Krommen en oppervlakken > Ellipsen en hyperbolen
1234567Ellipsen en hyperbolen

Voorbeeld 3

Bekijk de applet

Hiernaast zie je een kromme `k` die "lemniscaat" heet.
Hij heeft de vergelijking `y^2=4x^2(4-x^2)` . Bewijs dat hij symmetrisch is t.o.v. de oorsprong van het assenstelsel.

> antwoord

Een kromme is symmetrisch t.o.v. de oorsprong als behalve `P(x, y)` ook `P_1(text(-)x, text(-)y)` op de kromme ligt. Ga dit na, door `P` met behulp van de schuifknop over de kromme te bewegen.

Dit betekent dat ook `P_1(text(-)x, text(-)y)` aan de vergelijking van de lemniscaat moet voldoen. Door de coördinaten van `P` in de gegeven vergelijking in te vullen, kun je eenvoudig nagaan dat dit inderdaad zo is...

Opgave 12

In Voorbeeld 3 zie je een "lemniscaat".

a

Bewijs dat de lemniscaat symmetrisch is t.o.v. de x -as.

b

Stel met behulp van impliciet differentiëren een formule op voor d y d x .

c

Bereken hiermee de coördinaten van de punten op de lemniscaat waarin de raaklijn evenwijdig is aan de x -as.

d

Bereken de hellingsgetallen van de twee raaklijnen in ( 0 , 0 ) aan de lemniscaat. Welke hoek maken deze twee raaklijnen met elkaar?

e

De lemniscaat snijdt van de lijn y = p x twee lijnstukken af met een lengte van 15 . Bereken p .

Een parametervoorstelling van de lemniscaat is ( x , y ) = ( 2 cos ( t ) , 4 sin ( 2 t ) ) .

f

Controleer dat deze parametervoorstelling dezelfde kromme beschrijft als de gegeven vergelijking.

g

Bereken de twee hellingsgetallen van de raaklijnen in ( 0 , 0 ) nog eens met behulp van deze parametervoorstelling.

verder | terug