Omdat `|MP| + |PQ| = 8` (ze vormen samen de straal van de gegeven cirkel).

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) + sqrt((3 - x)^2 + y^2) = 8`

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) = 8 - sqrt((3 - x)^2 + y^2)` kwadrateren geeft `(x + 3)^2 + y^2 = 64 - 16 sqrt((3 - x)^2 + y^2) + (3 - x)^2 + y^2` en dus `3x - 16 = -4 sqrt((3 - x)^2 + y^2)` .
Nog maar eens kwadrateren: `9x^2 - 96x + 256 = 16(9 - 6x + x^2 + y^2)` .
Dit kun je omschrijven naar de gewenste vorm.

`16 = 4^2` en `4` is de halve straal van de cirkel.

`7 = 16 - 9 = 4^2 - 3^2` . `4` is de halve straal van de cirkel en `3` is de afstand van `F` tot `O` .

`sqrt(4^2 - 3^2) = sqrt(7) ~~ 2,65`

`x = 4 cos(t)` en `y = sqrt(7) sin(t)` invullen geeft `cos^2(t) + sin^2(t) = 1` en dat klopt voor elke `t` . (Bekend goniometrisch verband.)

`(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(t))/(x'(t)) = (sqrt(7) cos(t))/(text(-)4 sin(t))` .
Horizontale raaklijn: `cos(t) = 0 ^^ sin(t) != 0` geeft `t = 0,5pi vv t = 1,5pi` en daarbij horen de punten `(0, sqrt(7))` en `(0, text(-)sqrt(7))` .
Horizontale raaklijn: `sin(t) = 0 ^^ cos(t) != 0` geeft `t = 0 vv t = pi` en daarbij horen de punten `(4, 0)` en `(text(-)4, 0)` .

`x = 4 cos(t) = 2` geeft `t = 1/6 pi vv t = 5/6 pi` .
Dit levert twee punten op waarvan `P(2, 1/2 sqrt(21))` het juiste is. In dat punt is `(text(d)y)/(text(d)x) = (sqrt(7) cos(1/6 pi))/(-4 sin(1/6 pi)) = - 1/12 sqrt(21)` . De raaklijn wordt `y = - 1/12 x sqrt(21) + 2/3 sqrt(21)` .

`x(t) = 3 + 4 cos(t)` en `y(t) = 2 + sqrt(7) sin(t)` .

`((x - 3)^2)/16 + ((y - 2)^2)/7 = 1`

Snijpunten `x` -as: `y = 0` geeft `((x - 3)^2)/16 + 4/7 = 1` en dit levert de punten `(3 +- 4/7 sqrt(21), 0)` .
Snijpunten `y` -as: `x = 0` geeft `9/16 + ((y - 2)^2)/7 = 1` en dit levert de punten `(0, 3 3/4)` en `(0, 1/4)` op.

`Q` op de richtcirkel dus `|MQ| = 4` en `|MP| - |PQ| = |MQ| = 4` en dus ook `|MP| - |PF| = 4` .

`P(x,y)` geeft `sqrt((x + 3)^2 + y^2) - sqrt((x - 3)^2 + y^2) = 4` .

`sqrt((x + 3)^2 + y^2) = 4 + sqrt((x - 3)^2 + y^2)` en dan kwadrateren geeft `12x - 16 = 8 sqrt((x - 3)^2 + y^2)` en dan nog maar eens kwadrateren geeft `5x^2 - 4y^2 = 20` en dan krijg je `(x^2)/4 - (y^2)/5 = 1` .

`4` is het kwadraat van de helft van de straal van de richtcirkel.

`5 = 3^2 - 2^2` , dus is `(text(d)(F,O))^2 - (1/2 text(straal))^2` .

Een punt `P` op die tweede tak ligt meestal veel dichter bij de richtcirkel dan bij `F` . Er zijn zelfs twee plaatsen waar `text(d)(P,c) = 0` , terwijl `text(d)(P,F) > 0` .

Substitueer `x = 2/(cos(t))` en `y = sqrt(5) * (sin(t))/(cos(t))` in de vergelijking `(x^2)/4 - (y^2)/5 = 1` . Dit geeft `(1 - sin^2(t))/(cos^2(t)) = 1` en dat klopt voor elke `t` omdat `1 - sin^2(t) = cos^2(t)` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(t))/(x'(t)) = (sqrt(5))/(2 sin(t))` .
Raaklijn verticaal als `sin(t) = 0` dus als `x = k*pi` . Dit levert op: `(+-2, 0)` .

`x = 4` geeft `cos(t) = 1/2` en dus `t = +- 1/3 pi + k * 2pi` .
Voor het bedoelde punt geldt `t = 1/3 pi` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/3 sqrt(15)` en `y = sqrt(15)` .
De vergelijking van de raaklijn is `y = 1/2 x sqrt(15) - 1/3 sqrt(15)` .

`((x - 3)^2)/4 - ((y - 2)^2)/5 = 1`

`x = 0` geeft `9/4 - ((y - 2)^2)/5 = 1` en dus `y = 4,5 vv y = text(-) 0,5` . De gevraagde punten zijn `(0; text(-)0,5)` en `(0; 4,5)` .
`y = 0` geeft `((x - 3)^2)/4 - 4/5 = 1` en dus `x = 3 +- 6/5sqrt(5)` . De gevraagde punten zijn `(3 +- 6/5sqrt(5), 0)` .

`(a,b)` op de ellips, dan ook `(a,text(-)b)` op de ellips. Dit klopt.

`(a,b)` op de ellips, dan ook `(text(-)a,text(-)b)` op de ellips. Dit klopt.

`m = 0,5r` en `m` is ook de helft van de lengte van het lijnstuk tussen de twee punten op de ellips die op de lijn door de twee brandpunten liggen. Je zegt wel dat `m` de helft van de horizontale as van de ellips is.

`n = sqrt((0,5r)^2 - p^2)` en `n` is de helft van de lengte van het lijnstuk tussen de twee punten op de ellips recht boven en recht onder het centrum van symnetrie. Je zegt wel dat `n` de halve lengte van de verticale as van de ellips is.

Doen.

`((x - a)^2)/(m^2) + ((y - b)^2)/(n^2) = 1`

Invullen in `(x^2)/(m^2) + (y^2)/(n^2) = 1` geeft `sin^2(t) + cos^2(t) = 1` en dat klopt voor elke `t` .

`x = a + m*cos(t)` en `y = b + n*sin(t)` .

Doen.

De gegeven definitie met één brandpunt en een richtcirkel geeft maar één tak van de hyperbool. Deze definitie beschrijft beide takken.

`m = 0,5r` en `m` is ook de afstand tussen beide punten op de hyperbool die liggen op de lijn door beide brandpunten.

`((x - a)^2)/(m^2) - ((y - b)^2)/(n^2) = 1`

Invullen in `(x^2)/(m^2) + (y^2)/(n^2) = 1` .

`x = a + m/(cos(t))` en `y = b + (n sin(t))/(cos(t))` .

`(x,y)` op de ellips betekent `((x - 6)^2)/16 + ((y - 4)^2)/9 = 1` .
`(x, 8 - y)` op de ellips betekent `((x - 6)^2)/16 + ((8 - y - 4)^2)/9 = 1` . En dat is hetzelfde, want `(8 - y - 4)^2 = (4 - y)^2 = (y - 4)^2` voor elke `y` .

De lijn `x = 6` . Het bewijs gaat net als bij b.

Maak een constructie in GeoGebra.

`((x - a)^2)/(m^2) + ((y - b)^2)/(n^2) = 1` is de standaardvergelijking van een ellips met `(a,b)` als centrum. Het centrum is `(2,1)` want dit ligt midden tussen beide brandpunten.
`m = 0,5r` en `r = 6` dus `m = 3` .
`n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 3^2 - 2^2 = 5` .

Doen.

`(text(d)y)/(text(d)x) = (sqrt(5) cos(t))/(-3 sin(t))` .
`x = 0,5` geeft `3 cos(t) + 2 = 0,5` en dus `t = 2/3 pi + k * 2pi vv t = 1 1/3 pi + k * 2pi` .
De gevraagde hellingwaarden zijn dus `+- 1/9 sqrt(15)` .

Doen.

`m = 2` en `n = 4` en het centrum van de hyperbool is `(1, 2)` .
`m = 0,5r` geeft `r = 4` .
`n^2 = p^2 - (0,5r)^2` geeft `16 = p^2 - 4` en dus `p = +-sqrt(20)` .
De brandpunten zijn `F_1(1 - sqrt(20), 2)` en `F_1(1 + sqrt(20), 2)` . Deze redenering gaat alleen op omdat beide brandpunten op een horizontale lijn liggen. Bij het opstellen van de standaardvergelijking is immers uitgegaan van brandpunten op de `x` -as.

`M = F_1` of `M = F_2` en de straal is `4` .

Doen, zie het voorbeeld.

In `(4, 2+2sqrt(5))` is `a=6/(sqrt(5))` en dit geeft `y = 6/(sqrt(5)) x + 2 - 2,8sqrt(5)` .
In `(4, 2-2sqrt(5))` is `a=text(-)6/(sqrt(5))` en dit geeft `y = text(-)6/(sqrt(5)) x + 2 + 2,8sqrt(5)` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = 1` geeft `8 - 8x = 4 - 2y` en dit schrijf je als `y = 4x - 2` .
Invullen in de vergelijking van de hyperbool: `4x^2 - (4x - 2)^2 - 8x + 4(4x - 2) = 16` .
Dit is een kwadratische vergelijking die geen oplossingen heeft. Conclusie: die punten zijn er niet.

Als `(x,y)` op de lemniscaat, dan ook `(x, text(-)y)` op de lemniscaat.

`2y * y' = (32x - 16x^3) * x'` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = (y')/(x') = (32x - 16x^3)/(2y)` .

Raaklijn evenwijdig aan de `x` -as: `32x - 16x^3 = 0` geeft `x = 0 vv x = +-sqrt(2)` . Dit geeft vier punten, namelijk `(+-sqrt(2), +-4)` .

`y = ax` invullen geeft `a^2x^2 = 4x^2(4 - x^2)` .
Deze vergelijking heeft als oplossing `x = 0 vv x = +-(sqrt(16 - a^2))/2` . Er is sprake van een raaklijn als er maar één oplossing is. Dit is het geval als `16 - a^2 = 0` en dus als `a = +-4` .
De raaklijnen zijn `y = +-4x` .

`y = px` geeft (zie vorige) `x = 0 vv x = +-(sqrt(16 - p^2))/2 = +-sqrt(4 - 0,25p^2)` .
De bijbehorende `y` -waarden zijn `y = +-p sqrt(4 - 0,25p^2)` en `0` .
De afstand van `O` tot het punt `(sqrt(4 - 0,25p^2), p sqrt(4 - 0,25p^2))` is `a(p) = sqrt(4 - 0,25p^2 - p^2(4 - 0,25p^2)) = sqrt(15)` . Dit geeft `p = +-2 vv p = +-sqrt(11)` .

`x = 2 cos(t)` geeft `y^2 = 16cos^2(t)(4 - 4 cos^2(t)) = 16 sin^2(2t)` . Dus `y = 4 sin(2t)` , klopt.

`(text(d)y)/(text(d)x) = (8 cos(2t))/(-2 sin(t))`
In `(0,0)` is `2 cos(t) = 0 ^^ 4 sin(2t) = 0` , dus `t = 1/2 pi + k * pi` .
Dit levert twee hellingsgetallen op, namelijk `+-4` .

Ga uit van `F_1 = (-3, 2)` , `F_2 = (5, 2)` en `P = (1,5)` .
Symmetriecentrum is `C(1,2)` , dus de vergelijking wordt `((x - 1)^2)/(m^2) + ((y - 2)^2)/(n^2) = 1` .
Nu is `m = 0,5r` en `n^2 = (0,5r)^2 - p^2` terwijl `r = |F_1 P| + |F_2 P| = 10` en `p = |CF_1| = 4` .
Dus krijg je `((x - 1)^2)/(25) + ((y - 2)^2)/(9) = 1` .

Ga uit van `F_1 = (-3, 2)` , `F_2 = (5, 2)` en `P = (5,8)` .
Symmetriecentrum is `C(1,2)` , dus de vergelijking wordt `((x - 1)^2)/(m^2) - ((y - 2)^2)/(n^2) = 1` .
Nu is `m = 0,5r` en `n^2 = p^2 - (0,5r)^2` terwijl `r = |F_1 P| - |F_2 P| = 4` en `p = |CF_1| = 4` .
Dus krijg je `((x - 1)^2)/(4) - ((y - 2)^2)/(12) = 1` .

Uit de vergelijking van de richtcirkel volgt `r = 3` .
Verder is `M = F_1 = (0,0)` en `F = F_2 = (0, 2)` . Dit geeft `p = |CF_1| = 1` .
Je krijgt dan `(x^2)/(2,25) + ((y-1)^2)/(1,25) = 1` .

Herleid de vergelijking van de ellips tot `(x - 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 4` en `((x - 2)^2)/(4)+ ((y - 1)^2)/(1) = 1` .
Je krijgt nu `m^2 = (0,5r)^2 = 4` en `n^2 = (0,5r)^2 - p^2 = 1` . Dit geeft `r = 4` en `p = +-sqrt(3)` .
De brandpunten zijn `(2 +- sqrt(3), 1)` .

`P(x,y)` en `P'(4 - x, 2 - y)` voldoen beide aan de vergelijking van de ellips.

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft `4(y - 1)^2 = 4 - 4y` en hieruit volgt `y = 0 vv y = 1` .
Zo vind je de snijpunten `(2,0)` , `(0,1)` en `(4,1)` .

In `(2,0)` is de hoek tussen beide krommen `0` °.
In `(0,1)` en `(4,1)` bereken je de hoek door beide hellingwaarden uit te rekenen.
De raaklijn aan de ellips maakt in die punten een hoek van `90` ° met de `x` -as.
Door impliciet differentiëren vind je voor de parabool `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/2 x - 1` , dus in `(0,1)` is de hellingwaarde `-1` . De hoek die de raaklijn aan de parabool daar met de `x` -as maakt is `45` °. De krommen maken daarom een hoek van `45` ° met elkaar.
In `(4,1)` ga je op dezelfde manier te werk. Ook daar vind je een hoek van `45` ° tussen beide krommen.

De snijpunten met de `x` -as zijn `(+-1,0)` . Snijpunten met de `y` -as zijn er niet.

`m^2 = (0,5r)^2 = 1` en `n^2 = p^2 - (0,5r)^2 = 1` geeft `p = +-sqrt(2)` . De brandpunten zijn `F_1(-sqrt(2),0)` en `F_2(sqrt(2),0)` .

Impliciet differentiëren geeft `(text(d)y)/(text(d)x) = (2x)/(2y)` .
Bij `x = 2` hoort `y = +-sqrt(3)` en in de bijbehorende punten zijn de hellingwaarden `+- 2/3 sqrt(3)` . De vergelijkingen van de raaklijnen zijn `y = +- 2/3 x sqrt3 -+ 4/3 sqrt3` .

De vergelijking van `l` is `y = 0,5x + 0,5` .
Deze lijn snijden met de hyperbool geeft de snijpunten `(-1,0)` en `(5/3, 4/3)` .
In `(-1,0)` is er geen hellingwaarde, dus de raaklijn is daar evenwijdig aan de `y` -as.
In `(5/3, 4/3)` is de hellingwaarde `1,25` en de hellingshoek dus `arctan(1,25) ~~ 51` °.
De gevraagde hoek is ongeveer `39` °.

Snijpunten uitdrukken in `p` . Laat vervolgens zien dat in die snijpunten de raaklijnen niet loodrecht op elkaar staan (voor geen enkele `p` ).

`x = 2 + 2 cos(t)` geeft `cos(t) = (x - 2)/2` .
Omdat `sin^2(t) + cos^2(t) = 1` krijg je `((x - 2)^2)/4 + y^2 = 1` .

`y = x - 1` invullen in de vergelijking van de ellips geeft `x = 2 vv x = 0,4` . De snijpunten zijn `A(2,1)` en `B(0,4; text(-)0,6)` . En `|AB| = sqrt(1,6^2 + 1,6^2) = 1,6 sqrt(2)` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = (-cos(t))/(2 sin(t))` .
In `A(2,1)` is `2 + 2 cos(t) = 2 ^^ sin(t) = 1` . Dit levert een hellingwaarde van `0` .
In `B(0,4; text(-)0,6)` is `2 + 2 cos(t) = 0,4 ^^ sin(t) = text(-)0,6` . Dit levert een hellingwaarde op van `(0,8)/(text(-)1,2) = text(-) 2/3` .
In `A(2,1)` is de hoek tussen raaklijn en `l` gelijk aan `45` °.
In `B(0,4;text(-)0,6)` is de r.v. van de raaklijn `((3),(text(-)2))` , de r.v. van lijn `l` is `((1),(1))` . Met het inproduct vind je dan ongeveer `79` °.

`y = ax + 2` invullen in de vergelijking van e en daarna `D = 0` oplossen geeft `a = text(-)0,375` .
Er zijn twee raaklijnen, te weten `x = 0` en `y = text(-)0,375x + 2` .

Vul zowel `x(t)` als `y(t)` in de vergelijking in. Je vindt dan `t^3 + t^6 = t^3(1 + t^3)` en dit klopt voor elke `t != -1` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = (3x^2 - 6y)/(6x - 3y^2)` .
Raaklijn evenwijdig `x` -as als `3x^2 - 6y = 0 ^^ 6x - 3y^2 != 0` , dus als `y = 1/2 x^2` . Invullen geeft `x = root[3](16)` ( `x = 0` voldoet niet). Dit levert het punt `(root[3](16), 1/2 root[3](256))` op.
Raaklijn evenwijdig `y` -as als `3x^2 - 6y != 0 ^^ 6x - 3y^2 = 0` , dus als `x = 1/2 y^2` . Invullen geeft `y = root[3](16)` ( `y = 0` voldoet niet). Dit levert het punt `(1/2 root[3](256), root[3](16))` op.

Vul `y = px` in de vergelijking in en bepaal de waarden van `p` waarvoor deze lijn maar één punt met de lemniscaat gemeen heeft.

Als `(x,y)` voldoet aan de vergelijking, dan geldt dit ook voor `(y,x)` .

Zoek voor de figuur op http://nl.wikipedia.org/wiki/Folium_van_Descartes.

`x^2 + 8y^2 = 16` geeft `(x^2)/16 + (y^2)/2 = 1` .
De straal `r` van de richtcirkel vind je uit `(0,5r)^2 = 16` . Dit levert op `r = 8` .
De afstand `p` van het centrum `(0,0)` tot een brandpunt vind je uit `p^2 - (0,5r)^2 = 2` . Dit levert op `p = +- sqrt(14)` .
Brandpunten zijn `F_1(text(-)sqrt(14),0)` en `F_2(sqrt(14),0)` .

Gebruik `cos^2(t) + sin^2(t) = 1` . Je vindt `cos^2(t) = (x^2)/16` en `sin^2(t) = (y^2)/2` en dus `x = 4 cos(t)` en `y = sqrt(2) sin(t)` .

`y = 1` geeft `x = +- sqrt(8)` . Verder is `(text(d)y)/(text(d)x) = (-2x)/(16y)` .
In `(sqrt(8),1)` is de hellingwaarde `text(-) 1/8 sqrt(8)` .
In `(text(-)sqrt(8),1)` is de hellingwaarde `1/8 sqrt(8)` .
De gevraagde hoek is `2 * arctan(1/8 sqrt(8)) ~~ 38,8` °.

`(text(d)y)/(text(d)x) = (text(-)2x)/(16y) = text(-)2` geeft `x = 16y` en dus (na invullen en wat rekenwerk) `y = +- 2/33` . De gevraagde punten zijn `(text(-) 32/33, text(-) 2/33)` en `(32/33, 2/33)` .

Maak een tekening, je moet nu zelf de vergelijking afleiden want nu liggen de brandpunten niet op een horizontale as, maar op de `y` -as.
Begin met `P(x,y)` en `text(d)(F,P) = text(d)(P,c)` , dus `sqrt(x^2 + (y - 5)^2) = sqrt(x^2 + (y - 2)^2) - 2` .
Twee keer kwadrateren en zorgvuldig rekenwerk geeft `16x^2 - 20y^2 + 140y = 225` en na kwadraat afsplitsen `(y - 3,5)^2 - (x^2)/(1,25) = 1` .

Het centrum van de hyperbool is `(0; 3,5)` . Laat zien dat als `(x,y)` op de hyperbool ligt, dit ook geldt voor `(text(-)x, 7 - y)` .

`y = ax + 3` invullen en `D = 0` geeft `a = +- sqrt(0,6)` .

Snijpunten `x` -as: `y = 0` geeft `x^2 = 8x` , dus `(0,0)` en `(8,0)` .
Snijpunten `y` -as: `x = 0` geeft `y = 0` , dus `(0,0)` .

Impliciet differentiëren geeft `(text(d)y)/(text(d)x) = 4/(x + y) - 1` .
Raaklijn evenwijdig `x` -as: `4/(x + y) - 1 = 0` geeft `y = 4 - x` en na invullen het punt `(2,2)` .
Raaklijn evenwijdig `y` -as: `4/(x + y) - 1` wordt oneindig groot/klein geeft `y = text(-) x` en na invullen het punt `(0,0)` .

`y = x - p` invullen en `D = 0` geeft `p = text(-)1` .

`x + y = q` geeft `x = 1/8 q^2` en `y = q - 1/8 q^2` . Dit geeft snijpunt `(1/8 q^2, q - 1/8 q^2)` .
De raaklijn daar heeft r.c. `4/q - 1` en dat is voor elke waarde van `q` ongelijk aan `-1` , de r.c. van de lijn `x + y = q` . Deze lijn kan dus de kromme nooit raken.