek is `4/17sqrt(3840)` .

c

`sqrt(320/17)=8sqrt(5/17)`

Opgave 16
a

De snijpunten met de `x` -as zijn `(+-1,0)` . Snijpunten met de `y` -as zijn er niet.

b

`F_1(text(-)sqrt(2),0)` en `F_2(sqrt(2),0)`

c

Raaklijnen: `y=2/3sqrt(3)x-1/3sqrt(3)` en `y=text(-)2/3sqrt(3)x+1/3sqrt(3)` .

Het snijpunt van die raaklijnen is `(0,5;0)` .

Opgave 17
a

Deze asymptoten hebben de vorm `y = ax` . Vul dit in de vergelijking van de hyperbool in.
`(x^2)/(m^2) - (a^2 x^2)/(n^2) = 1`
`(1/(m^2) - (a^2)/(n^2))x^2 = 1`

De asymptoten zijn de "raaklijnen in het oneindige" . Gebruik de discriminantmethode.

`D` `=` `4*(1/(m^2)-(a^2)/(n^2))`
`1/(m^2) - (a^2)/(n^2)` `=` `0`
`a` `=` `+- n/m`
b

Herleid de vergelijking van de lijn tot `y = (pn^2)/(qm^2)*x - (n^2)/q` .
Substitueer dit in de vergelijking van de hyperbool en herleid:

`x^2/m^2-((pn^2)/(qm^2)*x-n^2/q)^2/n^2` `=` `1`
`(1/m^2-(p^2n^2)/(q^2m^4))*x^2+(2pn^2)/(q^2m^2)*x-n^2/q^2-1` `=` `0`
`D` `=` `(4p^2n^4)/(q^4m^4)+4(1/m^2-(p^2n^2)/(q^2m^4))(n^2/q^2+1)=0`

Dit is te herleiden tot:

`D=n^2/(m^2q^2)+1/m^2-(p^2n^2)/(q^2m^4)`

Omdat `p^2/m^2-q^2/n^2=1` is `p^2/m^2=1+q^2/n^2` .
Substitueer dit in de vergelijking van de discriminant:

`D=n^2/(m^2q^2)+1/m^2-n^2/(q^2m^2)(1+q^2/n^2)`

Als je de haakjes wegwerkt dan betekent dat `D=0` .

De discriminant is dus altijd gelijk aan `0` en dit betekent `p/m^2*x=q/n^2*y=1` de vergelijking van de raaklijn in `P` aan deze hyperbool is.

Opgave 18

De vergelijking van de hyperbool van die van de cirkel aftrekken geeft `2y^2=p-1` , ofwel `y=+-sqrt(1/2(p-1))` . Deze invullen in één van de vergelijkingen geeft `x=+-sqrt(1/2(p+1))` .

De vier snijpunten zijn dus `(+-sqrt(1/2(p+1)),+-sqrt(1/2(p-1)))` . Omwille van de symmetrie is de hoek tussen de raaklijnen in alle vier deze punten gelijk, dus we hoeven er maar één te bestuderen. We nemen punt `P(sqrt(1/2(p+1)),sqrt(1/2(p-1)))` .

Voor de cirkel heb je (voor dit punt) de afgeleide `y_c'=text(-)x/sqrt(p-x^2)` . Dit geeft `h_c=text(-)sqrt(1/2(p+1))/sqrt(1/2(p-1))` als helling van de cirkel in punt `P` .

In de afgeleide van de hyperbool is `y_h'=x/sqrt(x^2-1)` , in `P` geeft dat de helling `h_h=sqrt(1/2(p+1))/sqrt(1/2(p-1))` .

Voor de cirkel en hyperbool om loodrecht op elkaar te staan moet hier gelden: `h_c*h_h=text(-)1` . Invullen en uitrekenen geeft `h_c*h_h=text(-)(x+1)/(x-1)` . Dit is nooit gelijk aan `text(-)1` .

Opgave 19
a

De brandpunten zijn `F_1(0,3)` en `F_2(4,3)` . De straal van de richtcirkel is `r=2` .

b
c

`y=sqrt(3)x+3-2sqrt(3)` en `y=text(-)sqrt(3)x+3+2sqrt(3)`

d

`e:((x - 2)^2)/16 + ((y - 3)^2)/(12) = 1`

Opgave 20
a

`16x^2 - 20y^2 + 140y = 225` ; na kwadraat afsplitsen `(y - 3,5)^2 - (x^2)/(1,25) = 1`

b

Het centrum van de hyperbool is `(0; 3,5)` . Als `(x,y)` op de hyperbool ligt, dan ligt `(text(-)x, 7 - y)` ook op de hyperbool.

c

`a = +- sqrt(3/5)`

verder | terug