Meetkunde in 3D

Meetkunde in 3D > Inproduct in 3D

Overzicht

1234567Inproduct in 3D

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De tangens van de gevraagde hoek is `tan(alpha) = 3/(sqrt(20))` , dus `alpha ~~ 34^@` .

Dit gaat het beste met het inproduct in drie dimensies, zie de Uitleg .

Opgave 1

`vec(OB) = ((4),(2),(0))` en `vec(BF) = ((0),(0),(3))` .
Hun inproduct is `4*0 + 2*0 + 0*3 = 0` .

`vec(OD) = ((0),(0),(3))` en `vec(DF) = ((4),(2),(0))` .
Hun inproduct is `0*4 + 0*2 + 3*0 = 0` .

`vec(OD) = ((0),(0),(3))` en `vec(DB) = ((4),(2),(text(-)3))` .
Hun inproduct is `0*4 + 0*2 + 3*text(-)3 = text(-)9` . De cosinus van de hoek tussen beide is daarom niet `0` .

Opgave 2

De hoek tussen beide is telkens `90^@` .
Of:
`vec(e_x) * vec(e_y) = 1*0 + 0*1 + 0*0 = 0` ,
`vec(e_x) * vec(e_z) = 1*0 + 0*0 + 0*1 =0` ,
`vec(e_y) * vec(e_z) = 0*0 + 1*0 + 0*1 = 0` .

De lengtes zijn `1` en de hoeken `0^@` . Je kunt dit ook met de kentallen laten zien.

`vec(a)* vec(b) = ((a_x),(a_y),(a_z))*((b_x),(b_y),(b_z)) = (a_x * vec(e_x) + a_y * vec(e_y) + a_z * vec(e_z))*(b_x * vec(e_x) + b_y * vec(e_y) + b_z * vec(e_z)) =`
`a_x * vec(e_x)*b_x * vec(e_x) + a_x * vec(e_x)*b_y * vec(e_y) + a_x * vec(e_x)*b_z * vec(e_z) +`
`a_y * vec(e_y)*b_x * vec(e_x) + a_y * vec(e_y)*b_y * vec(e_y) + a_y * vec(e_y)*b_z * vec(e_z) +`
`a_z * vec(e_z)*b_x * vec(e_x) + a_z * vec(e_z)*b_y * vec(e_y) + a_z * vec(e_z)*b_z * vec(e_z) =`
`a_x *b_x + a_y *b_y + a_z * b_z ` (gebruik makend van onderdeel a en b).

Opgave 3

`vec(AC) = ((text(-)4),(2),(0))` en `vec(AF) = ((0),(2),(3))` geeft `((text(-)4),(2),(0)) * ((0),(2),(3)) = text(-)4*0 + 2*2 + 0*3 = 4` .

`4= sqrt(20)*sqrt(13) cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = 4/(sqrt(20)*sqrt(13))` en `varphi =/_(vec(AC),vec(AF))~~ 76^@` .

`vec(AC) = ((text(-)4),(2),(0))` en `vec(DB) = ((4),(2),(text(-)3))` .
`((text(-)4),(2),(0)) * ((4),(2),(text(-)3)) = text(-)4*4 + 2*2 + 0*text(-)3 = text(-)12 = sqrt(20)*sqrt(29) cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = (text(-)12)/(sqrt(20)*sqrt(29))` zodat `varphi =/_(vec(AC),vec(DB))~~ 120^@` .

Opgave 4

Deze vectoren liggen ook op die lijn en geven dus zijn richting aan.

`vec(AC) = ((text(-)4),(2),(0))` en `vec(AG) = ((text(-)4),(2),(3))` geeft `((text(-)4),(2),(0)) * ((text(-)4),(2),(3)) = text(-)4*text(-)4 + 2*2 + 0*3 = 20` .

`20= sqrt(20)*sqrt(29) cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = 20/(sqrt(20)*sqrt(29))` en `varphi ~~ 34^@` .

`vec(CA) = ((4),(text(-)2),(0))` en `vec(AG) = ((text(-)4),(2),(3))` geeft `((4),(text(-)2),(0)) * ((text(-)4),(2),(3)) = 4*text(-)4 + text(-)2*2 + 0*3 = text(-)20` .

`text(-)20= sqrt(20)*sqrt(29) cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = (text(-)20)/(sqrt(20)*sqrt(29))` en `varphi ~~ 146^@` .

Dit is de complementhoek van de hoek bij onderdeel b (samen zijn ze `180^@` ).
Afspraak is wel dat de hoek tussen twee lijnen altijd de scherpe hoek is, dus in dit geval `34^@` .
(De hoek tussen twee vectoren kan wel stomp zijn!)

Opgave 5

`vec(ED) = ((text(-)5),(0),(0))` en `vec(EC) = ((text(-)5),(3),(text(-)4))` .
`vec(ED)*vec(EC) = 25 = 5 * sqrt(50) * cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = (25)/(5*sqrt(50))` en `varphi = 45^@` .

`vec(DG) = ((0),(3),(0))` en `vec(BF) = ((0),(0),(4))` .
Het inproduct `vec(DG)*vec(BF) = 0` , dus staan de vectoren loodrecht op elkaar.

`vec(DG) = vec(EF)` en in het rechthoekige voorvlak maken `vec(EF)` en `vec(BF)` bij punt `F` een rechte hoek met elkaar.

Opgave 6

Situatie I: `vec(a)*vec(b) = 16`
Situatie II: `vec(a)*vec(b) = 0`
Situatie III: `vec(a)*vec(b) = text(-)8`
Situatie IV: `vec(a)*vec(b) = 32`
Situatie V: `vec(a)*vec(b) = 64`
Situatie VI: `vec(a)*vec(b) = 32`

Opgave 7

`M(2, 0, 3)`

Manier 1:
`vec(OA) = ((4),(0),(0))` en `vec(OM) = ((2),(0),(3))` .
`vec(OA)*vec(OM) = 8= 4 * sqrt(13) * cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = (8)/(4*sqrt(13))` en `varphi = /_(vec(OA), vec(OM))~~56^@` .

Manier 2:
Maak een en zijaanzicht van de piramide.
Teken een lijnstuk vanuit `M` naar het midden van `OA` .
Er geldt: `tan(/_AOM)=3/2` , dit geeft `/_AOM~~56^@` .

Gebruik bijvoorbeeld het inproduct van de vectoren `vec(TA)` en `vec(TC)` of zoek een geschikte driehoek om in te rekenen.
`vec(TA) = ((4), (0), (text(-)6))` en `vec(TC) = ((text(-)4), (0), (text(-)6))` .
`vec(TA)*vec(TC) = 20= sqrt(52) * sqrt(52) * cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = (20)/(52)` en `/_ATC ~~ 67^@` .

Uit `vec(AB) * vec(AD) = 0` volgt dat `/_BAD = 90^@` . Doe dit ook voor de andere hoeken.

Opgave 8

Een vector die geheel op de lijn ligt.

De richtingsvectoren van de lijnen zijn `vec(AF) = ((0),(3),(4))` en `vec(AG) = ((text(-)5),(3),(4))` .
Het inproduct van beide vectoren is `25 = 5 * sqrt(50) * cos(varphi)` .
Dus `cos(varphi) = (25)/(5sqrt(50))` en dit geeft `varphi =/_(AF,AG)= 45^@` .
(Je kunt dit in de figuur ook wel zien, `Delta AFG` is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.)

Dan moeten ze in één vlak liggen en dat is hier niet zo. Maar als je een bovenaanzicht van de balk tekent, dan kun je hun onderlinge hoek goed zien en ook eenvoudig berekenen.
Of je neemt de hoek tussen lijn `AB` en lijn `OB` , dat is dezelfde hoek want `AB` is evenwijdig met `EF` .

De richtingsvectoren zijn `vec(OB) = ((5),(3),(0))` en `vec(EF) = ((0),(3),(0))` .

Inproduct: `9 = 3 * sqrt(34) * cos(varphi)` geeft `varphi =/_(OB,EF)~~ 59^@` .

Opgave 9

Hun richtingsvectoren zijn `vec(AT) = ((text(-)4),(0),(6))` en `vec(BT) = ((0),(text(-)4),(6))` .
Het inproduct tussen beide vecoren is `36 = sqrt(52)*sqrt(52)*cos(/_(AT, BT))` .
Dus `cos(/_(AT, BT)) = (36)/(52)` en dit geeft `/_(AT, BT)~~ 46^@` .

Ze zijn evenwijdig, dus een hoek van `0^@` .

`vec(AT) = ((text(-)4),(0),(6))` en `vec(BC) = ((text(-)4),(text(-)4),(0))` .

Inproduct: `16=sqrt(52)*sqrt(32)*cos(varphi)` geeft `varphi~~ 67^@` .

De hoek tussen de lijnen `AT` en `BC` is ongeveer `67^@` .

Opgave 10

`M(0; text(-)1,5; 1,5)`

`vec(FM) = ((0),({:text(-)1,5:}),({:4,5:}))` en `vec(BE) = ((0),(text(-)3),(3))`

Inproduct: `18=sqrt(22,5)*sqrt(18)*cos(varphi)` geeft `varphi~~26,6^@` .

De hoek tussen de lijnen `FM` en `BE` is ongeveer `26,6^@` .

Opgave 11

`vec(OP) + vec(PQ) = ((4), (0), (4)) + ((text(-)4), (3), (text(-)3)) = ((0), (3), (1)) = vec(OQ)`

`vec(OP) = ((4),(0),(4))` en `vec(OQ) = ((0),(3),(1))` .

Inproduct: `4 = sqrt(32)*sqrt(10)*cos(varphi)` geeft `varphi = /_POQ ~~ 77^@` .

Opgave 12

`C(text(-)2, 2, 0)` en `M(1, text(-)1, 2)` .

`vec(AT) = ((text(-)2),(2),(4))` en `vec(CM) = ((3),(text(-)3),(2))` .

Inproduct: `text(-)4 = sqrt(24)*sqrt(22)*cos(varphi)` geeft `varphi ~~ 100^@` .

De hoek tussen de lijnen `AT` en `CM` is ongeveer `80^@` .

`vec(BC) = ((text(-)4),(0),(0))` en `vec(BM) = ((text(-)1),(text(-)3),(2))` .

`4 = 4*sqrt(14)*cos(varphi)` geeft `varphi =angle CBM~~ 74^@` .

Op dezelfde wijze vind je dat `angle BCN=angle CBM~~74^@` en `/_BMN=/_MNC ~~ 106^@` .

`|BM|=|CN|=sqrt(1^2+3^2+2^2)=sqrt(14)` .

De lijnstukken `BM` en `CN` zijn even lang.

Vierhoek `BMNC` is een symmetrisch trapezium.

`BC=4` en `MN=2` .

De hoogte van de vierhoek is `sqrt((sqrt(14))^2-1^2)=sqrt(13)` .

De oppervlakte van vierhoek `BMNC` is `0,5*(4+2)*sqrt(3)=3sqrt(13)` .

Opgave 13

`vec(AE) = (({:text(-)1,5:}), ({:1,5:}), (3))` en `vec(CG) = (({:1,5:}), ({:text(-)1,5:}), (3))` .

Inproduct: `4,5=sqrt(13,5)*sqrt(13,5)*cos(varphi)` geeft `varphi~~71^@` .

De hoek tussen de lijnen `AE` en `CG` is ongeveer `71^@` .

Merk op dat `/_BAE = /_ABF` en `/_AEF = /_BFE` .

`vec (AE)=(({:text(-)1,5:}),({:1,5:}),(3))` en `vec(AB)=((0),(6),(0))` .

Inproduct: `9=sqrt(13,5)*6*cos(varphi)` geeft `varphi~~66^@` .

`angle EAB=angle ABF~~66^@` en `angle FEA=angle BFE~~180^@-66^@=114^@` .

Opgave 14

Bijvoorbeeld: `((2), (text(-)1), (0))` , `((1), (1), (text(-)1))` , `((text(-)5), (7), (text(-)3))` en `((4), (text(-)8), (4))` .

Het inproduct moet `0` zijn, dus: `vec(v) * vec(w) = 1*3 + 2*4 + 5*p = 0` .

Dit geeft `p = text(-)11/5 = text(-)2,2` .

Opgave 15

Je moet laten zien dat de lijnstukken `SP` , `SW` en `SR` even lang zijn en dat `vec(SW) _|_ vec(SP)` , `vec(SW) _|_ vec(SR)` en `vec(SR) _|_ vec(SP)` .
`S(2, 2, 2)` , `P(4, 4, 1)` , `R(1, 4, 4)` en `W(4, 1, 4)` .

`|SP| =|SW|=|SR|=3`

`vec(SW) * vec(SP) = 0`
`vec(SW) * vec(SR) = 0`
`vec(SR) * vec(SP) = = 0`

De inproducten zijn steeds `0` , dus staan de vectoren twee aan twee loodrecht op elkaar.

Opgave 16

De andere hoekpunten zijn `B(5, 7, 0)` , `D(0, 0, 4)` , `F(5, 7, 4)` en `G(0, 7, 4)` .

`vec(PQ)=((text(-)3),(text(-)4),(0))` , dus `|vec(PQ)|=sqrt((text(-)3)^2+(text(-)4)^2+0^2)=5` .
`R` ligt op ribbe `AB` , dus weet je dat `R(5, r, 0)` (met `0 le r le 7` ).
Dan is `vec(PR)=((2), (r-7), (text(-)4))` en `|PR|=sqrt(20+(r-7)^2)` .

Bereken het inproduct `vec(PQ)` en `vec(PR)` .

`vec(PQ)*vec(PR)=text(-)3*2-4*(r-7)+0*text(-)4=5*sqrt(20+(r-7)^2)*cos(60^@)` .
Dit kun je herleiden naar `8,8-1,6r=sqrt(20+(r-7)^2)` .

Links en rechts kwadrateren en herleiden geeft `1,56r^2-14,16r+8,44=0` .
En dus `r~~0,64 vv r~~8,44` (abc-formule) .
Omdat `0 le r le 7` , is `r~~0,64` .
Dus `R(5; 0,64; 0)` .

Opgave 17

`~~ 85^@`

`a = 2`

Opgave 18

`/_(vec(AT),vec(CT))~~ 64^@`

`/_(BT,BD)~~63^@`

verder | terug