Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Cirkels en lijnen

1234567Cirkels en lijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Ja, ga dit na met de applet. Hoe kun je dit door berekening doen?

Opgave 2

Als de lijn snijpunten met de cirkel heeft, $d (M, l) = r$ . Als de lijn geen snijpunten met de cirkel heeft, dan is $d (M, l) > r$ .

$y = \frac{6}{13} x$ invullen in de cirkelvergelijking levert geen waarden voor $x$ op, dus geen snijpunten.

Door kwadraat afsplitsen: $x^{2} - 2 x = {(x - 1)}^{2} - 1$ en $y^{2} - 8 y = {(y - 4)}^{2} - 16$ .
De cirkelvergelijking wordt hiermee ${(x - 1)}^{2} - 1 + {(y - 4)}^{2} - 16 = - 7$ en dus ${(x - 1)}^{2} {(y - 4)}^{2} = 10$ .

Dus $M (1,4)$ en $r = \sqrt{10}$

$r = \sqrt{10}$ en $d (M, p)$ bereken je door de lijn door $M (1,4)$ en loodrecht op $p$ te snijden met $p$ . Je moet dus het snijpunt $S$ van $13 x + 6 y = 37$ en $- 6 x + 13 y = 0$ berekenen en kijken of $| M S | > \sqrt{10}$ .

Ja, $d (M, p) > r$

Opgave 3

Lijn $- 6 x + 13 y = 0$ gaat door $(0,0)$ en $(13,6)$ .
Een vectorvoorstelling is $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 6 \end{matrix})$ .

$x = 13 s$ en $y = 6 s$

Dat doen ze (waarschijnlijk) niet, de figuur geeft geen absolute zekerheid.

De cirkel heeft straal 10 en middelpunt $M (1,4)$ .
$A$ is het snijpunt van de lijn door $M$ evenwijdig aan de $x$ -as en de lijn door $C$ evenwijdig aan de $y$ -as. $x_{C}$ vind je door bij $x_{M} = 1$ op te tellen $M A = M C \cdot \cos (t)$ . $y_{C}$ vind je door bij $y_{M} = 4$ op te tellen $M A = M C \cdot \sin (t)$ .
$t$ is de draaihoek van $M C$ in radialen ten opzichte van een lijn evenwijdig aan de $x$ -as en door $M$ .

Opgave 4

Punten op de lijn zijn bijvoorbeeld $(3, - 2)$ en $(1, - 5)$ .
Daarmee vind je een vectorvoorstelling van de lijn, bijvoorbeeld $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ .

Een parametervoorstelling is (zie a) $x = 1 + 2 p$ en $y = - 5 + 3 p$ . Er is eigenlijk geen verschil tussen een vectorvoorstelling en een parametervoorstelling. Dat is alleen een kwestie van notatie.

Uit $\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})$ volgt de richtingsvector $(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ van de lijn. Een punt van de lijn is $(1, - 5)$ . Je vindt zo dezelfde vectorvoorstelling als bij a.

$x = t$ geeft $3 t - 2 y = 13$ en dus $y = 1,5 t - 6,5$ .
Aan de p.v. $x = t$ en $y = 1,5 t - 6,5$ zie je wellicht niet meteen dat het om dezelfde lijn gaat. Toch kun je snel de richtingsvector $(11, 5)$ vergelijken met de eerder gevonden richtingsvector $(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ . Beide hebben dezelfde richting. Je hoeft dan nog maar één punt te controleren...

Kwadraat afsplitsen: $x^{2} - 6 x = {(x - 3)}^{2} - 9$ en $y^{2} + 4 y = {(y + 2)}^{2} - 4$ . (Bekijk voor deze techniek eventueel op de Math4allsite bij vwo, wiskunde B, het onderdeel "De abc-formule" .) De cirkelvergelijking wordt ${(x - 3)}^{2} - 9 + {(y + 4)}^{2} - 4 = 0$ en dus ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 13$ .
Hieruit kunt je het middelpunt $M (3, - 2)$ en de straal $\sqrt{13}$ van de cirkel aflezen en de p.v. opstellen.

$t$ is de draaihoek van $M P$ (met $P$ op de cirkel) in radialen ten opzichte van een lijn evenwijdig aan de $x$ -as en door $M$ .

Bij een snijpunt kan de parameter van de lijn wel een andere waarde hebben dan de parameter van de cirkel. Daarom kun je er beter maar verschillende letters voor nemen.

Opgave 5

$x^{2} + y^{2} - 12 y = 0$ geeft $x^{2} + {(y - 6)}^{2} - 36 = 0$ en dus $x^{2} + {(y - 6)}^{2} = 36$ .
Middelpunt $(0,6)$ en straal 6.

$x^{2} + 6 x + y^{2} = 16$ geeft ${(x + 3)}^{2} - 9 + y^{2} = 16$ en dus ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 25$ .
Middelpunt $(- 3,0)$ en straal 5.

$x^{2} - 3 x + y^{2} + 6 y = 12$ geeft ${(x - 1,5)}^{2} - 2,25 + {(y + 3)}^{2} - 9 = 12$ en dus ${(x - 1,5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 23,25$ >.
Middelpunt $(1,5; - 3)$ en straal $\sqrt{23,25}$ .

Opgave 6

${(x + 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 20$ geeft middelpunt $(- 4, - 2)$ en straal $\sqrt{20}$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 5$ geeft geen cirkel.

${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 20$ geeft middelpunt $(- 4,2)$ en straal $\sqrt{20}$ .

Opgave 7

$y = x - 4$ invullen in cirkelvergelijking geeft $x^{2} + {(x - 4)}^{2} - 6 x + 4 (x - 4) = 0$ en $x = 0 \lor x = 5$ . De snijpunten van lijn en cirkel zijn $A (0, - 4)$ en $B (5,1)$ .
Cirkelvergelijking omschrijven naar ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 13$ geeft middelpunt $M (3, - 2)$ .
Bereken hiermee de hoek in (bijvoorbeeld) $A (0, - 4)$ als volgt:
$\vec{M A} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ en dus is de richtingsvector van de raaklijn $(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix})$ .
De lijn heeft normaalvector $(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ en dus richtingsvector $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ .
Met het inproduct van deze twee richtingsvectoren bereken je nu de hoek $ϕ$ tussen beide: $(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = \sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos (ϕ)$ geeft $ϕ \approx 101^{\circ}$ . De hoek tussen beide lijnen is dus ongeveer $79^{\circ}$ .

Lijn door $M (3, - 2)$ en loodrecht op $l$ is $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ . Deze loodlijn snijden met $l$ geeft $p = 0,5$ en dus snijpunt $S (3,5; - 2,5)$ .
De gevraagde afstand is die tussen $M$ en $S$ en dus $\sqrt{0,5}$ .

Opgave 8

Snijpunten met de $x$ -as:
$y = 0$ geeft $x^{2} - 8 x + 7 = 0$ en $x = 7 \lor x = 1$ . Het zijn dus $(7,0)$ en $(1,0)$ . Snijpunten met de $y$ -as:
$x = 0$ geeft $y^{2} - 8 y + 7 = 0$ en $(y = 7 \lor y = 1)$ . Het zijn dus $(0,7)$ en $(0,1)$ .

Trek beide cirkelvergelijkingen van elkaar af: $- 8 x - 8 y + 8 = 0$ geeft $y = - x + 1$ .
Deze lijn (door beide snijpunten) snijden met $c_{2}$ geeft $x^{2} + {(- x + 1)}^{2} = 1$ en dus $x = 0 \lor x = 1$ .
De snijpunten zijn $(0,1)$ en $(1,0)$ .

Kwadraat afsplitsen: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ geeft $M_{1} (4,4)$ en $r_{1} = 5$

Neem bijvoorbeeld snijpunt $A (0,1)$ .
$\vec{M_{1} A} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{M_{2} A} = \vec{O A} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ .
De gevraagde hoek $ϕ$ is de hoek tussen deze twee vectoren.
$(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 5 \cdot 1 \cdot \cos (ϕ)$ geeft $ϕ \approx 53^{\circ}$ .

Opgave 9

$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ geeft $x = 3 + p$ en $y = p$

Stel vergelijkingen op van de middelloodlijnen van $A B$ en $A C$ en bereken hun snijpunt $M (2, 3)$ .
De vergelijking van de cirkel om $M$ door $A$ is ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ .

$\vec{M B} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix})$ dus de richtingsvector van de raaklijn in $B$ aan de cirkel is $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ .
De gevraagde hoek $ϕ$ vind je nu met het inproduct: $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos (ϕ)$ geeft $ϕ \approx 27^{\circ}$ .

Opgave 10

$M (3, -1)$ en $r = 4$ geeft cirkelvergelijking ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 16$ .
`A(1, text(-)1+2sqrt(3))` geeft `vec(MA) = ((text(-)2),(2sqrt(3)))` dus `((1),(text(-)sqrt(3)))` is een normaalvector van $P Q$ .
Dit geeft als vergelijking `x - sqrt(3) * y = b` en door $A$ invullen vind je $b$ .
Je vindt voor `PQ` : `x - sqrt(3) * y = text(-)5 + sqrt(3)` .
En dus is `P(text(-)5 + sqrt(3), 0)` en `Q(0, 1 + 5/3 sqrt(3))` .
Dit betekent: `|PQ| = sqrt((text(-)5 + sqrt(3))^2 + (1 + 5/3 sqrt(3))^2)` .

Opgave 11

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ dus $M (3, - 2)$ en $r = \sqrt{8}$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 37$ dus geen cirkel.

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ dus $M (- 2, - 1)$ en $r = \sqrt{8}$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ dus $M (3, - 1)$ en $r = \sqrt{10}$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ dus $M (- 2, - 1)$ en $r = \sqrt{10}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0$ dus geen cirkel.

Opgave 12

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ dus $M (1, - 2)$ en $r = \sqrt{5}$ .
De middelloodlijn van $O M$ heeft $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ en gaat door $N (0,5; - 1)$ .
De vergelijking ervan is $x - 2 y = 2,5$ .

Dit kan op twee manieren:
Snijpunten middelloodlijn en cirkel berekenen (in drie decimalen nauwkeurig) en dan $| P Q |$ uitrekenen: $| P Q | \approx 3,87$ .
Of:
De stelling van Pythagoras is driehoek $M N P$ geeft
$| N P | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{1,25})}^{2}} \approx 1,936$ . De gevraagde lengte is het dubbele hiervan.

Omdat $P Q$ de middelloodlijn van $O M$ is, is $| M P | = | P O |$ en $| M Q | = | M O |$ .
En omdat $| M P | = | M Q | = \sqrt{5}$ zijn alle vier de zijden van vierhoek $M Q O P$ (of $M P O Q$ ) gelijk en is de vierhoek een ruit.

Opgave 13

${(x - 6)}^{2} + y^{2} = 26$ dus $M_{1} (6,0)$ en $r_{1} = \sqrt{26}$

De cirkelvergelijkingen van elkaar aftrekken geeft $4 x - 4 y = 0$ en dus is $y = x$ de vergelijking van een lijn door beide snijpunten.
$y = x$ invullen in (bijvoorbeeld) $c_{1}$ geeft $x = 1 \lor x = 5$ en dus de snijpunten $A (1,1)$ en $B (5,5)$ .

$d (O, c_{2}) = | O M_{2} | - r_{2} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} - \sqrt{10} = \sqrt{20} - \sqrt{10}$

$\vec{M_{1} A} = (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix})$ en $\vec{M_{2} A} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ .

Raaklijnen zijn $y = a x + 4$ .
Deze lijnen snijden met $c_{2}$ geeft $(1 + a^{2}) x^{2} + (- 8 + 4 a) x + 10 = 0$ .
Raken betekent $D = 0$ en dus ${(- 8 + 4 a)}^{2} - 40 (1 + a^{2}) = 0$ zodat $a = \frac{1}{3} \lor a = - 3$ .
De raaklijnen zijn $y = \frac{1}{3} x + 4$ en $y = - 3 x + 4$ .

De raaklijn staat loodrecht op $\vec{M_{1} P} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix})$ en heeft dus vergelijking $x + 5 y = 32$ .
Het snijpunt met de $x$ -as van deze lijn is $(32,0)$ .

Lijn door $M_{2} (4,2)$ en loodrecht op $P Q$ is $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix})$ . Deze lijn snijden met $P Q : x + 5 y = 32$ geeft snijpunt $S$ .
De gevraagde afstand is $| M_{2} S | \approx 3,53$ .

Opgave 14

${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ snijden met $y = 0,5 x$ geeft $x = \pm 2$ .
Snijpunten zijn $(- 2, - 1)$ en $(2, 1)$ .

verder | terug