Krommen en oppervlakken

Opgave 13

Hieronder wordt een kromme $k$ omschreven. Stel er een vergelijking en een parametervoorstelling van $k$ op.

a

$k$ is een ellips met brandpunten $(- 3, 2)$ en $(5, 2)$ die door $(1, 5)$ gaat.

b

$k$ is een hyperbool met brandpunten $(- 3, 2)$ en $(5, 2)$ die door $(5, 8)$ gaat.

c

$k$ is een ellips waarvan de richtcirkel de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 9$ heeft en het brandpunt $F (0, 2)$ is.

Opgave 14

Gegeven zijn de ellips $e$ door `x^2 + 4y^2 = 4x + 8y - 4` en de parabool $p$ door `(x - 2)^2 = 4y` .

a

Bereken van de ellips de coördinaten van de brandpunten.

b

Bewijs de symmetrie van de ellips t.o.v. het punt $C$ dat midden tussen beide brandpunten ligt.

c

Bereken de snijpunten van beide krommen.

d

Bereken de hoeken waaronder beide krommen elkaar snijden.

Opgave 15

De hyperbool $h$ is gegeven door de vergelijking $x^{2} - y^{2} = 1$ .

a

Bereken de snijpunten van $h$ met de assen.

b

Bereken de exacte coördinaten van de brandpunten van $h$ .

c

Stel vergelijkingen op van de raaklijnen aan de hyperbool in de punten van $h$ die liggen op de lijn $x = 2$ . Bereken de coördinaten van het snijpunt van beide raaklijnen.

De lijn $l$ door de punten $A (1, 1)$ en $B (3, 2)$ snijdt $h$ in twee punten $C$ en $D$ .

d

Welke hoek maken de raaklijnen in $C$ en $D$ aan de hyperbool met elkaar?

e

Bewijs dat de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = p$ de hyperbool voor geen enkele reële waarde van $p$ loodrecht snijdt.

Opgave 16

De ellips $e$ is gegeven door de parametervoorstelling $(x, y) = (2 + 2 cos (t), sin (t))$ .

a

Welke vergelijking heeft deze ellips?

De rechte lijn $l$ met vergelijking $y = x - 1$ snijdt de ellips in $A$ en $B$ .

b

Bereken de lengte van lijnstuk $A B$ .

c

Onder welke hoek(en) snijdt $l$ de ellips?

d

Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan $e$ die door het punt $P (0, 2)$ gaan.

Opgave 17Het folium van Descartes

Het folium van Descartes

Het folium van Descartes is de kromme $f$ die kan worden beschreven door de vergelijking $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ .

a

Deze kromme kan ook worden beschreven door de parametervoorstelling $x = \frac{6 t}{1 + t^{3}}$ en $y = \frac{6 t^{2}}{1 + t^{3}}$ . Toon dat aan.

b

Bereken de coördinaten van alle punten op $f$ waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de $x$ -as of de $y$ -as.

c

Toon aan dat $f$ in de oorsprong $O$ twee raaklijnen heeft die loodrecht op elkaar staan.

d

Bewijs dat het folium van Descartes symmetrisch is t.o.v. de lijn $y = x$ .

e

Teken de kromme $f$ .

Verwerken