Meetkunde in 3D

Meetkunde in 3D > Vlakken

Voorbeeld 2

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Je ziet hier weer de balk `OABC.DEFG` met `A(4, 0, 0)` , `C(0, 6, 0)` en `D(0, 0, 8)` .
Verder is `M(0, 6, 4)` en `N(0, 3, 8)` .

Stel een vergelijking op van vlak `ENMB` en laat zien dat het snijpunt `S` van de lijnen `EM` en `BN` in vlak `ENMB` ligt.

> antwoord

Een vectorvoorstelling van `ENMB` : `((x),(y),(z)) = ((4),(0),(8)) + p((0),(3),(text(-)4)) + q((text(-)4),(3),(0))`

Een normaalvector `vec (n)` van vlak `ENMB` bepaal je met behulp van het uitproduct van `vec(r_1)=((0),(3),(text(-)4))` en `vec(r_2)=((text(-)4),(3),(0))` :
`vec(r_1) xx vec(r_2) = ((3*0-text(-4)*3),(text(-)4*text(-)4-0*0),(0*3-3*text(-)4)) = ((12),(16),(12))`

Je neemt `vec(n) = ((3),(4),(3))` .

Door ook nog het punt `(4, 0, 8)` in te vullen, vind je de vergelijking van het vlak, namelijk:
`ENMB` : `3x+4y+3z=36`

Voor het snijpunt `S` van de lijnen `EM` en `BN` stel je de vectorvoorstellingen van `EM` : `((x),(y),(z)) = ((4), (0), (8)) + r ((text(-)2), (3), (text(-)2))` en `BN` : `((x),(y),(z)) = ((4), (6), (0)) + s ((text(-)4), (text(-)3), (8))` aan elkaar gelijk.
Dit geeft snijpunt `S(frac(4)(3) , 4 , frac(16)(3))` .
Dit punt `S` voldoet aan de vergelijking van vlak `ENMB` en ligt dus in het vlak.

Opgave 9

In Voorbeeld 2 zie je hoe je het snijpunt van twee lijnen kunt berekenen en dan controleren dat dit snijpunt inderdaad in het vlak ligt dat door beide lijnen gaat.

Stel de vectorvoorstellingen van de lijnen `EM` en `BN` aan elkaar gelijk en laat zien dat `S(4/3, 4, 16/3)` inderdaad het snijpunt is van `EM` en `BN` .

Vul de coördinaten van `S` in de vergelijking van `V` in en laat zien dat het klopt.

In welk punt snijdt het vlak `ENMB` de lijn `FG` ?

Opgave 10

Gegeven is het vlak `V: ((x), (y), (z))=((text(-)1), (3), (4))+r((1), (text(-)5), (3))+s((2), (2), (1))` .

Stel een vergelijking op van vlak `V` .

Laat zien dat het snijpunt `S` van lijn `l: ((x), (y), (z))=((text(-)1), (0), (5))+u((3), (2), (2))` en lijn `m: ((x), (y), (z))=((2), (3), (2))+v((4), (2), (6))` in vlak `V` ligt.

Bereken de waarde van `p` als gegeven is dat punt `P(2, p, 1/2)` in vlak `V` ligt.

Opgave 11

Gegeven zijn de punten `A(3, 0, 1)` , `B(0, 5, 0)` en `C(0, 2, 6)` .
Omdat de punten veel "nullen" bevatten, is er nog andere (handigere) manier om een vergelijking van een vlak `V` door de punten `A` , `B` en `C` op te stellen.

Hoe luidt de algemene vergelijking van een vlak?

Vul de coördinaten van de punten `A` , `B` en `C` in de algemene vergelijking van een vlak in.
Je krijgt drie vergelijkingen met vier onbekenden.

Door nu slim één waarde te kiezen, liggen de andere drie waarden vast. Doe dit.
Geef ook een vergelijking van vlak `V` en controleer of de punten `A` , `B` en `C` inderdaad in vlak `V` liggen.

Stel nu op dezelfde manier een vergelijking op van een vlak door de punten `A(text(-)2, 0, 3)` , `B(0, 4, 0)` en `C(6, 1, 0)` .

verder | terug