Meetkunde in 3D

Meetkunde in 3D > Inproduct in 3D

1234567Inproduct in 3D

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Hier zie je een driedimensionaal cartesisch `Oxyz` -assenstelsel.

Punt `F` heeft de coördinaten `(4, 2, 3)` .
Zo is `vec(OF) = ((4),(2),(3))` , `vec(OE) = ((4),(0),(3))` en `vec(EF) = ((0),(2),(0))` .
Je ziet dat ook in 3D geldt: `vec(OE) + vec(EF) = vec(OF)` , controleer maar met hun kentallen.

Je kunt met vectoren in 3D precies net zo rekenen als met vectoren in 2D. Je kunt ze optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met een getal door dit met de corresponderende kentallen te doen. Ook het inproduct van twee vectoren blijft op dezelfde manier geldig, er komt alleen een extra kental bij:

`vec(a) * vec(b) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(/_(vec(a),vec(b)))`

Als je bovenstaande herschrijft tot: `cos(/_(vec(a),vec(b))) = (vec(a) * vec(b))/(|vec(a)|*|vec(b)|)` , dan kun je de hoek tussen de twee vectoren `vec(a)` en `vec(b)` berekenen.

De hoek tussen de vectoren `vec(EO)` en `vec(EF)` is precies `90^@` . Met het inproduct kun je dit narekenen:
`vec(EO) = ((text(-)4),(0),(text(-)3))` en `vec(EF) = ((0),(2),(0))` geeft: `vec(EO)*vec(EF) = text(-)4 * 0 + 0 * 2 + text(-)3 * 0 = 0` .
En dus is `cos(/_(vec(EO), vec(EF))) = 0` en daarom `/_(vec(EO), vec(EF)) = 90^@` .

Ook lijnen maken een hoek met elkaar, neem bijvoorbeeld de hoek tussen de lijnen `AC` en `AG` . Deze hoek wordt bepaald door de richtingen van beide lijnen. De richting van lijn `AC` wordt bepaald door `vec(AC)` en de richting van lijn `AG` wordt bepaald door `vec(AG)` . Dergelijke vectoren noem je richtingsvectoren. De hoek tussen de twee lijnen is dus hetzelfde als de hoek tussen de twee bijbehorende richtingsvectoren, maar dan wel altijd de scherpe hoek.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg . De vectoren `vec(OB)` en `vec(BF)` staan loodrecht op elkaar.

Laat dit zien met behulp van het inproduct.

Ga door berekening na dat de vectoren `vec(OD)` en `vec(DF)` loodrecht op elkaar staan.

Laat ook zien dat `vec(OD)` en `vec(DB)` niet loodrecht op elkaar staan.

Opgave 2

Elk ruimtelijk cartesisch assenstelsel kent drie eenheidsvectoren:
`vec(e_x) = ((1),(0),(0))` , `vec(e_y) = ((0),(1),(0))` en `vec(e_z) = ((0),(0),(1))`

Laat zien dat `vec(e_x) * vec(e_y) = 0` , `vec(e_x) * vec(e_z) = 0` en `vec(e_y) * vec(e_z) = 0` .

Laat ook zien, dat `vec(e_x) * vec(e_x) = 1` , `vec(e_y) * vec(e_y) = 1` en `vec(e_z) * vec(e_z) = 1` .

Neem `vec(a) = ((a_x),(a_y),(a_z)) = a_x * vec(e_x) + a_y * vec(e_y) + a_z * vec(e_z)` en `vec(b) = ((b_x),(b_y),(b_z)) = b_x * vec(e_x) + b_y * vec(e_y) + b_z * vec(e_z)` .

Laat zien dat het inproduct van `vec(a)` en `vec(b)` inderdaad `a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z` is door haakjes uitwerken.

Opgave 3

Bekijk weer de Uitleg .

Neem `vec(AC)` en `vec(AF)` .
Gebruik het inproduct om de hoek `varphi` tussen deze twee vectoren in graden nauwkeurig te berekenen.

Neem `vec(AC)` en `vec(DB)` .
Deze vectoren hebben geen gemeenschappelijk aangrijpingspunt. Toch maken ze een hoek met elkaar. Gebruik het inproduct om de hoek `varphi` tussen deze twee vectoren in graden nauwkeurig te berekenen.

Opgave 4

In de Uitleg staat dat de richting van lijn `AC` wordt bepaald door `vec(AC)` en de richting van lijn `AG` wordt bepaald door `vec(AG)` .

Waarom zijn `vec(CA)` en `1/2vec(AC)` ook goede richtingsvectoren voor lijn `AC` ?

Gebruik `vec(AC)` en `vec(AG)` om de hoek tussen de lijnen `AC` en `AG` te berekenen.

Gebruik `vec(CA)` en `vec(AG)` om de hoek tussen de lijnen `AC` en `AG` te berekenen. Waarom is deze hoek eigenlijk niet de goede hoek?

verder | terug