Vectoren in 3D > Vectoren in 3D
1234567Vectoren in 3D

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

, , , , , , .

b

, en

c

Met de stelling van Pythagoras (twee keer toepassen).

d

Met de stelling van Pythagoras (twee keer toepassen).

Opgave 1
a

, , en .

b

en geeft .
en geeft .

c

d

en

Opgave 2
a

en geeft , dus .

b

(zie uitleg) en .
, dus .

Opgave 3
a

Een verticaal vlak evenwijdig aan de -as en aan de -as door het punt
. Het vlak is oneindig groot.

b

Dat is een horizontaal vlak door de oorsprong . Het vlak is oneindig groot.

c

Een plat vlak dat een hoek van met het grondvlak (-vlak) maakt en evenwijdig is aan de -as. Het vlak is oneindig groot.

Opgave 4
a

Je kunt dan werken met coördinaten en vectoren.

b

c

Doen.

d

, , , en

e

Opgave 5
a

, , en .

b

.

Opgave 6
a

is het midden van , dus .
en dus is .

b

en .
Dus .
De lengte van is .

c

en .
Dus .
.

d

betekent dat de lengte van lijnstuk keer zo lang is als de lengte van lijnstuk .

en , dus .
.

Opgave 7

betekent dat de lengte van lijnstuk 3 keer zo lang is als de lengte van lijnstuk . Dus .

Dit geeft .

Opgave 8
a

en , dus .

b

Maak een rechthoekige driehoek door vanuit een lijn te trekken naar het midden van .
.
Er geldt: .
Dus .

Opgave 9
a

Begin met een bovenaanzicht van de piramide in het -assenstelsel.

, en .

b

Teken eerst grondvlak in een 3D-assenstelsel.
Teken daarin de diagonalen en noem hun snijpunt .
Teken punt precies roostereenheden boven en maak de piramide af.

Opgave 10
a

b

c

De coördinaten van zijn
Dus .

Opgave 11
a

en .

b

Merk op dat al deze ribben even lang zijn.
Bijvoorbeeld:

c

betekent dat keer zo lang is als , dus ligt op driekwart van de ribbe . Om de coördinaten van te vinden begin je bij punt en loop je driekwart in de richting van .
Dus de coördinaten van zijn dan te berekenen door: .

betekent dat keer zo lang is als , dus ligt op driekwart van de ribbe . Om de coördinaten van te vinden begin je bij punt en loop je driekwart in de richting van .
Dus de coördinaten van zijn dan te berekenen door: .

Je kunt de coördinaten van ook zo berekenen: .

Dan:

Opgave 12
a

, , , en .

b

en geeft en .

c

en .

.

Opgave 13
a

Doen, dit gaat op dezelfde manier als in het Voorbeeld 2.

b

betekent dat keer zo lang is als , dus ligt op driekwart van de ribbe . Om de coördinaten van te vinden begin je bij punt en loop je driekwart in de richting van .
Dus de coördinaten van zijn dan te berekenen door: .

Je kunt de coördinaten van ook berekenen door: .

Dan

c

, en .

(cosinusregel).

geeft .

Opgave 14
a

, , , , , , en

b

Deze lengtes zijn allemaal gelijk.
Bijvoorbeeld: .

c

Onderkant:
Bovenkant:
Zijvlak:

Dus de totale buitenoppervlakte is:

d

Gebruik de cosinusregel in .

geeft .

Opgave 15
a

Omdat zijn de ribben van deze kubus allemaal . Maak eerst een bovenaanzicht.
Bedenk de coördinaten van alle hoekpunten: , in het grondvlak.
, , en in het bovenvlak.

b

en

(Je kunt ook gebruik maken van het feit dat een lichaamsdiagonaal van de kubus is.)

c

Dat is het midden van de kubus ofwel het midden van één van de lichaamsdiagonalen, bijvoorbeeld . heeft coördinaten .

Dus midden van is .

Opgave 16
a

en zijn de overige hoekpunten.

b

en .
Dus .

c

Als basis neem je de zijde en als hoogte (denk eraan dat de hoogte loodrecht staat op de basis).
en .
Dus oppervlakte van driehoek is .

Opgave 17

.
Stel dan is .
Dus is , want de driehoek is gelijkzijdig (dus ).

geeft .
Dus en .

Opgave 18Tetraëder
Tetraëder

Met behulp van een bovenaanzicht kun je de coördinaten van hoekpunt berekenen.

Met Pythagoras vind je .
Dus de coördinaten van zijn .

De top ligt precies boven (maak gebruik van de stelling dat in een driehoek de zwaartelijnen elkaar verdelen in de verhouding ).
, hieruit volgt dat is.

Dus .

Opgave 19
a

, , , , ,

b

.

c

.

Opgave 20

, en .

verder | terug