Krommen in 2D > Hyperbolen
123456Hyperbolen

Verwerken

Opgave 13

Stel een vergelijking op van kromme `k` .

a

`k` is een hyperbool die door het punt `(5, 8)` gaat en de brandpunten `(text(-)3 , 2 )` en `(5 , 2 )` heeft.

b

`k` is een hyperbool waarvan de richtcirkel de vergelijking `x^2+y^2=9` heeft en het brandpunt `F(4, 0)` is.

Opgave 14

Gegeven is de hyperbool door `x^2 - 4y^2 = 4x - 8y - 4` .

a

Bereken van de hyperbool de coördinaten van de brandpunten.

b

Bewijs de symmetrie van de hyperbool ten opzichte van het punt `C` dat midden tussen beide brandpunten ligt.

Opgave 15

Gegeven zijn de ellips `e: x^2 + 4y^2 = 16` en de hyperbool `h: 4x^2 - y^2 = 16` .

a

Onderzoek of beide krommen dezelfde brandpunten hebben.

b

Toon aan dat de vier snijpunten van deze krommen een rechthoek vormen en bereken exact de oppervlakte ervan.

c

Bereken exact de lengte van het lijnstuk dat de ellips uit elke asymptoot van de hyperbool wegsnijdt.

Opgave 16

De hyperbool `h` is gegeven door de vergelijking `x^2 - y^2 = 1` .

a

Bereken de snijpunten van `h` met de assen.

b

Bereken de exacte coördinaten van de brandpunten van `h` .

c

Stel exacte vergelijkingen op van de raaklijnen aan de hyperbool in de punten van `h` die liggen op de lijn `x = 2` . Bereken ook algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van beide raaklijnen.

Opgave 17

Elke hyperbool waarvan beide takken een horizontale symmetrieas hebben kan ontstaan uit de hyperbool met standaardvorm `(x^2)/(m^2) - (y^2)/(n^2) = 1` .

a

Je kunt de asymptoten van de hyperbool zien als lijnen die de hyperbool in het oneindige raken. Bewijs dat de lijnen `y = n/m*x` en `y = text(-) n/m*x` twee asymptoten van deze hyperbool zijn.

b

Punt `P(p, q)` is een punt van deze hyperbool. Bewijs met de discriminantmethode dat de lijn met vergelijking `(p)/(m^2)*x - (q)/(n^2)*y = 1` de raaklijn in `P` aan deze hyperbool is.

Opgave 18

Gegeven de hyperbool `x^2 - y^2 = 1`  en de cirkel `x^2+y^2=p` . Toon aan dat de hyperbool voor geen enkele waarde van `p` de cirkel loodrecht snijdt.

verder | terug