Krommen in 2D > Hoeken
123456Hoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Ongeveer `72` °.

b

Eigen antwoord, zie de uitleg.

Opgave 1
a

ongeveer `8,1` °

b

`45` °

c

Ja, onder de voorwaarde dat je bij een negatieve richtingscoëfficiënt ook een negatieve hellingshoek gebruikt.

Opgave 2
a

`A(2, text(-)2)` en `B(5, 1)`

b

`y=text(-)1/2x-1`

c

ongeveer `72` °

d

Dit volgt uit de draaisymmetrie van de cirkel.

Opgave 3
a

De hoek tussen de raaklijnen aan deze cirkels in één van hun snijpunten.

b

Twee ellipsen kunnen maximaal vier snijpunten met elkaar hebben. Bij elk van die snijpunten kan een andere hoek tussen de twee raaklijnen horen.

c

maximaal `2`

Opgave 4

`/_A~~49,40` °, `/_B~~60,26` ° en `/_C~~70,35` °

Opgave 5

De hellingshoek van lijn `AC` met de `x` -as is `arctan(4)~~76,0°` en van lijn `BC` is die `arctan(text(-)2/3)~~text(-)33,7°` . De hoek tussen deze twee lijnen is `180°-(arctan(4)-arctan(text(-)2/3))~~70,3°` . Dit is ook de grootte van `angle C` .

Opgave 6

`angle A~~36,87°, angle B~~102,53°` en `angle C~~40,60°`

Opgave 7

Het is geen slecht idee om de hoekpunten op rasterpunten te houden. De werkmethode is verder als in het voorbeeld.

Opgave 8
a

Voor de ellips geldt `x^2/m^2+y^2/n^2=1` . Voor het bepalen van `m^2` en `n^2` kun je twee bekende punten invullen, bijvoorbeeld `C` en `D` . Hieruit volgt `e:(3x^2)/(16)+(y^2)/4=1` .

Lijn `l` gaat door de punten `A(0,text(-)2)` en `C(2,1)` . Hieruit volgt `l:y=1,5x-2` .

b

De vergelijking van de raaklijn is `y=text(-)1,5x+4` en de hoek is ongeveer `67,38` °.

c

De vergelijking van de raaklijn is `y=1,5x-4` en de hoek is ongeveer `30` °

Opgave 9
a

Voor de ellips geldt `x^2/m^2+y^2/n^2=1` . Voor het bepalen van `m^2` en `n^2` kun je twee bekende punten invullen, bijvoorbeeld `C` en `D` . Hieruit volgt dat `(3x^2)/(16)+(y^2)/4=1` de vergelijking van de ellips is.

Lijn `l` gaat door de punten `A(0,text(-)2)` en `C(2,1)` . Hieruit volgt `l:y=1,5x-2` .

b

De vergelijking van de raaklijn is `y=text(-)1,5x+4` en de hoek is ongeveer `67,38` °.

c

De vergelijking van de raaklijn is `y=1,5x-4` en de hoek is ongeveer `30` °.

Opgave 10
a

`A(4, 1)`

b

`0,25`

c

De vergelijking van de raaklijn is `y = -4x + 17`
De hoek is `49` °

d

De raaklijn staat meestal niet loodrecht op een straal vanuit het symmetriecentrum van de ellips naar het raakpunt.

Opgave 11
a

`45` °

b

ongeveer `8` °

c

`90` °

Opgave 12
a

`l:y=text(-)1,6 x+223`

b

ja

Opgave 13

`y=sqrt( 3 )x -3 sqrt( 3 )` en `y=text(-)sqrt( 3 )x +3 sqrt( 3 )`

Opgave 14
a

`∠A~~35` °, `∠B~~40` ° en `∠C~~105` °

b

`p:y=text(-)2,5 x+10`

c

`D(80/29, 90/29 )`

d

De oppervlakte is `5,5` .

e

Met behulp van inlijsten. Je vindt dan dat de oppervlakte gelijk is aan `15 -5-3 -1,5=5,5` .

Opgave 15
a

De snijpunten van `l` en `p` zijn `A(text(-)2, 0)` en `B(2, 4)` . De gevraagde hoeken in die punten zijn respectievelijk `45` ° en ongeveer `18` °.

b

ongeveer `18` °

Opgave 16
a

`p=+-17`

b

De snijpunten van `c` en `l` zijn `A(text(-)1,4)` en `B(4,1)` . Het midden van `AB` is dus `C(1,5; 2,5)` .

De lijn `OC` heeft derhalve de helling `text(-)5/3` . Gezien `l` een helling `3/5` heeft, staat `l` loodrecht op `OC` .

c

Noem het middelpunt van de cirkel `M` . Dan geldt `|AM|=|BM|=r` . De driehoek `ABM` is dus gelijkbenig met basis `AB` . De middelloodlijn van `AB` gaat dus door de top van `ABM` , dat is punt `M` .

Opgave 17

Ja, het product van de r.c.'s is `text(-)1` .

Opgave 18

ongeveer `78` °

Opgave
a

Snijpunten `x` -as: `y = 0` geeft `x^2 = 8x` , dus `(0, 0)` en `(8, 0)` .
Snijpunten `y` -as: `x = 0` geeft `y = 0` , dus `(0, 0)` .

b

Eerst de kromme schrijven als `y = text(-)x +- sqrt(8x)` .
Je krijgt als afgeleiden `y' = text(-)1 +- 4/(sqrt(8x))` .
Raaklijn evenwijdig `x` -as: `y' = 0` geeft `x = 2` en na invullen het punt `(2, 2)` .
Raaklijn evenwijdig `y` -as: `y'` wordt oneindig groot/klein als `x rarr 0` en na invullen het punt `(0, 0)` .

c

`y = x - p` invullen en `D = 0` geeft `p = text(-)1` .

d

`x + y = q` geeft `x = 1/8 q^2` en `y = q - 1/8 q^2` . Dit geeft snijpunt `(1/8 q^2, q - 1/8 q^2)` .
De raaklijn daar heeft r.c. `4/q - 1` en dat is voor elke waarde van `q` ongelijk aan `-1` , de r.c. van de lijn `x + y = q` . Deze lijn kan dus de kromme nooit raken.

verder | terug