Krommen in 2D > HoekenVoorbeeld 2
Op de ellips liggen zes roosterpunten, namelijk de punten
`A`
,
`B`
,
`C`
,
`D`
,
`E`
en
`F`
. De lijn
`l`
die door de punten
`A`
en
`C`
gaat, maakt twee verschillende hoeken met deze kromme.
Bereken die hoeken.
Ga na dat de ellips de vergelijking
`3x^2 + 4y^2 = 16`
heeft (gebruik de roosterpunten waar de ellips door gaat).
De lijn
`l`
heeft als vergelijking
`y = 1,5x - 2`
en gaat door
`A(0, text(-)2)`
en
`C(2, 1)`
.
De hoek in
`A(0, text(-)2)`
is de hoek tussen
`l`
en de raaklijn in dit punt aan de ellips. Deze raaklijn heeft de vergelijking
`y = text(-)2`
en een richtingscoëfficiënt van
`0`
.
Bij
`l`
geldt voor richtingshoek
`alpha_(l)`
dat
`tan(alpha_(l)) = 1,5`
en dus
`alpha_(l) ~~ 56^@`
.
Bij de raaklijn hoort een richtingshoek
`alpha_(r) = 0^@`
.
De hoek tussen de ellips en lijn
`l`
is in
`A`
dus ongeveer
`56^@`
.
De hoek in
`C(2, 1)`
is de hoek tussen
`l`
en de raaklijn in dit punt aan de ellips. Deze raaklijn heeft de vergelijking
`y - 1 = a(x - 2)`
en met de discriminantmethode vind je
`a = text(-)1,5`
.
Bij
`l`
hoort een richtingshoek van
`alpha_(l) ~~ 56,3^@`
.
Bij de raaklijn hoort een richtingshoek
`alpha_(r) ~~ text(-)56,3^@`
.
`56,3^@ - text(-)56,3^@ = 112,6^@`
, dus de hoek tussen de ellips en lijn
`l`
is in
`C`
ongeveer
`180^@ - 112^@ = 67^@`
.
Je kunt andere lijnen `l` maken door `a` en `b` aan te passen.
Bekijk
Lijn `l` gaat door `A` en `C` . Stel de vergelijkingen van ellips `e` en lijn `l` op.
Stel de vergelijking van de raaklijn aan `e` in punt `C` op en bereken de hoek in twee decimalen nauwkeurig tussen `l` en `e` in dit punt.
Lijn `k` gaat door `A` en `B` . Stel de vergelijking van de raaklijn aan `e` in `B` op en bereken de hoek in graden nauwkeurig tussen `k` en `e` in dit punt.
Bij het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een cirkel kun je gebruikmaken van het feit dat zo'n lijn loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Neem bijvoorbeeld de cirkel `c` : `x^2 + y^2 = 17` en de lijn `l` : `x + 2y = 6` .
Het punt `A` is het roosterpunt dat zowel op `l` als op `c` ligt. Bereken de coördinaten van `A` .
Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn waarop de straal naar `A` ligt.
Stel de vergelijking van de raaklijn aan `c` in `A` op en bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen `l` en `c` in dit punt.
Waarom kun je bij een ellips geen gebruikmaken van de loodrechte stand op een straal vanuit het symmetriecentrum van de ellips naar het raakpunt bij het opstellen van de vergelijking van een raaklijn?