`vec(CE)=((4),(text(-)2),(3))` , `vec(EC)=((text(-)4),(2),(text(-)3))` , `vec(DF)=((4),(2),(0))` en `vec(DB)=((4),(2),(text(-)3))` .

`E(4, 0, 3)` en `G(0, 2, 3)` geeft `N((4+0)/2, (0+2)/2, (3+3)/2) = N(2, 1, 3)` .
`D(0, 0, 3)` en `F(4, 2, 3)` geeft `N((0+4)/2, (0+2)/2, (3+3)/2) = N(2, 1, 3)` .

`OB^2=OA^2+AB^2=4^2+2^2`

`OF^2=OB^2+BF^2=4^2+2^2+3^2`

`|vec(CE)|=|vec(EC)|=sqrt((text(-)4)^2+2^2+(text(-)3)^2)=sqrt(29)` en `|vec(DF)|=sqrt(4^2+2^2+0^2)=sqrt(20)`

`B(4, 2, 0)` en `D(0, 0, 3)` geeft `vec(BD) = ((0-4),(0-2),(3-0)) = ((text(-)4),(text(-)2),(3))` , dus `|vec(BD)| = sqrt((text(-)4)^2 + (text(-)2)^2 + 3^2) = sqrt(29)` .

`M(4, 2, 3/2)` (zie uitleg) en `N((4+0)/2, (0+2)/2, (3+3)/2)=N(2, 1, 3)` .
`vec(MN) = ((2-4),(1-2),(3-{:1,5:})) = ((text(-)2),(text(-)1),({:1,5:}))` , dus `|vec(MN)| = sqrt((text(-)2)^2 + (text(-)1)^2 + 1,5^2) = sqrt(7,25)` .

Een verticaal vlak evenwijdig aan de `y` -as en aan de `z` -as door het punt
`(4, 0, 0)` . Het vlak is oneindig groot.

Dat is een horizontaal vlak door de oorsprong `O(0, 0, 0)` . Het vlak is oneindig groot.

Een plat vlak dat een hoek van `45^@` met het grondvlak ( `Oxy` -vlak) maakt en evenwijdig is aan de `x` -as. Het vlak is oneindig groot.

Je kunt dan werken met coördinaten en vectoren.

`sqrt(6^2+5^2+3^2)=sqrt(70)`

Doen.

`B(4, 8, 0)` , `D(0, 0, 6)` , `E(4, 0, 6)` , `F(4, 8, 6)` en `G(0, 8, 6)`

`|vec(AG)| = sqrt(4^2+6^2)=sqrt(52)`

`B(5, 6, 0)` , `E(5, 0, 4)` , `F(5, 6, 4)` en `H(0, 2, 4)` .

`|vec(BH)|=sqrt(5^2+4^2+4^2)=sqrt(57)` .

`S` is het midden van `AG` , dus `S((5+0)/2, (0+3)/2, (0+4)/2)=S(2,5; 1,5; 2)` .
`vec(AS) = (({:text(-)2,5:}),({:1,5:}),(2))` en dus is `|vec(AS)| = sqrt((text(-)2,5)^2 + (1,5)^2 + (2)^2)= sqrt(12,5)` .

`S(2,5;1,5;2)` en `M(5,3,2)` .
Dus `vec(SM)=((5-{:2,5:}), (3-{:1,5:}), (2-2)) = (({:2,5:}), ({:1,5:}), (0))` .
De lengte van `vec(SM)` is `|vec(SM)|=sqrt((2,5)^2+(1,5)^2+0^2) = sqrt(8,5)` .

`E(5,0,4)` en `N(2,5; 1,5; 1)` .
Dus `vec(NE)=((5-{:2,5:}), (0-{:1,5:}), (4-1)) = (({:2,5:}), ({:text(-)1,5:}), (3))` .
`|vec(NE)| = sqrt((2,5)^2+(text(-)1,5)^2+3^2) = sqrt(17,5)` .

`PG : PC = 1 : 3` betekent dat de lengte van lijnstuk `PC` `3` keer zo lang is als de lengte van lijnstuk `PG` .

`P(0, 3, 3)` en `S(2,5;1,5;2)` , dus `vec(PS)=(({:2,5:}-0), ({:1,5:}-3), (2-3)) = (({:2,5:}), ({:text(-)1,5:}), (text(-)1))` .
`|vec(PS)| = sqrt((2,5)^2+(text(-)1,5)^2+(text(-)1)^2) = sqrt(9,5)` .

`M(4,5; 1,5; 4)` en `N(3, 5, 0)` , dus `|vec(MN)| = sqrt((3-4,5)^2+(5-1,5)^2+(0-4)^2) = sqrt(30,5)` .

Maak een rechthoekige driehoek door vanuit `T` een lijn te trekken naar het midden `P` van `AB` .
`|AT|=sqrt((3-6)^2+(3-0)^2+(8-0)^2)=sqrt(82)` .
Er geldt: `cos(/_TAB)=(|AP|)/(|AT|)=3/sqrt(82)` .
Dus `/_TAB~~71^@` .

Begin met een bovenaanzicht van de piramide in het `Oxy` -assenstelsel.

`B(3, 1, 0)` , `D(text(-)1, 3, 0)` en `T(1, 2, 4)` .

Teken eerst grondvlak `ABCD` in een 3D-assenstelsel.
Teken daarin de diagonalen en noem hun snijpunt `S` .
Teken punt `T` precies `4` roostereenheden boven `S` en maak de piramide af.

`|vec(BM)| = sqrt((0-0)^2+(text(-)1,5-3)^2+ (1,5-0)^2) = sqrt(22,5)`

`|vec(CM)| = sqrt((0-text(-)3)^2+(text(-)1,5-0)^2+ (1,5-0)^2) = sqrt(13,5)`

De coördinaten van `N` zijn `((0+0)/2, (3+0)/2, (0+text(-)3)/2) = (0; 1,5; text(-)1,5)`
Dus `|vec(MN)| = sqrt((0-0)^2+(1,5-text(-)1,5)^2+ (text(-)1,5-1,5)^2) = sqrt(18)=3sqrt(2)` .

`C(text(-)2, 2, 0)` en `D(text(-)2, text(-)2, 0)` .

Merk op dat al deze ribben even lang zijn.
Bijvoorbeeld: `|vec(AT)| = sqrt(2^2 + 2^2 + 4^2) = sqrt(24)=2sqrt(6)`

`|BP| : |PT| = 3 : 1` betekent dat `BP` `3` keer zo lang is als `PT` , dus `P` ligt op driekwart van de ribbe `BT` . Om de coördinaten van `P` te vinden begin je bij punt `B` en loop je driekwart in de richting van `vec(BT) = ((0-2), (0-2), (4-0)) = ((text(-)2), (text(-)2), (4))` .
Dus de coördinaten van `P` zijn dan te berekenen door: `(2, 2, 0) + 3/4*(text(-)2, text(-)2, 4) = (0,5; 0,5; 3)` .

`|BP| : |PT| = 3 : 1` betekent dat `BP` `3` keer zo lang is als `PT` , dus `P` ligt op driekwart van de ribbe `BT` . Om de coördinaten van `P` te vinden begin je bij punt `B` en loop je driekwart in de richting van `vec(BT) = ((0-2), (0-2), (4-0)) = ((text(-)2), (text(-)2), (4))` .
Dus de coördinaten van `P` zijn dan te berekenen door: `(2, 2, 0) + 3/4*(text(-)2, text(-)2, 4) = (0,5; 0,5; 3)` .

Je kunt de coördinaten van `P` ook zo berekenen: `((1*2+3*0)/4, (1*2+3*0)/4, (1*0+3*4)/4) = (0,5; 0,5; 3)` .

Dan: `|vec(DP)| = sqrt((0,5-text(-)2)^2 + (0,5-text(-)2)^2 + (3-0)^2) = sqrt(21,5)`

`O(0, 0, 0)` , `B(6, 4, 0)` , `E(6, 0, 6)` , `F(6, 4, 6)` en `G(0, 4, 6)` .

`M(6, 2, 0)` en `N(0, 4, 3)` geeft `vec(MN) = ((text(-)6),(2),(3))` en `|MN| = |vec(MN)| = sqrt((text(-)6)^2+2^2+3^2) = sqrt(49) = 7` .

`P(3; 3; 1,5)` en `F(6, 4, 6)` .

`|PF| = |vec(FP)| = sqrt((6-3)^2 + (4-3)^2 + (6-1,5)^2) = sqrt(30,25)` .

Doen, dit gaat op dezelfde manier als in het Voorbeeld 2.

`CP : PT = 3 : 1` betekent dat `CP` `3` keer zo lang is als `PT` , dus `P` ligt op driekwart van de ribbe `CT` . Om de coördinaten van `P` te vinden begin je bij punt `C` en loop je driekwart in de richting van `vec(CT) = ((4), (text(-)4), (8))` .
Dus de coördinaten van `P` zijn dan te berekenen door: `(text(-)4, 4, 0) + 3/4*(4, text(-)4, 8) = (text(-)1, 1, 6)` .

Je kunt de coördinaten van `P` ook berekenen door: `(1*C+3*T)/4 = ((1*text(-)4+3*0)/4, (1*4+3*0)/4, (1*0+3*8)/4) = (text(-)1, 1, 6)` .

Dan `|AP| = sqrt((text(-)1-4)^2 + (1-(text(-)4))^2 + (6-0)^2) = sqrt(86)`

`|AP| = sqrt(86)` , `|AB| = 8` en `|BP| = sqrt(5^2 + 3^2 + 6^2) = sqrt(70)` .

`8^2 = (sqrt(86))^2 + (sqrt(70))^2 - 2 * sqrt(86) * sqrt(70) * cos(/_APB)` (cosinusregel).

`cos(/_APB) = 46/(sqrt(6020)) = 0,5928......` geeft `/_APB ~~ 54^@` .

`A(4, text(-)4, 0)` , `B(4, 4, 0)` , `C(text(-)4, 4, 0)` , `D(text(-)4, text(-)4, 0)` , `E(2, text(-)2, 4)` , `F(2, 2, 4)` , `G(text(-)2, 2, 4)` en `H(text(-)2, text(-)2, 4)`

Deze lengtes zijn allemaal gelijk.
Bijvoorbeeld: `|AE| = sqrt((2-4)^2+(text(-)2-(text(-)4))^2+(4-0)^2) = sqrt(24)=2sqrt(6)` .

Onderkant: `8*8=64`
Bovenkant: `4*4=16` .
Zijvlak: `0,5*(8+4)*sqrt(20) = 6sqrt(20)` .

Dus de totale buitenoppervlakte is: `64+16+4*6sqrt(20)= 80+24sqrt(20) = 80 + 48sqrt(5)`

Gebruik de cosinusregel in `Delta EGC` .

`|EG|=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)`

`|CG|=sqrt(24)`

`|CE|=sqrt(6^2+6^2+4^2)=sqrt(88)`

`88=32+24-2sqrt(32)*sqrt(24)*cos(angle EGC)` geeft `angle EGC~~125^@` .

Omdat `|AD| = 5` zijn de ribben van deze kubus allemaal `5` . Maak eerst een bovenaanzicht.
Bedenk de coördinaten van alle hoekpunten: `B(7, 4, 0)` , `C(3, 7, 0)` in het grondvlak.
`E(4, 0, 5)` , `F(7, 4, 5)` , `G(3, 7, 5)` en `H(0, 3, 5)` in het bovenvlak.

`A(4,0,0)` en `G(3, 7, 5)`

`|AG| = sqrt(1^2 + 7^2 + 5^2) = sqrt(75) = 5sqrt(3)`

(Je kunt ook gebruik maken van het feit dat `AG` een lichaamsdiagonaal van de kubus is.)

Dat is het midden van de kubus ofwel het midden van één van de lichaamsdiagonalen, bijvoorbeeld `AG` . `G` heeft coördinaten `(3, 7, 5)` .

Dus midden van `AG` is `M((3+4)/2, (0+7)/2, (0+5)/2) = M(3,5; 3,5; 2,5)` .

`B(0, 3, 0)` en `C(text(-)3, 0, 0)` zijn de overige hoekpunten.

`P(1,5; 1,5; 0)` en `Q(text(-)1,5; 0; 2,5)` .
Dus `vec(PQ)=((text(-)3), ({:text(-)1,5:}), ({:2,5:}))` .
`|vec(PQ)|=sqrt((text(-)3)^2+(text(-)1,5)^2+(2,5)^2)=sqrt(17,5)~~4,18`

Als basis neem je de zijde `AB` en als hoogte `TP` (denk eraan dat de hoogte loodrecht staat op de basis).
`|AB|=sqrt(3^2+3^2)=sqrt(18)=3sqrt(2)` en `|TP|=sqrt((1,5-0)^2+(1,5-0)^2+(0-5)^2)=sqrt(29,5)` .
Dus de oppervlakte van driehoek `ABT` is `1/2*3sqrt(2)*sqrt(29,5)=1,5sqrt(59)~~11,52` .

`A(0, text(-)3, 0)` , `B(4, 0, 0)` , `C(0, 3, 0)` , `D(0, text(-)3, 5)` , `E(4, 0, 5)` , `F(0, 3, 5)`

`|GH| = sqrt(30,5)` .

`/_GHB ~~ 60^@` .