Krommen en oppervlakken > Ellipsen en hyperbolen
1234567Ellipsen en hyperbolen

Voorbeeld 1

Bekijk de applet

Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van de ellips met brandpunten `F_1(0, 1)` en `F_2(4, 1)` die door `P(5, 1)` gaat.

> antwoord

Midden tussen beide brandpunten ligt het symmetriecentrum `C(2, 1)` van de ellips.
De ellips is de kromme van punten die evenver van `F_2` als van de cirkel met middelpunt `F_1` en straal `r` liggen. Nu is `r = |F_(1)P| + |F_(2)P| = 5 + 1 = 6` .
De brandpunten liggen een afstand van `p = 2` van het centrum `C` .
De vergelijking van de ellips wordt daarom: ( x 2 ) 2 3 2 + ( y 1 ) 2 3 2 2 2 = 1  en dus ( x 2 ) 2 9 + ( y 1 ) 2 5 = 1 .

De parametervoorstelling lijkt op die van een cirkel, maar dan met twee verschillende "stralen" voor de `x` -richting en de `y` -richting.
Ga na dat `x = 3cos(t) + 2` en `y = 5sin(t) + 1` een passende parametervoorstelling is.

Opgave 7

In de Theorie wordt verteld dat de vergelijking van een ellips x 2 m 2 + y 2 n 2 = 1 is, als het centrum van die ellips O ( 0 , 0 ) is en zowel het middelpunt van de richtcirkel als het brandpunt op de x -as liggen. In de praktijk noem je ook het middelpunt van de richtcirkel een brandpunt van de ellips.

a

Wat stelt m voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie als de afmeting van de ellips die erbij hoort.

b

Wat stelt n voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie als de afmeting van de ellips die erbij hoort.

c

Je kunt deze ellips ook construeren door F als middelpunt van de richtcirkel te nemen en M als brandpunt. Laat dat zien (bijvoorbeel door de constructie met GeoGebra te maken).

d

Je verschuift het centrum O ( 0 , 0 ) van een ellips naar C ( a , b ) . Hoe ziet de vergelijking van die ellips er uit?

e

Laat zien, dat x = m cos ( t ) en y = n sin ( t ) (met t in radialen) een geschikte parametervoorstelling is van een ellips met centrum O ( 0 , 0 ) .

f

Welke parametervoorstelling is geschikt voor een ellips met centrum C ( a , b ) ?

Opgave 8

In de Theorie wordt verteld dat de vergelijking van een hyperbool x 2 m 2 - y 2 n 2 = 1 is, als het centrum van die hyperbool O ( 0 , 0 ) is en zowel het middelpunt van de richtcirkel als het brandpunt op de x -as liggen. Ga er in het vervolg van uit een hyperbool uit twee takken bestaat.

a

Ga nog eens na dat de applet in de theoriepagina ook beide takken construeert.

b

Licht toe dat de volgende definitie beter bij zo'n hyperbool past:
Een hyperbool is de verzameling punten P waarvoor geldt dat het absolute verschil van de afstanden van P tot elk van de gegeven brandpunten F 1 en F 2 constant is.

c

Wat stelt m voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie met een richtcirkel als de afmeting van de hyperbool die erbij hoort.

d

Je verschuift het centrum O ( 0 , 0 ) van een hyperbool naar C ( a , b ) . Hoe ziet de vergelijking van die hyperbool er uit?

e

Laat zien, dat x = m cos ( t ) en y = n sin ( t ) cos ( t ) (met t in radialen) een geschikte parametervoorstelling is van een hyperbool met centrum O ( 0 , 0 ) .

f

Welke parametervoorstelling is geschikt voor een hyperbool met centrum C ( a , b ) ?

Opgave 9

De ellips die je in Voorbeeld 1 ziet is symmetrisch t.o.v. de lijn y = 4 .

a

Toon dit aan.

b

Welke andere symmetrieas heeft de ellips? Bewijs ook die symmetrie.

Opgave 10

In Voorbeeld 1 gaat het over het opstellen van de vergelijking van een ellips als de brandpunten en een punt van de ellips zijn gegeven.

a

Laat met behulp van een tekening zien dat de richtcirkel (met middelpunt F 1 ) een straal van 6 moet hebben.

b

Licht nu toe hoe je de vergelijking van de ellips kunt vinden.

c

Licht ook toe hoe je zelf de parametervoorstelling kunt vinden.

d

Met behulp van de parametervoorstelling kun je de hellingwaarde van de raaklijn in een punt van de ellips bepalen. Bereken de hellingwaarde in elk van de twee punten waarvoor geldt x = 0,5 .

verder | terug