Vectoren in 3D > Lijnen en hoeken
1234567Lijnen en hoeken

Voorbeeld 2

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Je ziet hier een balk `OABC.DEFG` met `A(3, 0, 0)` , `C(0,2,0)` en `D(0, 0, 2)` . Verder is `M` het midden van `AB` en `N` dat van `AE` .

Bereken het snijpunt `S` van de lijnen `DN` en `CM` . Welke hoek maken beide lijnen met elkaar?

> antwoord

Stel eerst van beide lijnen een vectorvoorstelling op:

  • `DN: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(2)) + t*((3),(0),(text(-)1))`

  • `CM: ((x),(y),(z)) = ((0),(2),(0)) + p*((3),(text(-)1),(0))`

Denk om het kiezen van twee verschillende parameters!

Voor het snijpunt moet gelden: `3t = 3p` , `0 = 2-p` en `2-t = 0` .

De laatste twee vergelijkingen geven `p=2` en `t = 2` . Die waarden voldoen ook aan de eerste vergelijking, dus er is inderdaad een snijpunt. Het is  `S(6, 0, 0)` .

De hoek die beide lijnen met elkaar maken, bereken je met behulp van het inproduct van hun richtingsvectoren.
`((3),(0),(text(-)1))*((3),(text(-)1),(0))= 9 = sqrt(10)*sqrt(10)*cos(/_(DN,CM))`
Dus `cos(/_(DN,CM)) = 9/10` . Dit geeft `/_(DN,CM) ~~  26^@` .  

Opgave 8

In het voorbeeld wordt verteld hoe je het snijpunt van twee lijnen berekent en de hoek tussen twee lijnen kunt berekenen.

a

Bereken nu zelf het snijpunt van de lijnen `DM` en `CN` .

b

Bereken ook de hoek tussen de twee lijnen `DM` en `CN` . 

Opgave 9

Bekijk nogmaals het voorbeeld.

a

Laat zien dat de lijnen `DN` en `BC` geen snijpunt hebben.

b

Laat zien dat de lijnen `DN` en `AC` geen snijpunt hebben.

verder | terug