Vectoren in 3D > Lijnen en hoeken
1234567Lijnen en hoeken

Voorbeeld 3

Gegeven zijn de punten `A(1, 1, 2)` , `B(0, 6, 3)` en `P(9, 13, 4)` .

Bereken de afstand van punt `P` tot lijn `AB` .

> antwoord

Een mogelijke vectorvoorstelling van lijn `AB` is:

`((x),(y),(z))=((1),(1),(2))+t((text(-)1),(5),(1))` .

Een willekeurig punt `Q` op lijn `AB` heeft coördinaten `(1 - t, 1 + 5t, 2 + t)` .

Nu is `vec(PQ) = ((1 - t - 9),(1 + 5t - 13),(2 + t - 4)) = ((text(-)8 - t),(text(-)12 + 5t),(text(-)2 + t))` .

Je zoekt het punt `Q` , zodat `vec(PQ)` loodrecht staat op `vec(AB)` . Er moet dus gelden dat  `vec(PQ) * vec(AB) = 0` .

`vec(PQ) * vec(AB) =((text(-)8 - t),(text(-)12 + 5t),(text(-)2 + t))*((text(-)1),(5),(1)) = 0`

Dit geeft `27t = 54` en dus `t=2` .
Dus `vec(PQ)= ((text(-)10), (text(-)2), (0))` en `d(P,AB)=|vec(PQ)| = sqrt(104)` .
De afstand van punt `P` tot lijn `AB` is  `sqrt(104)` .

Opgave 10

Reken zelf de afstand in het voorbeeld nog eens na. 
Waarom moet gelden dat  `vec(PQ) * vec(AB) = 0` ?

Opgave 11

Bekijk het voorbeeld.

a

Reken na dat `t=2` .

b

Reken na dat `sqrt(104)` de afstand van `P` tot lijn `AB` is.

c

Bereken de afstand van `B` tot lijn `AP` . Rond af op twee decimalen.

Opgave 12

Bekijk het voorbeeld. 

Bereken de afstand van `B` tot lijn `AP` . Rond af op twee decimalen.

Opgave 13

Gegeven zijn de lijnen   `l: ((x), (y), (z))=((3), (0), (2))+r((text(-)1), (1), (4))` en lijn `m: ((x), (y), (z))=((text(-)5), (1), (2))+s((2), (text(-)2), (text(-)8))` .

a

Waarom lopen de lijnen `l` en `m` evenwijdig?

b

Bereken de afstand van lijn  `l` tot lijn `m` . Rond af op twee decimalen.

verder | terug