Vectoren in 3D > Lijnen en hoeken
1234567Lijnen en hoeken

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Gegeven is de balk `OABC.DEFG` met `A(3, 0, 0)` , `C(0, 3, 0)` en `D(0, 0, 4)` .
Verder is `S` het snijpunt van de lijnstukken `CF` en `BG` .

Je wilt de afstand van `O` tot de lijn door de punten `E` en `S` berekenen.
Deze afstand wordt genoteerd als `d(O,ES)` .

Een mogelijke vectorvoorstelling van `ES` is:
`((x),(y),(z)) = ((3),(0),(4)) + t((text(-)1,5),(3),(text(-)2))`

Elk punt `P` voldoet aan de parametervoorstelling `(x, y, z) = (3 - 1,5t; 3t; 4 - 2t)` .

Als je nu de kortste afstand van `O` tot lijn `ES` wilt berekenen, dan zoek je de kortste lengte van `vec(OP)` .

Nu is `vec(OP) = ((3-1,5t),(3t),(4-2t))` zo kort mogelijk als deze vector loodrecht op `ES` staat.

Dat betekent `vec(OP) * vec(ES) = 0` .

En dus komt de vraag naar de afstand van `O` tot lijn `ES` neer op het berekenen van die waarde van `t` waarvoor dit het geval is en vervolgens het berekenen van de bijbehorende lengte van `vec(OP)` .

De waarde van `t` waarvoor dit geldt is `50/61` en de bijbehorende lengte van `vec(OP)` ongeveer `3,84` .

Opgave 4

Bekijk de uitleg.

a

Ga na dat `((x),(y),(z)) = ((1,5),(3),(2)) + t((3),(text(-)6),(4))`  ook een mogelijke vectorvoorstelling van de lijn `ES` is.

b

Je kunt de waarde van `t` waarbij de minimale afstand optreedt exact berekenen uit het inproduct van `vec(OP)` en `vec(ES)` . Laat dat zien.

c

Reken na dat de afstand van `O` tot de lijn `ES` ongeveer `3,84` is.

Opgave 5

Gegeven zijn de punten `K(3, 3, 0), L(0, 0, 4)` en `M(3, text(-)1, 2)` .

Lijn `l` gaat door de punten `L` en `M` .

Bereken exact de afstand van punt `K`  tot lijn `l ` .

verder | terug