Alle punten `P` moeten gelijke afstand hebben tot `F` als tot de lijn `l` .
Kies eerst een geschikt assenstelsel. Zie de
geeft en dus
geeft en dus
geeft en dus .
geeft
en dus
Nu is en dit geeft .
Bij een cirkel staat de raaklijn in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt. Bij een parabool is daarvan geen sprake.
en invullen in geeft en dit klopt voor elke waarde van .
Als dan gaan en samenvallen. Dus dan benadert de -waarde van die van (bij een nette aaneengesloten kromme).
.
In
is
en dus
zodat de vergelijking van de raaklijn
wordt.
is
voldoet aan
en ligt dus op de parabool.
In
is
en dus
zodat de vergelijking van de raaklijn
wordt.
dus
dus
geeft
en dus
.
Parametervoorstelling:
en
.
met
en
.
Dit geeft
.
Kies
dus
en je krijgt
en dus
.
Parametervoorstelling:
en
.
en
geeft
en dus
.
Dit geeft
en
.
geeft en dus .
In
is
en dus is het hellingsgetal daar
.
In
is
en dus is het hellingsgetal daar
.
Raaklijn in
is
.
Raaklijn in
is
.
en een richtingscoëfficiënt van geeft raaklijn .
geeft . geeft .
Raaklijn
geeft
dus de afstand van brandpunt tot richtlijn is
`2`
.
De as van de parabool is evenwijdig aan de
-as.
Richtlijn
, brandpunt
.
Kies
dan is
en dus
.
(Je kunt ook
of
kiezen.)
geeft
.
In
:
geeft
en dus
. Met
vind je
. De raaklijn is
.
In
:
invullen en met
vind je
en dus als raaklijn
.
(Je kunt ook werken met
.)
geeft
en
.
Dit is te herleiden tot
.
geeft
.
Uit de vergelijking bij a lees je af
Omdat .
Top , brandpunt en richtlijn .
Top en met as evenwijdig aan de geeft .
Top en met as evenwijdig aan de -as geeft .
Top en met as evenwijdig aan de -as geeft .
Nu is
onbekend en negatief. De top is
en de vergelijking is
.
invullen geeft
en hieruit volgt
.
Als
wordt de vergelijking
.
wordt de vergelijking
.
geeft
en dus
en dit kun je schrijven als
.
Hieruit lees je af dat de top
is en dat
.
En dat levert op: brandpunt
en richtlijn
.
door
en
geeft als vergelijking
.
Invulen in de vergelijking van de parabool en je vindt de snijpunten
en
.
.
In
is
en de richtingsvector van de raaklijn dus
.
De richtingsvector van
is
en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je
.
In
is
en de richtingsvector van de raaklijn dus
.
De richtingsvector van
is
en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je
.
.
De gevraagde oppervlakte is
.
Primitiveren geeft
.
Doen.
invullen in cirkelvergelijking geeft
en de daaruit volgt
.
levert geen
-waarden op,
levert
`y = 0 vv y = 4`
op.
Snijpunten
`(text(-)1, 0)`
en
`(text(-)1, 4)`
.
snijdt de assen in
en in
`(0, 2 +- sqrt(3))`
.
snijdt de
-as in
en
en de
`y`
-as in
.
Vanwege de symmetrie van de figuur hoef je de hoek maar in één snijpunt te berekenen.
Verder geldt voor de parabool
.
Neem
. Daar is
en dus
.
Een richtingsvector van de raaklijn aan
in
is
`((4),(1))`
.
Voor
geldt
`vec(MA) = ((-3),(-2))`
en een richtingsvector van de raaklijn aan
in
is daarom
`((-2),(3))`
.
Met het inproduct van beide richtingsvectoren vind je de hoek tussen beide raaklijnen
.
invullen in de vergelijking van
geeft
.
Met behulp van
vind je
en
en
. Raakpunt
.
Doen, zie figuur in de opgave.
geeft
.
geeft
want
is rechthoekig en gelijkbenig.
Dus
.
Omdat
is
, dus
.
geeft ofwel .
Haakjes wegwerken.
en
geeft
en dus
.
Hiermee vind je
.
Parametervoorstelling
.
.
Raaklijn evenwijdig aan
-as:
geeft
en dus
.
Raaklijn evenwijdig aan
-as:
geeft
en dus
.
geeft
en dus
.
Top
, brandpunt
, richtlijn
.
geeft
en dus
.
Verder is
.
In
is
en
dus de raaklijnvergelijking is
.
In
is
en
dus de raaklijnvergelijking is
.
De gevraagde hoek (werk met tan of met het inproduct) is ongeveer
.
geeft en dus het punt .
De vergelijking van
is te herleiden tot
.
Dit invullen in de cirkelvergelijking geeft
.
De vier snijpunten zijn
,
,
en
.
Neem bijvoorbeeld
. Voor
geldt:
en
, dus de richtingsvector van de raaklijn in
aan
is
.
Voor
geldt:
geeft
en dus
. In
is
en dus
, dus de richtingsvector van de raaklijn in
aan
is
.
Met behulp van het inproduct van deze richtingsvectoren vind je de gevraagde hoek
.