Gegeven is de balk
`OABC.DEFG`
met
`A(3, 0, 0)`
,
`C(0, 3, 0)`
en
`D(0, 0, 4)`
.
Verder is
`S`
het snijpunt van de lijnstukken
`CF`
en
`BG`
.
Je wilt de afstand van
`O`
tot de lijn door de punten
`E`
en
`S`
berekenen.
Deze afstand wordt genoteerd als
`d(O,ES)`
.
Een mogelijke vectorvoorstelling van
`ES`
is:
`((x),(y),(z)) = ((3),(0),(4)) + t((text(-){:1,5:}),(3),(text(-)2))`
Elk punt `P` voldoet aan de parametervoorstelling `(x, y, z) = (3 - 1,5t; 3t; 4 - 2t)` .
De (kortste) afstand van
`O`
tot lijn
`ES`
schrijf je als
`text(d)(O, ES)`
.
Die afstand is de kortste lengte van
`vec(OP)`
.
Nu is `vec(OP) = ((3-{:1,5:}t),(3t),(4-2t))` zo kort mogelijk als deze vector loodrecht op `ES` staat.
Dat betekent `vec(OP) * vec(ES) = 0` .
En dus komt de vraag naar de afstand van `O` tot lijn `ES` neer op het berekenen van die waarde van `t` waarvoor dit het geval is en vervolgens het berekenen van de bijbehorende lengte van `vec(OP)` .
De waarde van `t` waarvoor dit geldt is `50/61` en de bijbehorende lengte van `vec(OP)` ongeveer `3,84` .
Bekijk
Ga na dat `((x),(y),(z)) = (({:1,5:}),(3),(2)) + t((3),(text(-)6),(4))` ook een mogelijke vectorvoorstelling van de lijn `ES` is.
Je kunt de waarde van `t` waarbij de minimale afstand optreedt exact berekenen uit het inproduct van `vec(OP)` en `vec(ES)` . Laat dat zien.
Reken na dat de afstand van `O` tot de lijn `ES` ongeveer `3,84` is.