Vectoren in 3D > Lijnen en hoeken
1234567Lijnen en hoeken

Theorie

De plaats van een willekeurig punt `P` dat over een rechte lijn `l` beweegt kun je beschrijven door middel van twee vectoren:

  • de plaatsvector (of steunvector) `vec(p) = ((p_x),(p_y),(p_z))` vanuit `O` naar een vast punt van de lijn;

  • een richtingsvector `vec(r) = ((r_x),(r_y),(r_z))` tussen twee punten van de lijn.

Door `t` te variƫren, wijst er naar elk punt `P(x, y, z)` van lijn `l` een vector `((x),(y),(z)) = ((p_x),(p_y),(p_z)) + t * ((r_x),(r_y),(r_z))` .

Dit noem je een vectorvoorstelling van de lijn `l` .
De richtingsvector kun je vergroten of verkleinen of de andere kant op laten wijzen.

Voor elk punt `P` geldt `(x, y, z) = (p_x + t*r_x, p_y + t*r_y, p_z + t*r_z)` , dit noem je een parametervoorstelling van de lijn.

Onder de hoek tussen twee lijnen versta je de scherpe hoek die beide lijnen met elkaar maken. Je kunt die hoek berekenen door de hoek tussen beide richtingsvectoren te berekenen. Als die hoek `alpha` is, is de hoek tussen beide lijnen de kleinste van de hoeken `alpha` en `180^(text(o)) - alpha` . De hoek tussen bijvoorbeeld de lijnen `l` en `m` wordt ook wel genoteerd als `/_(l,m)` .

Het snijpunt van twee lijnen bereken je door de `x` -, de `y` - en de `z` -waarden van hun parametervoorstellingen aan elkaar gelijk te stellen.

De afstand van een punt tot een lijn bereken je door de lengte van de vector `vec(AP)` vanuit het gegeven punt `A` naar een variabel punt `P` op de lijn te minimaliseren (de vector `vec(AP)` staat dan loodrecht op die lijn). De afstand tussen bijvoorbeeld het punt `P` en een lijn `l` wordt ook wel genoteerd als `d(P,l)` .

verder | terug