Bekijk de applet.

Een parabool is een kromme die bestaat uit punten $P$ die een even grote afstand hebben tot een vast punt $F$ als tot een vaste lijn $l$. Dit vaste punt $F$ heet het brandpunt (of focus), de vaste lijn heet de richtlijn van de parabool.

Kies je de assen zo, dat $F=\left(\mathrm{0,5}p;0\right)$ en $l$ de vergelijking $x=-\mathrm{0,5}p$ heeft, dan is de vergelijking van de parabool $y^2=2px$.
De afstand van het brandpunt tot de richtlijn is $p$ en heet wel de brandpuntsafstand van de parabool. De top van de parabool is nu $O\left(0,0\right)$ en de $x$-as is de as van de parabool.

Je kunt ook de top van de parabool van $\left(0,0\right)$ verschuiven naar $\left(a,b\right)$.
De vergelijking wordt dan ${\left(y-b\right)}^2=2p\left(x-a\right)$.

Kies je de assen zo, dat $F=\left(0;\mathrm{0,5}p\right)$ en $l$ de vergelijking $y=-\mathrm{0,5}p$ heeft, dat is de vergelijking van de parabool $x^2=2py$. De $y$-as is nu de as van de parabool. Ook nu kun je de top van $\left(\mathrm{0,0}\right)$ naar $\left(a,b\right)$ verschuiven.

De vergelijking van een raaklijn aan een parabool in een punt op de kromme bepaal je met behulp van een parametervoorstelling van de parabool. Voor de helling, de richtingscoëfficiënt, van zo'n raaklijn geldt:
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}}=\frac{y\text{'}\left(t\right)}{x\text{'}\left(t\right)}$

Om de vergelijking van de raaklijn op te stellen bepaal je eerst de waarde van $t$ die bij het gegeven punt op de parabool hoort. Deze $t$-waarde vul je in $\frac{dy}{dx}=\frac{y\text{'}\left(t\right)}{x\text{'}\left(t\right)}$ in. Daarmee bereken je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn en dan kun je met de coördinaten van het gegeven punt de gewenste vergelijking in elkaar zetten.

Overigens kun je bij parabolen ook werken met de discriminant van een kwadratische vergelijking.
Je noemt dan de richtingscoëfficiënt $a$ en bouwt daarmee en de coördinaten van het gegeven punt de vergelijking op van de vorm $y=ax+b$. Dit vul je in de vergelijking van de parabool in. Bij raken zijn er twee samenvallende snijpunten, dus is de discriminant van de bijbehorende kwadratische vergelijking 0. Zo kun je $a$ berekenen. Maar dit lukt natuurlijk alleen als er - zoals bij een parabool - een kwadratische vergelijking ontstaat...