Krommen in 2D > Hyperbolen
123456Hyperbolen

Uitleg

De hyperbool `h` is een kromme die bestaat uit alle punten `P` die een even grote afstand hebben tot een vast punt `F` als tot een vaste cirkel `c` . Je construeert die punten door steeds de middelloodlijn van `FQ` te snijden met het verlengde van straal `MQ` omdat `F` nu buiten de cirkel ligt. Dit vaste punt `F` heet het brandpunt (of focus), de vaste cirkel heet de richtcirkel.

Voor elk punt `P(x, y)` van de hyperbool moet gelden `(x^ 2) /4 - (y^ 2) /5 =1` .

Je krijgt de andere tak van de hyperbool als de richtcirkel middelpunt `F(3, 0)` is en als `M(text(-)3, 0)` het brandpunt is. De rol van de punten `M` en `F` is, als je beide hyperbooltakken als één figuur ziet, verwisselbaar. Daarom zeg je wel dat zo'n hyperbool twee brandpunten heeft, namelijk `M` en `F` . Zo'n volledige hyperbool heeft dezelfde symmetrieën als de ellips en je kunt die ook op dezelfde manier aantonen.

Opgave 1

Bekijk de constructie van de hyperbool uit de uitleg.

a

Leg uit waarom nu geldt `|MP|-|PF|=4` .

b

Neem nu `P(x,y)` als punt van de hyperbool. Welke vergelijking in `x` en `y` volgt nu uit `|MP|-|PF|=4` ?

c

Laat zien dat je die vergelijking kunt schrijven als `x^2/4-y^2/5=1` .

d

Het getal `4` kun je afleiden uit de richtcirkel door het kwadraat van de halve straal te nemen. Toon dit aan.

e

Het getal `5` worden afgeleid uit het kwadraat van de halve straal van de richtcirkel en het kwadraat van de afstand van `F` tot de oorsprong `O(0 ,0 )` , het centrum van de hyperbool. Toon dit aan.

Opgave 2

Bekijk de hyperbool in de uitleg.

a

Bewijs dat deze hyperbool symmetrisch is ten opzichte van de `x` -as.

b

Bewijs op dezelfde manier dat deze hyperbool symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong `O(0 ,0 )` van het assenstelsel.

c

Welke twee symmetrieassen heeft de hyperbool met vergelijking `((x - 3)^2)/4 - ((y - 2)^2)/5 = 1` ?

Opgave 3

Bekijk de constructie van de hyperbool uit de uitleg.

a

Stel vergelijkingen op van de raaklijnen aan de hyperbool die evenwijdig zijn aan de `y` -as.

b

Beweeg punt `Q` in de applet.

Er gaan twee raaklijnen aan de richtcirkel door het brandpunt `F` . Noem de raakpunten `R_1` en `R_2` .

Waarom zijn de middelloodlijnen van `R_1F` en `R_2F` de asymptoten van de hyperbool? Toon ook aan dat de vergelijkingen van deze asymptoten voldoen aan `y=+-sqrt(5/4)*x` , `y=+-1/2sqrt(5)*x` .

Het centrum van de hyperbool `h` is `(0 ,0 )` . Je verschuift de hyperbool tot het centrum `(3 ,2 )` is. Er ontstaat een nieuwe hyperbool `h_2` .

c

Stel de vergelijkingen op van `h_2` en zijn asymptoten.

d

Bereken van deze nieuwe hyperbool de exacte snijpunten met de coördinaatassen.

Opgave 4

Een hyperbool `h` heeft brandpunten `F_(1)(text(-)2, 0)` en `F_(2)(2, 0)` . Het punt `F_2` is het middelpunt van de richtcirkel met straal `3` .

a

Construeer deze hyperbool (bijvoorbeeld met GeoGebra).

b

Stel een vergelijking op van hyperbool `h` .

Het centrum van de hyperbool `h` is `(0 ,0 )` . Je verschuift `h` tot het centrum `(3 ,2 )` is. Er ontstaat een nieuwe hyperbool `h_2` .

c

Stel een vergelijking op van `e_2` .

Bekijk nu de situatie waarin `M(0, text(-)3)` het middelpunt is van de richtcirkel met straal `4` en dat `F(0, 3)` het andere brandpunt is..

d

Welke vergelijking heeft de hyperbool die de verzameling punten `P` voorstelt waarvoor `|FP| = text(d)(P, c)` ?

Opgave 5

Bekijk de hyperbool in de uitleg. Er zijn twee lijnen door het centrum `O(0, 0)` die deze hyperbool "in het oneindige raken" . Het zijn de twee (scheve) asymptoten van de hyperbool.

Welke vergelijkingen hebben die lijnen?

verder | terug