Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Parabolen

1234567Parabolen

Uitleg

Bekijk de applet.

Je ziet hier de parabool met vergelijking $y^{2} = 8 x$ .

Een bijpassende parametervoorstelling is $x = 2 t^{2}$ en $y = 4 t$ .
Ga dit zelf na.

Het punt $P (2, 4)$ ligt op de parabool, de raaklijn in dit punt aan de parabool is getekend.
Om een vergelijking van deze raaklijn op te stellen moet je de richtingscoëfficiënt ervan weten. Bij een cirkel maak je gebruik van het feit dat zo'n raaklijn loodrecht op de straal naar het raakpunt staat, maar bij een parabool gaat dit niet. Je kunt de helling van de raaklijn echter uit de parametervoorstelling afleiden.

Breng je $Q$ dichter bij $P$ dan gaat de helling van lijn $P Q$ die van de raaklijn benaderen. De helling van de raaklijn is daarom:

$\frac{d y}{d x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{\frac{Δ y}{Δ t}}{\frac{Δ x}{Δ t}} = \frac{y' (t)}{x' (t)} = \frac{4}{4 t}$

Omdat in het punt $P (2,4)$ geldt dat $t = 1$ , krijg je een raaklijnrichtingscoëfficiënt van `1` .

Opgave 4

Bekijk de Uitleg 2. Het gaat nu om het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een parabool in een punt op de parabool.

Waarom is het bepalen van de hellingwaarde van zo'n raaklijn bij een parabool moeilijker dan bij een cirkel?

Ga na dat de parametervoorstelling bij deze parabool klopt.

Je ziet hoe je de helling van de raaklijn kunt berekenen. Waarom geldt $Δ t \to 0$ als $Δ x \to 0$ ?

Bereken nu met behulp van differentiëren de richtingscoëfficiënt van de gevraagde raaklijn en stel een vergelijking van die raaklijn op.

Laat zien dat $Q (8, 8)$ een punt van de parabool is en stel de vergelijking op van de raaklijn in dat punt aan de parabool.

verder | terug