Vectoren in 3D > Lijnen en hoeken
1234567Lijnen en hoeken

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Je ziet hier een balk `OABC.DEFG` met punt `S` als snijpunt van `BG` en `CF` . Er is een lijn getrokken door de punten `E` en `S` . Punt `P` is een punt dat over deze lijn beweegt.

Bij elk punt `P` hoort een plaatsvector (of steunvector)
`vec(OP) = vec(OE) + t*vec(ES)`
Dus met kentallen:
`((x),(y),(z)) = ((3),(0),(4)) + t*((text(-)1,5),(3),(text(-)2))` .

Dit noem je een vectorvoorstelling van de lijn waar `P` op ligt.
`vec(ES) = vec(r)`  is een richtingsvector en `vec(OE) = vec(p)`  is een plaatsvector van de lijn.

Je kunt bijvoorbeeld ook `vec(OS)` als plaatsvector en `vec(SE)` als richtingsvector kunnen kiezen. En zo zijn er meer mogelijkheden: de plaatsvector is een vector vanuit `O` naar een punt op de lijn, de richtingsvector is een vector tussen twee punten op de lijn. 

Elk punt `P` op de lijn heeft coördinaten `(x, y, z)=(3 - 1,5t; 3t; 4 - 2t)` , hierin is `t` de parameter. Het is niet mogelijk om in 3D een lijn te beschrijven door middel middel van een vergelijking, alleen door een vectorvoorstelling of een parametervoorstelling.

Als je binnen één context/opgave een tweede lijn, bijvoorbeeld lijn `BG` wilt beschrijven, moet je een andere letter voor de parameter gebruiken (vaak worden ook wel de griekse letters `lambda` en `mu` gebruikt).

De hoek tussen twee lijnen is de hoek tussen hun richtingsvectoren (wel altijd de scherpe hoek). Die bereken je met het inproduct.

Opgave 1

Bekijk de uitleg. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

a

Waarom is `((x),(y),(z))=((1,5),(3),(2))+p*((1,5),(text(-)3),(2))` ook een vectorvoorstelling van de getekende lijn? Welke vectoren zijn dan de plaatsvector en de richtingsvector?

b

En is `((x),(y),(z))=((1,5),(3),(2))+p*((3),(text(-)6),(4))` ook een geschikte vectorvoorstelling? Licht je antwoord toe.

c

Waarom kun je een lijn in 3D niet beschrijven met een vergelijking?

d

Hoe zien de vectorvoorstellingen van de assen er uit?

Opgave 2

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn die door de punten `P(2, 5, 5)` en `Q(text(-)1, 2, 9)` gaat.

Opgave 3

Bekijk de figuur in de uitleg.

a

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn `BG` .

b

Bereken de hoek die de lijnen `SE` en `BG` met elkaar maken.

Je ziet in de figuur dat de lijnen `ES` en `BG` elkaar in `S` snijden.

c

Laat zien, dat punt `S` zowel aan de vectorvoorstelling van `ES` als aan die van `BG` voldoet.

Je kunt de coördinaten van `S` ook krijgen door de `x` -waarden, de `y` -waarden en de `z` -waarden van beide lijnen gelijk te stellen. Je krijgt dan drie vergelijkingen met daarin twee onbekende parameters.

c

Bereken die parameters vanuit twee van de gevonden vergelijkingen. Controleer dat de gevonden waarden ook aan de derde vergelijking voldoen en dat je de coördinaten van `S` krijgt.

verder | terug