Vectoren in 3D > Lijnen en hoeken
1234567Lijnen en hoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Op achtereenvolgens `O(0, 0, 0)` , `(3, 4, 2)` , `(6, 8, 4)` en `(9, 12, 6)` .

b

De vectoren vanuit `O` naar deze punten hebben allemaal dezelfde richting.

c

`vec(p) = ((3t),(4t),(2t)) = t * ((3),(4),(2))`

d

De lengte van `((3),(4),(2))` is `sqrt(29)` . De tijdseenheid is dus `(sqrt(29))/(3*10^10)` s.

d

Een rechte lijn evenwijdig aan de baan van foton `A` . Op `t=0` zit dit foton in punt `P(1, 0, 2)` .

Opgave 1
a

Deze vectorvoorstelling is ook goed, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn. De plaatsvector is `vec(OS)` en de richtingsvector is `vec(SE)` .

b

Ja, ook deze vectorvoorstelling is goed, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn. In dit geval is de richtingsvector twee keer zo lang als bij a.

c

Je zou kunnen denken aan zoiets als `z = ax + by + c` . Bij elke `(x, y)` -combinatie (dus bij elk punt in het `xy` -vlak) hoort een waarde van `z` , dus je krijgt een vlak van punten die hieraan voldoen.

d

`x` -as: `((x),(y),(z))=p((1),(0),(0))` , 
`y` -as: `((x),(y),(z))=r((0),(1),(0))` en
`z` -as: `((x),(y),(z))=s((0),(0),(1))` .

Opgave 2

`((x),(y),(z))=((2),(5),(5))+lambda*((text(-)3),(text(-)3),(4))`

Opgave 3
a

Bijvoorbeeld `BG: ((x),(y),(z))=((3),(3),(0))+p((text(-)3),(0),(4))` .

b

`/_(SE,BG)~~80^@`

c

Lees af `S(1,5; 3; 2)` .

Neem `t=1,5` in de vectorvoorstelling van `ES: ((x),(y),(z)) = ((3),(0),(4)) + t*((text(-)1,5),(3),(text(-)2))` , dan krijg je punt `S` en
neem `p=0,5` in de vectorvoorstelling van `BG: ((x),(y),(z))=((3),(3),(0))+p((text(-)3),(0),(4))` , ook dan krijg je punt `S` .

c

Je vindt:
`{(3 - 3p = 3 - 1,5t),(3 = 3t),(4p = 4 - 2t):}`

De eerste twee vergelijkingen geven `t = 1` en `p = 0,5` .

Die twee waarden voldoen ook aan de derde vergelijking. En ze leveren op: `x=1,5` , `y=3` en `z=2` , precies de co├Ârdinaten van `S` .

Opgave 4
a

Als je `vec(OS)` als steunvector gebruikt en `2*vec(SE)` als richtingsvector, krijg je de gegeven vectorvoorstelling.

b

Het inproduct tussen de twee vectoren moet 0 opleveren (loodrecht).
`((3-1,5t),(3t),(4-2t))*((text(-)1,5),(3),(text(-)2)) = 0` geeft `t = 50/61` .

c

Vul `t=50/61` in bij `vec(OP)=((3-1,5t),(3t),(4-2t))` :

`vec(OP)=((108/61), (150/61), (144/61))`
`d(O,ES)=|vec(OP)| ~~ 3,84`

Opgave 5

`sqrt(20)`

Opgave 6
a

Bijvoorbeeld `CM: ((x),(y),(z)) = ((0),(2),(0)) + p*((3),(text(-)1),(0))`

b

`M(3, 1, 0)`  
Neem `p=1` bij de vectorvoorstelling van `CM: ((x),(y),(z)) = ((0),(2),(0)) + p*((3),(text(-)1),(0))`  
Je krijgt dan punt `M` .

c

`(2, 4/3, 0)`

d

`((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + s*((text(-)3),(text(-)2),(2))`

Opgave 7
a

`m: ((x),(y),(z))=((3),(2),(2))+p((3),(text(-)2),(1))`

b

`(6, 0, 3)`

c

Met het `yz` -vlak: `(0, 4, 1)` .
Met het `xy` -vlak: `(text(-)3, 6, 0)` .

d

Bijvoorbeeld op de `x` -as geldt `y = 0 ^^ z = 0` . Maar dat levert verschillende waarden voor de parameter `p` op, dus dat kan niet. Dit zelfde geldt voor de andere assen.

Opgave 8
a

Het snijpunt is  `(2, 2/3, 2/3)` .

b

`/_(D M ,C N ) ~~   69 ^@`  

Opgave 9
a

De lijnen liggen in evenwijdige vlakken. De lijnen kunnen elkaar daarom niet snijden.

Je kunt het ook als volgt aantonen:

`DN: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + r*((3),(0),(text(-)1))`

`BC: ((x),(y),(z)) = ((3),(2),(0)) + s*((text(-)3),(0),(0))`

Voor het snijpunt moet gelden:
`3r = text(-)3s`
`0 = 2`  
`2 - r = 0`
Vanwege de tweede 'gelijkheid' is dit niet oplosbaar, is er geen snijpunt.

b

`DN: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + r*((3),(0),(text(-)1))`

`AC: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + s*((text(-)3),(2),(0))`

Voor het snijpunt moet gelden:
`3r = 3+3s`
`0 = 2s`  
`2 - r = 0`
Dit stelsel heeft geen oplossing. De lijnen snijden elkaar daarom niet.

Opgave 10

Omdat het altijd gaat om de kortste afstand en de kortste afstand is altijd de 'loodrechte' afstand.

Opgave 11
a

`((text(-)8 - t),(text(-)12 + 5t),(text(-)2 + t))*((text(-)1),(5),(1)) = 0`

`8+t-60+25t-2+t=0`

`27t=54`

`t=2`

b

`vec(PQ)= ((text(-)8-2), (text(-)12+5*2), (text(-)2+2))=((text(-)10), (text(-)2), (0))` `d(P,AB)=|vec(PQ)| = sqrt((text(-)10)^2+(text(-)2)^2+0^2)=sqrt(104)`

c

ongeveer 3,64

Opgave 12

ongeveer 3,64

Opgave 13
a

De richtingsvector van lijn `m` is `text(-)2` keer de richtingsvector van lijn `l` . 

 

b

`d(l,m)~~7,78`

Opgave 14
a

Het snijpunt is `(0, 8, 9)` .  

b

De lijnen snijden elkaar niet.  

Opgave 15
a


`P(3, 0, 2 )`

b

`vec(CP)=((3),(text(-)3),(2))` en `|vec(CP)|=sqrt(22)` .

c

`CP: ((x),(y),(z))=((0),(3),(0))+p((3),(text(-)3),(2))`  

d

`/_(CP,AG)~~61^@`

e

`(1 ,8 ;1 ,2 ;1 ,2 )`

Opgave 16

`C(0, a, 0)` , `E(a, 0, a)` , `G(0, a, a)` en `M(0,5a;0,5a;0)`  
`vec(GM) = ((0,5a), (text(-)0,5a), (text(-)a))` en `vec(CE) = ((text(-)a), (a), (text(-)a))`
Het inproduct van de twee vectoren is `text(-)0,5a^2+text(-)0,5a^2+a^2 = 0` .
Dus ze staan loodrecht op elkaar.

Opgave 17
a

`F(3, 3, 3), G(text(-)3, 3, 3)` en `H(text(-)3, text(-)3, 3)`

b

`T(0, 0, 12)`

c

`(0, 0, 12/7)`

d

`/_(AG,BH)~~85^@`

Opgave 18
a

ongeveer 5,12

b

ongeveer 7,63

Opgave 19
a

`|vec(DM)|=sqrt(24 )`

b

Ze staan loodrecht op elkaar.

c

`P(0, 8/3, 4/3)` en `Q(0, text(-)(8)/3, 4/3)`

d

`8/3sqrt(40)`

Opgave 20
a

Omdat  `vec(GF)=vec(DE)=((4), (0), (text(-)1)) ` .
Ga je nu vanuit punt `G` in dezelfde richting als `vec(DE)` dan kom je uit bij `F(4, 3, 2)` .

b

`/_DEF=/_DGF~~98^@` en  `/_EFG=/_EDG~~82^@`

c

`S(6 2/3, 5, 0)`  

d

`d(F,DE)~~3,57`  

e

Ongeveer 14,73 

Opgave 21

`b=7` en het snijpunt is `(3, 6, 3)` .

Opgave 22
a

`AT: ((x),(y),(z))=((5),(1),(0))+p((-1),(1),(2))` en `CT: ((x),(y),(z))=((3),(5),(0))+q((0),(-1),(2))` .

b

`~~57` ┬░

c

`(-1, 1, 0)`

d

`sqrt((56 ))`

verder | terug