Vectoren in 3D > Vectoren in 3D
1234567Vectoren in 3D

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

In de ruimte kun je elk punt van coördinaten voorzien door een -as, een -as en een -as loodrecht op elkaar te zetten en van dezelfde schaalverdeling te voorzien. Het snijpunt van de drie assen is . Je hebt dan een driedimensionaal cartesisch assenstelsel, ook wel aangeduid met .

Hier zie je een driedimensionaal cartesisch -assenstelsel met balk .
Punt heeft de coördinaten .
Je ziet eerst de -coördinaat, dan de -coördinaat en tenslotte de -coördinaat.
De coördinaten van enkele andere hoekpunten zijn:
, , en .

In een 3D assenstelsel kun je ook werken met vectoren, alleen in plaats van twee componenten heb je nu drie componenten. Zo geldt voor de vector die van naar gaat:

Verder heb je bijvoorbeeld de vectoren:
, en

Ook het midden van een lijnstuk kun je op dezelfde manier berekenen als in een gewoon tweedimensionaal assenstelsel. Ga na dat voor het midden van lijnstuk geldt:

De lengte van kan worden berekend door de stelling van Pythagoras uit te breiden naar drie dimensies: .

Opgave 1

Bekijk de Uitleg 1. Werken met coördinaten en vectoren in drie dimensies is in veel gevallen een eenvoudige uitbreiding van het werken in twee dimensies.

a

Beschrijf de vectoren , , en met kentallen.

b

Bereken het midden van lijnstuk . Laat zien dat ook het midden van lijnstuk is.

c

Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek toe te passen hoe de lengte van wordt berekend.

d

Bereken de lengtes van de vectoren en .

Opgave 2

Bekijk in de Uitleg 1 hoe je afstanden tussen twee punten kunt berekenen in 3D.

a

Bereken de afstand tussen de punten en .

is het midden van en is het midden van .

b

Bereken .

Opgave 3

Waar liggen in een 3D cartesisch assenstelsel alle punten waarvoor geldt:

a

De -coördinaat is (dus ).

b

De -coördinaat is (dus ).

c

De -coördinaat is hetzelfde als de -coördinaat (dus ).

verder | terug