Vectoren in 3D > Inproduct in 3D
1234567Inproduct in 3D

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De tangens van de gevraagde hoek is , dus .

b

Dit gaat het beste met het inproduct in drie dimensies, zie de Uitleg .

Opgave 1
a

en .
Hun inproduct is .

b

en .
Hun inproduct is .

c

en .
Hun inproduct is . De cosinus van de hoek tussen beide is daarom niet .

Opgave 2
a

De hoek tussen beide is telkens
Of:
,
,
.

b

De lengtes zijn en de hoeken . Je kunt dit ook met de kentallen laten zien.

c





(gebruik makend van onderdeel a en b).

Opgave 3
a

en geeft .

geeft en .

b

en .
geeft zodat .

Opgave 4
a

Deze vectoren liggen ook op die lijn en geven dus zijn richting aan.

b

en geeft .

geeft en .

c

en geeft .

geeft en .

Dit is de complementhoek van de hoek bij onderdeel b (samen zijn ze ).
Afspraak is wel dat de hoek tussen twee lijnen altijd de scherpe hoek is, dus in dit geval .
(De hoek tussen twee vectoren kan wel stomp zijn!)

Opgave 5
a

en .
geeft en .

b

en .
Het inproduct , dus staan de vectoren loodrecht op elkaar.

c

en in het rechthoekige voorvlak maken en bij punt een rechte hoek met elkaar.

Opgave 6

Situatie I:
Situatie II:
Situatie III:
Situatie IV:
Situatie V:
Situatie VI:

Opgave 7
a

Manier 1:
en .
geeft en .

Manier 2:
Maak een en zijaanzicht van de piramide.
Teken een lijnstuk vanuit naar het midden van .
Er geldt: , dit geeft .

b

Gebruik bijvoorbeeld het inproduct van de vectoren en of zoek een geschikte driehoek om in te rekenen.
en .
geeft en .

c

Uit volgt dat . Doe dit ook voor de andere hoeken.

Opgave 8
a

Een vector die geheel op de lijn ligt.

b

De richtingsvectoren van de lijnen zijn en
Het inproduct van beide vectoren is .
Dus en dit geeft .
(Je kunt dit in de figuur ook wel zien, is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.)

c

Dan moeten ze in één vlak liggen en dat is hier niet zo. Maar als je een bovenaanzicht van de balk tekent, dan kun je hun onderlinge hoek goed zien en ook eenvoudig berekenen.
Of je neemt de hoek tussen lijn en lijn , dat is dezelfde hoek want is evenwijdig met .

d

De richtingsvectoren zijn en .

Inproduct: geeft .

Opgave 9
a

Hun richtingsvectoren zijn en .
Het inproduct tussen beide vecoren is .
Dus en dit geeft .

b

Ze zijn evenwijdig, dus een hoek van .

c

en .

Inproduct: geeft .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

Opgave 10

en

Inproduct: geeft .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

Opgave 11
a

b

en .

Inproduct: geeft .

Opgave 12
a

en .

en .

Inproduct: geeft .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

b

en .

geeft .

Op dezelfde wijze vind je dat en .

.

De lijnstukken en zijn even lang.

Vierhoek is een symmetrisch trapezium.

c

en .

De hoogte van de vierhoek is .

De oppervlakte van vierhoek is .

Opgave 13
a

en .

Inproduct: geeft .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

b

Merk op dat en .

en .

Inproduct: geeft .

en .

Opgave 14
a

Bijvoorbeeld: , , en .

b

Opgave 15
a

Je moet laten zien dat de lijnstukken , en even lang zijn en dat , en .
, , en .



De inproducten zijn steeds 0, dus staan de vectoren 2 aan 2 loodrecht op elkaar.

b

Doen.

Opgave 16
a
b

Opgave 17
a

°

b

Opgave 18
a

b

verder | terug