Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van de ellips met brandpunten `F_1(0, 1)` en `F_2(4, 1)` die door `P(5, 1)` gaat.
Midden tussen beide brandpunten ligt het symmetriecentrum
`C(2, 1)`
van de ellips.
De ellips is de kromme van punten die evenver van
`F_2`
als van de cirkel met middelpunt
`F_1`
en straal
`r`
liggen.
Nu is
`r = |F_(1)P| + |F_(2)P| = 5 + 1 = 6`
.
De brandpunten liggen een afstand van
`p = 2`
van het centrum
`C`
.
De vergelijking van de ellips wordt daarom: en dus .
De parametervoorstelling lijkt op die van een cirkel, maar dan met twee verschillende
"stralen"
voor de
`x`
-richting en de
`y`
-richting.
Ga na dat
`x = 3cos(t) + 2`
en
`y = 5sin(t) + 1`
een passende parametervoorstelling is.
In de
Wat stelt voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie als de afmeting van de ellips die erbij hoort.
Wat stelt voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie als de afmeting van de ellips die erbij hoort.
Je kunt deze ellips ook construeren door als middelpunt van de richtcirkel te nemen en als brandpunt. Laat dat zien (bijvoorbeel door de constructie met GeoGebra te maken).
Je verschuift het centrum van een ellips naar . Hoe ziet de vergelijking van die ellips er uit?
Laat zien, dat en (met in radialen) een geschikte parametervoorstelling is van een ellips met centrum .
Welke parametervoorstelling is geschikt voor een ellips met centrum ?
In de
Ga nog eens na dat de applet in de theoriepagina ook beide takken construeert.
Licht toe dat de volgende definitie beter bij zo'n hyperbool past:
Een hyperbool is de verzameling punten waarvoor geldt dat het absolute verschil van de afstanden van tot elk van de gegeven brandpunten en constant is.
Wat stelt voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie met een richtcirkel als de afmeting van de hyperbool die erbij hoort.
Je verschuift het centrum van een hyperbool naar . Hoe ziet de vergelijking van die hyperbool er uit?
Laat zien, dat en (met in radialen) een geschikte parametervoorstelling is van een hyperbool met centrum .
Welke parametervoorstelling is geschikt voor een hyperbool met centrum ?
De ellips die je in
Toon dit aan.
Welke andere symmetrieas heeft de ellips? Bewijs ook die symmetrie.
In
Laat met behulp van een tekening zien dat de richtcirkel (met middelpunt ) een straal van moet hebben.
Licht nu toe hoe je de vergelijking van de ellips kunt vinden.
Licht ook toe hoe je zelf de parametervoorstelling kunt vinden.
Met behulp van de parametervoorstelling kun je de hellingwaarde van de raaklijn in een punt van de ellips bepalen. Bereken de hellingwaarde in elk van de twee punten waarvoor geldt .