`(1, a_1)` en `(1, a_2)`

`|OA|^2+|OB|^2=|AB|^2` (stelling van Pythagoras)

`|OA|^2=1+a_1^2`

`|OB|^2=1+a_2^2`

`|AB|^2=(a_1-a_2)^2`

Hieruit volgt dat `2+a_1^2+a_2^2=(a_1-a_2)^2` .

En dus `text(-)a_1*a_2=1` .

`|OA|^2+|OB|^2=2+a_1^2+a_2^2`

`|AB|^2=(a_1-a_2)^2=a_1^2-2a_1*a_2+a_2^2=a_1^2+a_2^2+2` (omdat `a_1*a_2=text(-)1` )

Dus `|OA|^2+|OB|^2=|AB|^2` en hieruit volgt dat `angle AOB=90^@` (omgekeerde stelling van Pythagoras). De lijnen `l` en `m` staan daarom loodrecht op elkaar.

Neem `A(text(-)a, 0)` , `B(a, 0)` en `C(0, a sqrt(3))` . Snijd de middelloodlijn van `BC` met de `y` -as en je vindt punt `M` . De gevraagde lengte is `|AM| = 2/3 a sqrt(3)` .

De zwaartelijnen in een driehoek verdelen elkaar in een verhouding van `1 : 2` . Daarbij komt dat in een gelijkzijdige driehoek zwaartelijnen ook hoogtelijnen zijn.

De lengte van een hoogtelijn is `asqrt(3)` , dus de straal van de omgeschreven cirkel is `2/3 a sqrt(3)` .

De vergelijking van een parabool met een horizontale as en top `T(6, 0)` is `y^2 = 2p(x - 6)` , waarin `p` de afstand van de `T` tot de richtlijn is. Hier is `p = 2` .

De twee raakpunten zijn `(14, +-8)` . De raaklijnen hebben de vorm `y=a(x-14)+-8` . Met de discriminantmethode vind je `y = 0,5x + 1` en `y = text(-)0,5x - 1` .

Noem het bovenste snijpunt `S(14,8)` . De vergelijking van `TS` is `y=x-6` .

Dit is de straal van `c` , die loodrecht staat op de raaklijn aan de cirkel in `S` . De raaklijn heeft dus helling `text(-)1` , ofwel hoek `text(-)45^@` .

De raaklijn aan de parabool in `S` heeft helling `0,5` (zie b); en een hoek van afgerond `27^@` .

De hoek tussen beide is dus `45+27=72^@` .

Schrijf de vergelijking van `e` als `(x^2)/25 + (y^2)/9 = 1` .
Het symmetriecentrum van `e` is `O(0, 0)` .
`m^2 = (0,5r)^2 = 25` geeft voor de straal van de richtcirkel `r = 10` .
`n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 9` geeft `p = +-4` . De brandpunten zijn daarom `F_1 (text(-)4, 0)` en `F_2 (4, 0)` .

De twee raakpunten zijn `(3; +- 2,4)` . De raaklijnen hebben de vorm `y=a(x-3)+-2,4` .

De helling in die punten bepaal je ofwel met de discriminantmethoden.

Je vindt `a=+-0,45` .

Zo krijg je de raaklijnen `y = text(-) 0,45x + 3,75` en `y=0,45x-3,75` .

Parabool met top (vanwege de symmetrie) `T` is `x^2 = 2q(y - 3)` . Deze parabool `p` moet door `(+- 5, 0)` , en dus moet `q = text(-) 25/6` . De vergelijking van `p` wordt `x^2 = text(-) 25/3 (y - 3)` .

Dat `p` en `e` elkaar raken kun je aantonen met de discriminantmethode, maar niet door direct de vergelijking van `p` te substitueren in die van `e` (de parabool en ellips hebben namelijk drie snijpunten, één daarvan is een raakpunt). Het moet indirect, door te onderzoeken of `p` en `e` allebei de lijn `y=3` raken in hetzelfde punt, want dan raken ze ook elkaar.

Voor zowel `p` als `e` geldt dat `y=3` geeft `x^2=0` . De discriminant daarvan is `0` .

`h` : `(x - 2)^2 + (y^2)/3 = 1` .

Bereken eerst beide snijpunten. Gebruik de discriminantmethode om de noodzakelijke raaklijnen op te stellen.
De bedoelde hoek is ongeveer `52^@` .

Laat zien dat als `P(x, y)` op de hyperbool ligt, dit ook voor `P(4 - x, text(-)y)` geldt.

Als `(x, y)` op de lemniscaat, dan ook `(x, text(-)y)` op de lemniscaat.

Raaklijn evenwijdig aan de `x` -as: `y = b` geeft `b^2 = 16x^2 - 4x^4` .
Dit betekent: `4(x^2)^2 - 16x^2 + b^2 = 0` .
`D=256 - 16b^2 = 0` geeft `b=+-4` en de raaklijnen `y = +-4` .
Dit geeft vier punten, namelijk `(+-sqrt(2), +-4)` .

`y = ax` invullen geeft `a^2x^2 = 4x^2(4 - x^2)` .
Deze vergelijking heeft als oplossing `x = 0 vv x = +-(sqrt(16 - a^2))/2` . Er is sprake van een raaklijn als er maar één oplossing is. Dit is het geval als `16 - a^2 = 0` en dus als `a = +-4` .
De raaklijnen zijn `y = +-4x` .

`y = px` geeft (zie vorige) `x = 0 vv x = +-(sqrt(16 - p^2))/2 = +-sqrt(4 - 0,25p^2)` .
De bijbehorende `y` -waarden zijn `y = +-p sqrt(4 - 0,25p^2)` en `0` .
De afstand van `O` tot het punt `(sqrt(4 - 0,25p^2), p sqrt(4 - 0,25p^2))` is `a(p) = sqrt(4 - 0,25p^2 - p^2(4 - 0,25p^2)) = sqrt(15)` . Dit geeft `p = +-2 vv p = +-sqrt(11)` .