Deze vectorvoorstelling is ook goed, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn. De plaatsvector is `vec(OS)` en de richtingsvector is `vec(SE)` .

Ja, ook deze vectorvoorstelling is goed, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn. In dit geval is de richtingsvector twee keer zo lang als bij a.

Je zou kunnen denken aan zoiets als `z = ax + by + c` . Bij elke `(x, y)` -combinatie (dus bij elk punt in het `xy` -vlak) hoort een waarde van `z` , dus je krijgt een vlak van punten die hieraan voldoen.

`x` -as: `((x),(y),(z))=p((1),(0),(0))` ,
`y` -as: `((x),(y),(z))=r((0),(1),(0))` en
`z` -as: `((x),(y),(z))=s((0),(0),(1))` .

Bijvoorbeeld `BG: ((x),(y),(z))=((3),(3),(0))+p((text(-)3),(0),(4))` .

Gebruik het inproduct van hun richtingsvectoren.
`((1,5), (text(-)3), (2))*((text(-)3), (0), (4)) = 3,5 = sqrt(15,25)*5*cos(/_(SE,BG))` .
Dus `cos(/_(SE,BG))=3,5/(5sqrt(15,25))` en `/_(SE,BG)~~80^@` .

Lees af `S(1,5; 3; 2)` .

Neem `t=1,5` in de vectorvoorstelling van `ES: ((x),(y),(z)) = ((3),(0),(4)) + t*((text(-)1,5),(3),(text(-)2))` , dan krijg je punt `S` en
neem `p=0,5` in de vectorvoorstelling van `BG: ((x),(y),(z))=((3),(3),(0))+p((text(-)3),(0),(4))` , ook dan krijg je punt `S` .

Je vindt:
`{(3 - 3p = 3 - 1,5t),(3 = 3t),(4p = 4 - 2t):}`

De eerste twee vergelijkingen geven `t = 1` en `p = 0,5` .

Die twee waarden voldoen ook aan de derde vergelijking. En ze leveren op: `x=1,5` , `y=3` en `z=2` , precies de coördinaten van `S` .

Als je `vec(OS)` als steunvector gebruikt en `2*vec(SE)` als richtingsvector, krijg je de gegeven vectorvoorstelling.

Het inproduct tussen de twee vectoren moet `0` opleveren (loodrecht).
`((3-{:1,5:}t),(3t),(4-2t))*((text(-){:1,5:}),(3),(text(-)2)) = 0` geeft `t = 50/61` .

Vul `t=50/61` in bij `vec(OP)=((3-{:1,5:}t),(3t),(4-2t))` :

`vec(OP)=((108/61), (150/61), (144/61))` en `text(d)(O, ES)=|vec(OP)| ~~ 3,84` .

`C(0, 2, 0)` en `M(3, 1, 0)` .

Een vectorvoorstelling van `CM` is: `((x),(y),(z)) = ((0),(2),(0)) + p*((3),(text(-)1),(0))`

`M(3, 1, 0)`
Neem `p=1` bij de vectorvoorstelling van `CM: ((x),(y),(z)) = ((0),(2),(0)) + p*((3),(text(-)1),(0))`
Je krijgt dan punt `M` .

Dan moet je `p=2/3` in de vectorvoorstelling van `CM` nemen.
Je krijgt dan punt `(2, 4/3, 0)`

`B(3, 2, 0)` en `D(0, 0, 2)` .

Een mogelijke steunvector is: `vec(OD) = ((0),(0),(2))` .

Een mogelijke richtingsvector is `vec(BD) = ((text(-)3),(text(-)2),(2))` .

De vectorvoorstelling wordt dan: `((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + s*((text(-)3),(text(-)2),(2))` .

`C(0, 2, 0), N(3, 0, 1)` en `F(3, 2, 2)` .

Een richtingsvector van `vec (CN)` en dus ook van lijn `m` , is `((3), (text(-)2), (1))` .

Een mogelijke steunvector voor lijn `m` is: `vec(OF) = ((3),(2),(2))` .

Eeb vectorvoorstelling wordt dan: `((x),(y),(z))=((3),(2),(2))+p((3),(text(-)2),(1))`

`y = 0` geeft `p=1` . Je krijgt dan `(6, 0, 3)` .

In het `yz` -vlak geldt `x = 0` en dus `p = text(-)1` . Je krijgt dan `(0, 4, 1)` .
In het `xy` -vlak geldt `z = 0` en dus `p = text(-)2` . Je krijgt dan `(text(-)3, 6, 0)` .

Bijvoorbeeld op de `x` -as geldt `y = 0 ^^ z = 0` . Maar dat levert verschillende waarden voor de parameter `p` op, dus dat kan niet. Dit zelfde geldt voor de andere assen.

`DM: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + p*((3),(1),(text(-)2))`

`CN: ((x),(y),(z)) = ((0),(2),(0)) + q*((3),(text(-)2),(1))`

Voor het snijpunt moet gelden: `3p = 3q` , `p = 2 - 2q` en `2 - 2p = q` .

Dit geeft `p = 2/3` en `q = 2/3` .

Het snijpunt wordt dan `(2, 2/3, 2/3)` .

`((3),(1),(text(-)2))*((3),(text(-)2),(1))= 5 = sqrt(14)*sqrt(14)*cos(/_(DM,CN))`
Dus `cos(/_(DM,CN)) = 5/14` en `/_(DM,CN) ~~ 69^@` .

De lijnen liggen in evenwijdige vlakken. De lijnen kunnen elkaar daarom niet snijden.

Je kunt het ook als volgt aantonen:

`DN: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + r*((3),(0),(text(-)1))`

`BC: ((x),(y),(z)) = ((3),(2),(0)) + s*((text(-)3),(0),(0))`

Voor het snijpunt moet gelden: `3r = text(-)3s` , `0 = 2` en `2 - r = 0` .
Dit is niet oplosbaar, is er geen snijpunt.

`DN: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + r*((3),(0),(text(-)1))`

`AC: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + s*((text(-)3),(2),(0))`

Voor het snijpunt moet gelden: `3r = 3+3s` , `0 = 2s` en `2 - r = 0` .
Dit stelsel heeft geen oplossing. De lijnen snijden elkaar daarom niet.

Omdat het altijd gaat om de kortste afstand en de kortste afstand is altijd de "loodrechte" afstand.

`((text(-)8 - t),(text(-)12 + 5t),(text(-)2 + t))*((text(-)1),(5),(1)) = 0`

`8+t-60+25t-2+t=0` geeft `27t=54` en dus `t=2` .

`vec(PQ)= ((text(-)8-2), (text(-)12+5*2), (text(-)2+2))=((text(-)10), (text(-)2), (0))` , dus `text(d)(P,AB)=|vec(PQ)| = sqrt((text(-)10)^2+(text(-)2)^2+0^2)=sqrt(104)` .

`A(1, 1, 2)` , `B(0, 6, 3)` en `P(9, 13, 4)`

Een mogelijke vectorvoorstelling van lijn `AP` is:

`((x),(y),(z))=((1),(1),(2))+t((8),(12),(2))` .

Een willekeurig punt `Q` op lijn `AP` heeft coördinaten `(1 +8t, 1 + 12t, 2 + 2t)` .

Nu is `vec(BQ) = ((1 +8t ),(1 + 12t - 6),(2 + 2t - 3)) = ((1+8t),(text(-)5 + 12t),(text(-)1 + 2t))` .

Je zoekt het punt `Q` , zodat `vec(BQ)` loodrecht staat op `vec(AP)` . Er moet dus gelden dat `vec(BQ) * vec(AP) = 0` .

`vec(BQ) * vec(AP) =((1+8t),(text(-)5 + 12t),(text(-)1 + 2t))*((8),(12),(2)) = 0` geeft `8+64t-60+144t-2+4t=212t-54=0` en dus `t=27/106` .
Dus `vec(BQ)= ((161/53), (text(-)103/53), (text(-)26/53))` .

`text(d)(B, AP)=|vec(PQ)| = sqrt((161/53)^2+(text(-)103/53)^2+(text(-)26/53)^2) ~~3,64` .
De afstand van punt `B` tot lijn `AP` is ongeveer `3,64` .

De richtingsvector van lijn `m` is `text(-)2` keer de richtingsvector van lijn `l` .

Omdat de lijnen op elke plaats even ver van elkaar liggen, is de afstand gelijk aan die van een willekeurig punt van lijn `m` (of `l` ) tot lijn `l` (of `m` ).
Neem bijvoorbeeld het punt `P(text(-)5, 1, 2)` van lijn `m` en berekenen de afstand tot lijn `l` .

Een willekeurig punt van lijn `l` is te schrijven als `(3-r, r, 2+4r)` .
Je zoekt het punt `R` van lijn `l` zodat de vector `vec(PR)` loodrecht staat op lijn `l` , ofwel het inproduct van `vec(PR)` met de richtingsvector van lijn `l` moet `0` zijn.
`PR=((3-r-text(-)5), (r-1), (2+4r-2))=((8-r), (r-1), (4r))` .
Dus: `((8-r), (r-1), (4r))*((text(-)1), (1), (4))=r-8+r-1+16r=18r-9=0` .

Hieruit volgt: `r=0,5` .

Invullen de vector `vec(PR)` geeft `(({:7,5:}), ({:text(-)0,5:}), (2))` .
De afstand van lijn `l` tot lijn `m` is de lengte van vector `vec(PR)` .

`text(d)(l, m)=|vec(PR)|=sqrt(7,5^2+(text(-)0,5)^2+2^2)=sqrt(60,5)~~7,78` .

`P(3, 0, 2 )`

`vec(CP)=((3),(text(-)3),(2))` en `|vec(CP)|=sqrt(3^2+(text(-)3)^2+2^2)=sqrt(22)` .

`CP: ((x),(y),(z))=((0),(3),(0))+p((3),(text(-)3),(2))`

`AG: ((x),(y),(z))=((3),(0),(0))+q((text(-)1),(1),(1))`
Het inproduct van de twee richtingsvectoren is: `((3),(text(-)3),(2))*((text(-)1),(1),(1))=text(-)4=sqrt(22)*sqrt(3)*cos(varphi)` .
Uit `cos(varphi)=(text(-)4)/(sqrt(22)*sqrt(3))` volgt `varphi~~119^@` .
Aangezien je de scherpe hoek moet hebben is `/_(CP,AG)~~61^@`

`CP: ((x),(y),(z))=((0),(3),(0))+p((3),(text(-)3),(2))` en `AG: ((x),(y),(z))=((3),(0),(0))+q((text(-)1),(1),(1))`
Voor het snijpunt moet gelden: `3p=3-q` en `3-3p=q` en `2p=q` .
Substitueer `q=2p` en je krijgt `3p=3-2p` , dus `p=3/5` .
Invullen in de vectorvoorstelling van `CP` geeft het snijpunt `(1,8 ; 1,2 ; 1,2 )` .

`F(3, 3, 3), G(text(-)3, 3, 3)` en `H(text(-)3, text(-)3, 3)`

Met verhoudingen kun je berekenen dat `T(0, 0, 12)` .
(Als je van punt `A` naar punt `E` loopt, dan neemt de `x` -coördinaat `1` af, terwijl de hoogte `3` toeneemt, als je zo doorgaat kom je op een hoogte van `12` bij `x=0` ).

`AG: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)4),(0))+r((text(-)7),(7),(3))` en `BH: ((x),(y),(z))=((4),(4),(0))+s((text(-)7),(text(-)7),(3))` .

Voor snijpunt moet gelden: `4-7r=4-7s` , `text(-)4+7r=4-7s` en `3r=3s` .

Hieruit volgt `r=s=4/7` , dit invullen in `AG` geeft snijpunt `(0, 0, 12/7)` .

Bereken het inproduct van de richtingsvectoren van de twee lijnen.

`((text(-)7),(7),(3))*((text(-)7),(text(-)7),(3))=9=sqrt(107)*sqrt(107)*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=9/107` , hieruit volgt `varphi=/_(AG,BH)~~85^@` .

`AE: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)4),(0))+r((text(-)1),(1),(3))`
Een willekeurig punt van `AE` is te schrijven als `(4-r,text(-)4+r,3r)` .

Je zoekt dat punt `P` zodat vector `vec(OP)` loodrecht staat op vector `vec(AE)` .

`((4-r),(text(-)4+r),(3r))*((text(-)1),(1),(3))=0` geeft `r-4-4+r+9r=0` en `r=8/11` .
`vec(OP)=((36/11), (text(-)36/11), (24/11))` .
`text(d)(O, AE)=|vec(OP)|=sqrt((36/11)^2+(text(-)36/11)^2+(24/11)^2)~~5,12` .

`AE: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)4),(0))+r((text(-)1),(1),(3))`
Willekeurig punt van `AE` is te schrijven als `(4-r,text(-)4+r,3r)` .

Je zoekt dat punt `Q` op `AE` zodat vector `vec(BQ)=((4-r-4),(text(-)4+r-4),(3r-0))=((text(-)r),(r-8),(3r))` loodrecht staat op vector `vec(AE)` .

`((text(-)r),(r-8),(3r))*((text(-)1),(1),(3))=0` geeft `r+r-8+9r=11r-8=0` en `r=8/11` .
`vec(BQ)=((text(-)8/11), (text(-)80/11), (24/11))`
`text(d)(B, AE)=|vec(BQ)|=sqrt((text(-)8/11)^2+(text(-)80/11)^2+(24/11)^2)~~7,63`

`M(text(-)2, 0, 2)` , dus `vec(DM)=((text(-)2), (4), (2))` .
`|vec(DM)|=sqrt((text(-)2)^2+4^2+2^2)=sqrt(24)` .

`vec(DM)=((text(-)2), (4), (2))` en `vec(CT)=((4), (0), (4))` .

Het inproduct van deze twee vectoren is `text(-)8 + 8 = 0` , dus `DM` en `CT` staan loodrecht op elkaar.

`S` is het snijpunt van de lijn `AM` met de `z` -as. De `x` -coördinaat en de `y` -coördinaat zijn allebei `0` en de `z` -coördinaat is `2/3*2=4/3` , dus `S(0, 0, 4/3)` .

`P` is het snijpunt van de lijn door `S` evenwijdig met de `y` -as met `BT` .

De `x` -coördinaat daarvan is `0` en de `z` -coördinaat `4/3` .

De `y` -coördinaat is `4/3*2=8/3` .

Dus `P(0, 8/3, 4/3)` . Hieruit volgt ook dat `Q` de coördinaten `(0, text(-)8/3, 4/3)` heeft.

Eerst het snijpunt `S` van `AM` en `OT` bepalen.
`AM: ((x),(y),(z)) = ((4),(0),(0))+p((text(-)6),(0),(2))`
`OT: ((x),(y),(z)) = q((0),(0),(4))`
Voor snijpunt `S` moet gelden: `4-6p=0` en `2p=4q` .
Hieruit volgt `p=2/3` . Invullen in de vectorvoorstelling van `AM` geeft `S(0, 0, 4/3)` .

Nu de lijn `m` door punt `S` en evenwijdig aan de `y` -as snijden met `BT` en `DT` .
`m: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(4/3))+r((0),(1),(0))`
`BT: ((x),(y),(z)) = ((0),(4),(0))+s((0),(text(-)4),(4))`
`DT: ((x),(y),(z)) = ((text(-)4),(0),(0))+t((0),(4),(4))`

Eerst lijn `m` snijden met `BT` , er moet gelden: `r=4-4s` en `4/3=4s` .
Hieruit volgt `s=1/3` , dit invullen in de vectorvoorstelling van `m` geeft `P(0, 8/3, 4/3)` .

`Q` ligt gespiegeld in de `y` -as aan de andere kant, dus `Q(0, text(-)(8)/3, 4/3)` .
(Of je berekent `Q` op de manier als hierboven)

De lengte is `|AM|= sqrt((text(-)6)^2+2^2)=sqrt(40)` .
De breedte is `|PQ|= 16/3` .
Dus de oppervlakte is: `1/2*16/3*sqrt(40)=8/3sqrt(40)` .

Voor het snijpunt moet gelden: `2-p=6+2q` , `4+2p=11+q` en `1+4p=12+q` .

Je vindt `q=text(-)3` en `p=2` .
Controleer wel dat dit bij alle drie de vergelijkingen klopt.

Het snijpunt is `(0, 8, 9)` .

Voor het snijpunt moet gelden: `5+r=2-6s` , `3-r=3s` en `2+3r=4+2s` .

Met de eerste twee vergelijkingen vind je `s=text(-)2` en `r=9` .
Als je deze waarden invult in de derde vergelijking, dan klopt het niet ( `29≠0` ), dus de lijnen snijden elkaar niet.

Omdat `vec(GF)=vec(DE)=((4), (0), (text(-)1)) ` .
Ga je nu vanuit punt `G` in dezelfde richting als `vec(DE)` dan kom je uit bij `F(4, 3, 2)` .

Merk op dat `/_EFG=/_EDG` en `/_DEF=/_DGF` en `/_DEF+/_EFG=180^@` .
Dus als je `/_DEF=/_(EF,ED)` weet, dan weet je ze alle vier.
`vec(EF)=((0), (3), (text(-)2))` en `vec(ED)=((text(-)4), (0), (1))` .

Inproduct: `text(-)2=sqrt(13)*sqrt(17)*cos(varphi)` geeft `cos(varphi)=(text(-)2)/(sqrt(13)*sqrt(17))` en `varphi=/_DEF~~98^@` .

`/_DEF=/_DGF~~98^@` en `/_EFG=/_EDG~~82^@`

`DF: ((x), (y), (z))=((0), (0), (5))+p((4), (3), (text(-)3))` en `OB: ((x), (y), (z))=q((4), (3), (0))` .
Voor het snijpunt moet gelden: `4p=4q` , `3p=3q` en `5-3p=0` .

Hieruit volgt `p=q=5/3` , invullen in `OB` geeft snijpunt `S(6 2/3, 5, 0)` .

`DE: ((x), (y), (z))=((0), (0), (5))+r((4), (0), (text(-)1))`
Punt `P` van `DE` is te schrijven als `P(4r, 0, 5-r)` .
Nu moet `FP=((4r-4), (text(-)3), (3-r))` loodrecht staan op `DE` .

Het inproduct van de richtingsvector van `DE` en `vec(FP)` is `0` geeft:

`4(4r-4)-(3-r)=0` , zodat `r=19/17` en `FP=((8/17), (text(-)3), (32/17))` .

`|FP|=text(d)(F, DE)=sqrt((8/17)^2+(text(-)3)^2+(32/17)^2)~~3,57` .

Vierhoek `DEFG` is een parallellogram en de oppervlakte van een parallellogram is `text(basis)*text(hoogte)` , waarbij in dit geval `DE` de basis is en `text(d)(F, DE)` de hoogte.
`|DE|=sqrt(4^2+0^2+1^2)=sqrt(17)` .
Dus oppervlakte vierhoek `DEFG` is `sqrt(17)*3,572...~~14,73` .

`AT: ((x),(y),(z))=((5),(1),(0))+p((-1),(1),(2))` en `CT: ((x),(y),(z))=((3),(5),(0))+q((0),(-1),(2))` .

`~~57^@`

`(text(-)1, 1, 0)`

`text(d)(A, DT) = sqrt(56)`