Vectoren in 3D > Lijnen en hoeken
1234567Lijnen en hoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Op achtereenvolgens , , en .

b

De vectoren vanuit naar deze punten hebben allemaal dezelfde richting.

c

d

De lengte van is . De tijdseenheid is dus s.

d

Een rechte lijn evenwijdig aan de baan van foton . Op zit dit foton in punt .

Opgave 1
a

Deze vectorvoorstelling is ook goed, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn. De plaatsvector is en de richtingsvector is .

b

Ja, ook deze vectorvoorstelling is goed, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn. In dit geval is de richtingsvector twee keer zo lang als bij a.

c

Je zou kunnen denken aan zoiets als . Bij elke -combinatie (dus bij elk punt in het -vlak) hoort een waarde van , dus je krijgt een vlak van punten die hieraan voldoen.

d

-as: ,
-as: en
-as: .

Opgave 2
a

Bijvoorbeeld .

b

Gebruik het inproduct van hun richtingsvectoren.
.
Dus en .

c

Lees af .

Neem in de vectorvoorstelling van , dan krijg je punt en
neem in de vectorvoorstelling van , ook dan krijg je punt .

c

Je vindt:

De eerste twee vergelijkingen geven en .

Die twee waarden voldoen ook aan de derde vergelijking. En ze leveren op: , en , precies de coördinaten van .

Opgave 3
a

Als je als steunvector gebruikt en als richtingsvector, krijg je de gegeven vectorvoorstelling.

b

Het inproduct tussen de twee vectoren moet opleveren (loodrecht).
geeft .

c

Vul in bij :

en .

Opgave 4
a

en .

Een vectorvoorstelling van is:

b


Neem bij de vectorvoorstelling van
Je krijgt dan punt .

c

Dan moet je in de vectorvoorstelling van nemen.
Je krijgt dan punt

d

en .

Een mogelijke steunvector is: .

Een mogelijke richtingsvector is .

De vectorvoorstelling wordt dan: .

Opgave 5
a

en .

Een richtingsvector van en dus ook van lijn , is .

Een mogelijke steunvector voor lijn is: .

Eeb vectorvoorstelling wordt dan:

b

geeft . Je krijgt dan .

c

In het -vlak geldt en dus . Je krijgt dan .
In het -vlak geldt en dus . Je krijgt dan .

d

Bijvoorbeeld op de -as geldt . Maar dat levert verschillende waarden voor de parameter op, dus dat kan niet. Dit zelfde geldt voor de andere assen.

Opgave 6
a

Voor het snijpunt moet gelden: , en .

Dit geeft en .

Het snijpunt wordt dan .

b


Dus en .

Opgave 7
a

De lijnen liggen in evenwijdige vlakken. De lijnen kunnen elkaar daarom niet snijden.

Je kunt het ook als volgt aantonen:

Voor het snijpunt moet gelden: , en .
Dit is niet oplosbaar, is er geen snijpunt.

b

Voor het snijpunt moet gelden: , en .
Dit stelsel heeft geen oplossing. De lijnen snijden elkaar daarom niet.

Opgave 8
a

Omdat het altijd gaat om de kortste afstand en de kortste afstand is altijd de "loodrechte" afstand.

b

geeft en dus .

c

, dus .

d

, en

Een mogelijke vectorvoorstelling van lijn is:

.

Een willekeurig punt op lijn heeft coördinaten .

Nu is .

Je zoekt het punt , zodat loodrecht staat op . Er moet dus gelden dat .

geeft en dus .
Dus

.
De afstand van punt tot lijn is ongeveer .

Opgave 9

Een vectorvoorstelling voor de lijn is:

.
Een punt op is te schrijven als .
Nu moet de vector loodrecht staan op , dus hun inproduct moet zijn:

geeft en .
, dus

Opgave 10
a

De richtingsvector van lijn is keer de richtingsvector van lijn .

b

Omdat de lijnen op elke plaats even ver van elkaar liggen, is de afstand gelijk aan die van een willekeurig punt van lijn (of ) tot lijn (of ).
Neem bijvoorbeeld het punt van lijn en berekenen de afstand tot lijn .

Een willekeurig punt van lijn is te schrijven als .
Je zoekt het punt van lijn zodat de vector loodrecht staat op lijn , ofwel het inproduct van met de richtingsvector van lijn moet zijn.
.
Dus: .

Hieruit volgt: .

Invullen de vector geeft .
De afstand van lijn tot lijn is de lengte van vector .

.

Opgave 11
a

b

en .

c

d


Het inproduct van de twee richtingsvectoren is: .
Uit volgt .
Aangezien je de scherpe hoek moet hebben is

e

en
Voor het snijpunt moet gelden: en en .
Substitueer en je krijgt , dus .
Invullen in de vectorvoorstelling van geeft het snijpunt .

Opgave 12

, , en
en
Het inproduct van de twee vectoren is .
Dus ze staan loodrecht op elkaar.

Opgave 13
a

en

b

Met verhoudingen kun je berekenen dat .
(Als je van punt naar punt loopt, dan neemt de -coördinaat af, terwijl de hoogte toeneemt, als je zo doorgaat kom je op een hoogte van bij ).

c

en .

Voor snijpunt moet gelden: , en .

Hieruit volgt , dit invullen in geeft snijpunt .

d

Bereken het inproduct van de richtingsvectoren van de twee lijnen.

geeft , hieruit volgt .

e


Een willekeurig punt van is te schrijven als .

Je zoekt dat punt zodat vector loodrecht staat op vector .

geeft en .
.
.

f


Willekeurig punt van is te schrijven als .

Je zoekt dat punt op zodat vector loodrecht staat op vector .

geeft en .

Opgave 14
a

, dus .
.

b

en .

Het inproduct van deze twee vectoren is , dus en staan loodrecht op elkaar.

c

is het snijpunt van de lijn met de -as. De -coördinaat en de -coördinaat zijn allebei en de -coördinaat is , dus .

is het snijpunt van de lijn door evenwijdig met de -as met .

De -coördinaat daarvan is en de -coördinaat .

De -coördinaat is .

Dus . Hieruit volgt ook dat de coördinaten heeft.

Eerst het snijpunt van en bepalen.


Voor snijpunt moet gelden: en .
Hieruit volgt . Invullen in de vectorvoorstelling van geeft .

Nu de lijn door punt en evenwijdig aan de -as snijden met en .


Eerst lijn snijden met , er moet gelden: en .
Hieruit volgt , dit invullen in de vectorvoorstelling van geeft .

ligt gespiegeld in de -as aan de andere kant, dus .
(Of je berekent op de manier als hierboven)

d

De lengte is .
De breedte is .
Dus de oppervlakte is: .

Opgave 15
a

Voor het snijpunt moet gelden: , en .

Je vindt en .
Controleer wel dat dit bij alle drie de vergelijkingen klopt.

Het snijpunt is .

b

Voor het snijpunt moet gelden: , en .

Met de eerste twee vergelijkingen vind je en .
Als je deze waarden invult in de derde vergelijking, dan klopt het niet (), dus de lijnen snijden elkaar niet.

Opgave 16

Vectorvoorstellingen van en zijn:
en .
Omdat er een snijpunt is, moeten er , en zijn die voldoen aan: , en .

Je vindt hieruit , en .
Vul de -waarde in bij , je krijgt het snijpunt .

Opgave 17Afgeknotte balk
Afgeknotte balk
a

Omdat .
Ga je nu vanuit punt in dezelfde richting als dan kom je uit bij .

b

Merk op dat en en .
Dus als je weet, dan weet je ze alle vier.
en

Inproduct: geeft en

en

c

en .
Voor het snijpunt moet gelden: , en .

Hieruit volgt , invullen in geeft snijpunt .

d


Punt van is te schrijven als .
Nu moet loodrecht staan op .

Het inproduct van de richtingsvector van en is geeft:

, zodat en .

.

e

Vierhoek is een parallellogram en de oppervlakte van een parallellogram is , waarbij in dit geval de basis is en de hoogte.
.
Dus oppervlakte vierhoek is .

Opgave 18
a

en .

b

c

d

verder | terug