Schrijf `k` als `y=1/3x-2` . Zo is de richtingscoëfficiënt makkelijk af te lezen.

De helling van `l` is `arctan(1/2)~~26,6^@` . Die van `k` is `arctan(1/3)~~18,4^@` .

De hoek tussen beide is ongeveer `8,1^@` .

Schrijf `k` als `y=text(-)1/3x+2` . Zo is de richtingscoëfficiënt makkelijk af te lezen. Je ziet dat `k` naar beneden loopt.

De helling van `l` is `arctan(1/2)~~26,6^@` . Die van `k` is `arctan(text(-)1/3)~~text(-)18,4^@` .

De hoek tussen beide is `26,6^@-text(-)18,4^@=45^@` .

Ja, onder de voorwaarde dat je bij een negatieve richtingscoëfficiënt ook een negatieve hellingshoek gebruikt.

`y=x-4` substitueren in de vergelijking van `c` geeft:

`x^2-6x+4+(x-4)^2`	`=`	`0`
`x^2-6x+4+x^2-8x+16`	`=`	`0`
`x^2-7x+10`	`=`	`0`

Dit geeft `x=2vvx=5` , en zo krijg je de punten `A(2, text(-)2)` en `B(5, 1)` .

De raaklijn heeft in punt `A(2, text(-)2)` de vorm `y=a(x-2)-2` . Met behulp van de discriminantmethode vind je dat `a=text(-)1/2` . De raaklijn is dus `y = text(-)1/2x - 1` .

Lijn `l` heeft helling `1` , dus je kunt meteen zeggen dat de hoek `45^@` is. De raaklijn in `A` heeft helling `text(-)1/2` , hetgeen correspondeert met een hoek van ongeveer `text(-)27^@` .

De hoek tussen `l` en `c` is dus `45^@-text(-)27^@=72^@` .

Dit volgt uit de draaisymmetrie van de cirkel.

De hoek tussen de raaklijnen aan deze cirkels in één van hun snijpunten.

Twee ellipsen kunnen maximaal vier snijpunten met elkaar hebben. Bij elk van die snijpunten kan een andere hoek tussen de twee raaklijnen horen.

Maximaal `2` .

`/_A~~49,40^@` , `/_B~~60,26^@` en `/_C~~70,35^@` .

De hellingshoek van lijn `AC` met de `x` -as is `arctan(4)~~76,0^@` en van lijn `BC` is die `arctan(text(-)2/3)~~text(-)33,7^@` . De hoek tussen deze twee lijnen is `180^@-(arctan(4)-arctan(text(-)2/3))~~70,3^@` . Dit is ook de grootte van `angle C` .

Het is geen slecht idee om de hoekpunten op rasterpunten te houden. Je werkt zoals in het voorbeeld.

De ellips heeft als symmetriecentrum de oorsprong. De vergelijking is `(x^2)/(m^2) + (y^2)/(n^2) = 1` .

Vul hierin de coördinaten van bijvoorbeeld de punten `C` en `D` in en je krijgt twee vergelijkingen met twee onbekenden:

`4/(m^2)+1/(n^2)=1` en `4/(n^2)=1`

Dit geeft `n^2 = 4` en `m^2 = 16/3` . De vergelijking is `e:(3x^2)/16+(y^2)/4=1` .

Lijn `l` gaat door de punten `A(0, text(-)2)` en `C(2, 1)` . Hieruit volgt `l: y=1,5x-2` .

De raaklijn in `C(2, 1)` heeft de vorm `y=a(x-2)+1` . Gebruik de discriminantmethode. Hieruit volgt dat de raaklijn voldoet aan de vergelijking `y = text(-)1,5x + 4` .

De gevraagde hoek is ongeveer `180^@-(arctan(1,5)-arctan(text(-)1,5))~~67,38^@` .

Lijn `k` heeft de vergelijking `y = 0,5x - 2` . Met behulp van symmetrie (zie b) of de discriminantmethode vind je als vergelijking van de raaklijn `y = 1,5x - 4` .

De gevraagde hoek is `arctan(1,5)-arctan(0,5)~~30^@` .

`x=6-2y` substitueren in de vergelijking van `c` :

`(6-2y)^2+y^2`	`=`	`17`
`5y^2-24y+19`	`=`	`0`
`y`	`=`	`3,8vvy=1`

Alleen `y=1` komt in aanmerking voor een roosterpunt. Zo vind je `A(4, 1)` .

De lijn `OA` heeft de vergelijking `y=0,25x` , dus de richtingscoëfficiënt is `0,25` .

Lijn `l` heeft als vergelijking `y = text(-)0,5x + 3` .

De raaklijn in `A` staat loodrecht op de lijn met richtingscoëfficiënt `0,25` en heeft dus zelf een richtingscoëfficiënt van `text(-)4` . De vergelijking ervan is `y = text(-)4x + 17` .

De gevraagde hoek is `arctan(text(-)0,5)-arctan(text(-)4)~~49^@` .

De raaklijn staat meestal niet loodrecht op een straal vanuit het symmetriecentrum van de ellips naar het raakpunt.

`180^@-(arctan(2)-arctan(text(-)3))=45^@`

`arctan(text(-)3/4)-arctan(text(-)1)~~8^@`

`l` heeft helling `7/3` , en `m` heeft helling `text(-)3/7` .

Het product van deze richtingscoëfficiënten is `text(-)1` , dus de lijnen staan loodrecht op elkaar.

Schrijf de vergelijking van `m` als `y=25/40 x-167/40` . Zo zie je dat `l` een richtingscoëfficiënt `text(-)40/25` heeft.

Er geldt `l: y=text(-)40/25x+b` . Invullen van `P(120, 31)` geeft `b=223` .

Dus `l: y=text(-)1,6x+223` .

De richtingscoëfficiënt van `p` is `3/2` , en die van `q` is `text(-)2/3` . Het product daarvan is `text(-)1` , dus de lijnen staan loodrecht op elkaar.

De helling van lijn `AB` is `2/5` en die van `AC` is `3/2` . De hoek tussen beide is `/_A=text(arctan)(1,5)-text(arctan)(0,4)~~35^@` .

Op vergelijkbare wijze is de helling van `BC` gelijk `text(-)1/3` , dus `/_B~~40^@` .

`/_C~~180^@-34^@-40^@~~105^@`

De helling van `AB` is `2/5` , dus die van `p` is `text(-)5/2` .

Zo krijg je `p: y-5=text(-)2,5(x-2)` , ofwel `p: y=text(-)2,5x+10` .

`AB` heeft vergelijking `y=0,4x+2` . Gelijkstellen aan `p` geeft:

`0,4x+2=text(-)2,5x+10` en dus `x=80/29` .

Dit geeft `D(80/29, 90/29)` .

`|AB|=sqrt(5^2+2^2)=sqrt(29)`

`|CD|=sqrt((22/29)^2+(55/29)^2)=sqrt(121/29)`

De oppervlakte is `1/2*sqrt(29)*sqrt(121/29)=5,5` .

Met behulp van inlijsten. Je vindt dan dat de oppervlakte gelijk is aan `15 -5-3 -1,5=5,5` .

De snijpunten van `l` en `p` zijn `A(text(-)2, 0)` en `B(2, 4)` .

In `A(text(-)2, 0)` is de raaklijn aan de parabool verticaal en heeft een richtingshoek van `90^@` . De richtingshoek van `l` is `45^@` . De eerste gevraagde hoek is daarom `90^@ - 45^@ = 45^@` .

In `B(2, 4)` stel je een vergelijking van de raaklijn op met de discriminantmethode. Daaruit volgt `y = 0,5x + 3` . De hoek tussen de raaklijn en `l` is ongeveer `18^@` en dat is de tweede gevraagde hoek.

De snijpunten van `p` en `c` zijn `C(text(-)1, 2)` en `D(text(-)1, text(-)2)` .

In `C(text(-)1, 2)` bepaal je de raaklijn aan de parabool met de discriminantmethode en die aan de cirkel door gebruik te maken van de loodrechte stand op de straal.

De raaklijn aan de parabool heeft vergelijking `y = x + 3` en die aan de cirkel heeft vergelijking `y = 0,5x + 2,5` . De hoek tussen beide raaklijnen is daarom `45 - 27 = 18^@` .

In het andere snijpunt vind je omwille van symmetrie dezelfde hoek, dus de hoek tussen cirkel en parabool is ongeveer `18^@` .

Gegeven is `c: x^2+y^2=17` en `l: y=3/5x+p/5` . Substitutie geeft:

`x^2+(3/5x+p/5)^2`	`=`	`17`
`34/25x^2+(6p)/25x+p^2/25-17`	`=`	`0`
`x`	`=`	`25/68(text(-)(6p)/25+-sqrt(2312/25-100/625p^2))`

Let nu op dat je `A` en `B` niet exact hoeft te bepalen. Je wilt de uitdrukking voor `|AB|` weten. Hiervoor heb je alleen het verschil in `x` - en `y` -richtingen nodig ( `Delta x` en `Delta y` ).

Je weet:

`Delta x=50/68sqrt(2312/25-100/625p^2)`

`Delta y=3/5 Delta x=30/68sqrt(2312/25-100/625p^2)`

Hieruit volgt `|AB|=sqrt(Delta x^2+Delta y^2)=sqrt(3400)/68*sqrt(2312/25-100/625p^2)`

Vervolgens krijg je met het gegeven `|AB|=sqrt(34)` :

`sqrt(2312/25-100/625p^2)`	`=`	`68/10`
`100/625p^2`	`=`	`2312/25-4624/100`
`p`	`=`	`+-17`

De snijpunten van `c` en `l` zijn `A(text(-)1, 4)` en `B(4, 1)` . Het midden van `AB` is dus `C(1,5; 2,5)` .

De lijn `OC` heeft derhalve de helling `text(-)5/3` . Aangezien `l` een helling `3/5` heeft, staat `l` loodrecht op `OC` .

Noem het middelpunt van de cirkel `M` . Dan geldt `|AM|=|BM|=r` . De driehoek `ABM` is dus gelijkbenig met basis `AB` . De middelloodlijn van `AB` gaat dus door de top van `ABM` , dat is punt `M` .

Schrijf de vergelijking als `y^2 = (16x^2)/((x-2)^2) - x^2` .
Je ziet dan dat `x != 2` en verder dat `(16x^2)/((x-2)^2) - x^2 ge 0` . Dit is alleen het geval als `text(-)2 le x le 6 ^^ x != 2` . De `y` -waarden kunnen alle reële waarden aannemen. Zie de figuur hiernaast.

Op de `x` -as is `y = 0` en dit geeft de punten `(text(-)2, 0)` , `(0, 0)` en `(6, 0)` .
Op de `y` -as is `x = 0` en dit geeft het punt `(0, 0)` .

Neem `y=b` , dan is `(x^2 + b^2)(x-2)^2 = 16x^2` ofwel `b^2 = (16x^2)/((x-2)^2) - x^2` .

Bepaal de maximale waarde van `f(x) = (16x^2)/((x-2)^2) - x^2` voor `text(-)2 le x le 0` (differentiëren of je GR).

Je vind een maximum van `~~0,81` en daarbij hoort `b^2~~0,81` en `b~~0,90` .

Dus de raaklijnen zijn `y~~+-0,90x` .

De raaklijnen `y=+-0,90x` snijden met de conchoïde geeft `x~~text(-)0,97` .

De raakpunten zijn `(text(-)0,97; +-0,90)` .

Neem `y=ax` , dan is `(x^2 + a^2x^2)(x-2)^2 = 16x^2` ofwel `(1+a^2)x^2 = (16x^2)/((x-2)^2)` .

Dit geeft `x=0 vv a^2 = 16/((x-2)^2) - 1` .

Het gaat om de waarde van `a` in `(0, 0)` , dus neem `x=0` .
Dit geeft `a^2=3` en dus `a=+- sqrt(3)` .

De gevraagde hoek is `180^@ - 2*arctan(sqrt(3)) = 60^@` .

Snijpunten `x` -as: `y = 0` geeft `x^2 = 8x` , dus `(0, 0)` en `(8, 0)` .
Snijpunten `y` -as: `x = 0` geeft `y = 0` , dus `(0, 0)` .

Eerst de kromme schrijven als `y = text(-)x +- sqrt(8x)` .
Je krijgt als afgeleiden `y' = text(-)1 +- 4/(sqrt(8x))` .
Raaklijn evenwijdig `x` -as: `y' = 0` geeft `x = 2` en na invullen het punt `(2, 2)` .
Raaklijn evenwijdig `y` -as: `y'` wordt oneindig groot/klein als `x rarr 0` en na invullen het punt `(0, 0)` .

`y = x - p` invullen en `D = 0` geeft `p = text(-)1` .

`x + y = q` geeft `x = 1/8 q^2` en `y = q - 1/8 q^2` . Dit geeft snijpunt `(1/8 q^2, q - 1/8 q^2)` .
De raaklijn daar heeft r.c. `4/q - 1` en dat is voor elke waarde van `q` ongelijk aan `-1` , de r.c. van de lijn `x + y = q` .Deze lijn kan dus de kromme nooit raken.