Meetkunde in 3D > Lijnen en hoekenVoorbeeld 3
Gegeven zijn de punten `A(1, 1, 2)` , `B(0, 6, 3)` en `P(9, 13, 4)` .
Bereken de afstand van punt `P` tot lijn `AB` .
Een mogelijke vectorvoorstelling van lijn `AB` is:
`((x),(y),(z))=((1),(1),(2))+t((text(-)1),(5),(1))` .
Een willekeurig punt `Q` op lijn `AB` heeft coördinaten `(1 - t, 1 + 5t, 2 + t)` .
Nu is `vec(PQ) = ((1 - t - 9),(1 + 5t - 13),(2 + t - 4)) = ((text(-)8 - t),(text(-)12 + 5t),(text(-)2 + t))` .
Je zoekt het punt `Q` , zodat `vec(PQ)` loodrecht staat op `vec(AB)` . Er moet dus gelden dat `vec(PQ) * vec(AB) = 0` .
`vec(PQ) * vec(AB) =((text(-)8 - t),(text(-)12 + 5t),(text(-)2 + t))*((text(-)1),(5),(1)) = 0`
Dit geeft
`27t = 54`
en dus
`t=2`
.
Dus
`vec(PQ)= ((text(-)10), (text(-)2), (0))`
en
`d(P,AB)=|vec(PQ)| = sqrt(104)`
.
Dus
`text(d)(P, AB) = sqrt(104)`
.
Bekijk
Waarom moet gelden dat `vec(PQ) * vec(AB) = 0` ?
Reken na dat `t=2` .
Reken na dat `sqrt(104)` de afstand van `P` tot lijn `AB` is.
Bereken de afstand van `B` tot lijn `AP` . Rond af op twee decimalen.
Gegeven zijn de punten `K(3, 3, 0)` , `L(0, 0, 4)` en `M(3, text(-)1, 2)` .
Lijn `l` gaat door de punten `L` en `M` .
Bereken exact de afstand van punt `K` tot lijn `l ` .
Gegeven zijn de lijnen `l: ((x), (y), (z))=((3), (0), (2))+r((text(-)1), (1), (4))` en `m: ((x), (y), (z))=((text(-)5), (1), (2))+s((2), (text(-)2), (text(-)8))` .
Waarom lopen de lijnen `l` en `m` evenwijdig?
Bereken de afstand van lijn `l` tot lijn `m` . Rond af op twee decimalen.